2022年初中数学全等三角形知识点总结及复习 .pdf
名师总结精品知识点全等三角形知识点总结及复习一、知识网络对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形应用边角边 SAS判定角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一） 、基本概念1、“ 全等 ” 的理解全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3) 有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5) 有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页名师总结精品知识点（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等 (SAS)第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA) 夹等角的另一组边相等(SAS) （三）经典例题例 1. 已知：如图所示，AB=AC ，求证：. 例 2. 如图所示，已知：AF=AE ，AC=AD ，CF与 DE交于点 B。求证：。例 3 . 如图所示， AC=BD ，AB=DC ，求证：。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页名师总结精品知识点例 4. 如图所示，垂足分别为D、 E，BE与 CD相交于点 O，且求证： BD=CE 。例 5：已知：如图，在四边形ABCD 中， AC 平分 BAD、 CEAB 于 E，且 B+D=180 。求证： AE=AD+BE分析： 从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在AE上截 AF=AD ，连结 FC，可证出ADC AFC ，问题就可以得到解决。证明（一）：在 AE 上截取 AF=AD ，连结 FC。在AFC 和ADC 中AFADACAC已作已知公共边12AFCADC（边角边） AFC= D（全等三角形对应角相等） B+ D= 180 （已知） B= EFC（等角的补角相等）在CEB 和CEF 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页名师总结精品知识点BEFCCEBCEFCECE已证已知公共边90CEBCEF （角角边）BE=EFAE=AF+EFAE=AD+BE （等量代换）证明（二）：在线段 EA 上截 EF=BE ，连结 FC（如右图）。小结： 在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。（四）全等三角形复习练习题一、 选择题1如图，给出下列四组条件：ABDEBCEFACDF，；ABDEBEBCEF，；BEBCEFCF，；ABDEACDFBE，其中，能使ABCDEF的条件共有（）A1 组B2 组C3 组D4 组2. 如图，DE，分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若48CDE，则APD等于（）3. 如 图 （ 四 ） ， 点P是AB上 任 意 一 点 ，ABCABD， 还 应 补 充 一 个 条 件 ， 才 能 推 出APCAPD从下列条件中补充一个条件，不一定能推出APCAPD的是（）ABCBDBACAD CACBADBDCABDABA42 B48 C 52 D58 1题图 2题图4. 如图，在 ABC与 DEF中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使ABC DEF ，不能添加的一组条件是 ( ) (A) B=E,BC=EF （B） BC=EF ， AC=DF (C) A=D， B=E （ D） A=D， BC=EF 5如图，ABC中，C= 90，AC = BC，AD是BAC的平分线， DE AB 于 E，若AC = 10cm ，则DBE的周长等于 ( ) A 10cm B8cm C 6cm D9cm 6 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） 1 处 2 处 3 处 4 处C A D P B 图（四）DC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页名师总结精品知识点 4 题图 5题图7某同学把一块三角形的玻璃打碎了3 块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A带去 B带去 C带去 D带去8如图，在RtABC中，90B，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知10BAE，则C的度数为（）A30 B40 C50 D609如图，ACBA C B，BCB=30，则ACA的度数为（）A20 B30 C 35 D4010如图，ACAD，BCBD，则有（）AAB垂直平分CD BCD垂直平分AB1 题图 CAB与CD互相垂直平分 DCD平分ACB 8题图 10题图11尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得OCPODP的根据是（）ASAS B ASA C AAS DSSS 12. 如图 , C=90 ,AD平分 BAC交 BC于 D,若 BC=5cm,BD=3cm, 则点 D到 AB的距离为 ( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APAPB B PO平分APBCOAOB D AB垂直平分OP14. 如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCADC的是（）ACBCD BBACDAC C BCADCAD90BD 11题图 12题图二、 填空题A D C E B 8 题ABCD7 题图ABCDA B C D 14 题图C A B BAO 13 题图B A P O D P C A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页名师总结精品知识点1. 如 图 ， 已 知ADAB，DACBAE， 要 使ABCADE， 可 补 充 的 条 件 是（写出一个即可）_2. 如图 , 在 ABC中, C=90,AC=BC,AD平分 BAC交 BC于 D,DEAB于 E,且 AB=5cm,则 DEB的周长为 _ 3. 如图，BACABD，请你添加一个条件：，使OCOD（只添一个即可） 4. 如图， 在ABC中， C=90 ABC的平分线BD交 AC于点 D,若 BD=10厘米， BC=8厘米， DC=6厘米，则点 D到直线 AB的距离是 _厘米。 1题图 2题图 3题图 4题图5. 观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5 个大三角形中白色三角形有个 6. 已知：如图，OAD OBC ，且 O 70， C25，则 AEB _度. 7 如图， C为线段 AE上一动点（不与点A，E重合） ，在 AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE 、AD与 BE交于点 O ，AD与 BC交于点 P，BE与 CD交于点 Q ，连结 PQ.以下五个结论： AD=BE ；PQ AE ；AP=BQ ； DE=DP ； AOB=60 . 恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）。8. 如图所示， AB = AD ，1 = 2，添加一个适当的条件，使ABC ADE ，则需要添加的条件是_. 6题图 7 题图 8 题图第1个第2个第3个A C E B D O A B C D E D O C B AABCDEQPOBEDCAA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页名师总结精品知识点三、 解答题1. 如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证： BD=CE. 2. 如图，在ABC中，40ABACBAC， 分别以ABAC，为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使90BADCAE（1）求DBC的度数；（2）求证：BDCE3. 如图， 在 ABE中，ABAE,AD AC, BAD EAC, BC 、DE交于点 O.求证： (1) ABC AED ； (2) OB OE . 4. 如图， D是等边 ABC的边 AB上的一动点，以CD为一边向上作等边EDC ，连接 AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由OCEBDAE D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页名师总结精品知识点5. 如图，在ABC和DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M（1）求证：ABCDCB； （2）过点C作CNBD，过点B作BNAC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论6. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12，34求证： （ 1）ABCADC； （2）BODO7如图，在ABC和ABD中，现给出如下三个论断：ADBC；CD；12请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示） ：（2）请选择一个真命题加以证明你选择的真命题是：证明：8. 已知：如图， B、E、F、C四点在同一条直线上，AB DC ，BE CF， B C求证： OA OD BCADM N 2 1 D C B A O 1 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页名师总结精品知识点9如图，ABC中，BAC=90 度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE10. 如图，,ABAC ADBCDADAEABDAEDEF于点，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明11已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形 （直接写出结果，不要求证明）：12如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于 E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BDOEDCBAB D C F A郜E FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页名师总结精品知识点交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由13 已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD ，AE=BF ，CE=DF 求证： （ 1）DFCE （ 2）DE=CF A D F E 14. 如图，已知在 ABC 中， BE 、CF分别是 AC 、AB两条边上的高，在BE上截取 BD = AC ，在 CF的延长线上截取 CG = AB，连结 AD 、AG ，则 AG与 AD有何关系？试证明你的结论15. 如图，已知BE AC 于 E，CF AB 于 F，BE 、CF相交于点D ，若 AB=AC 求证： AD平分 BAC B C E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页名师总结精品知识点16. 如图， B=C=90 ， M是 BC中点， DM 平分 ADC ，求证：AM平分 DAB 17. 如图，在 ABC 和DBC中， ACB =DBC = 90o，E是 BC的中点， EF AB ，垂足为F，且 AB = DE 8. 如图， AD是 ABC的角平分线， DE AB ，DFAC ，垂足分别为E、F，连接 EF，EF与 AD交于 G ，AD与 EG垂直吗？证明你的结论。19 如图，在ABC中，B=60 ，ABC的角平分线AD ， CE相交于点O 试说明 AE+CD=AC 如图，在 ABC中， B=60 ， ABC 的角平分线AD ，CE相交于点 O试说明AE+CD=AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页名师总结精品知识点20. 如图，已知E是正方形ABCD的边 CD 的中点，点F 在 BC上，且 DAE= FAE. 求证： AF=AD+CF 。已知：在 ABC中，BAC=90 ， AB=AC,AE是过点 A的一条直线， 且 BD AE于 D， CE AE于 E,(1)当直线 AE处于如图的位置时，有BD=DE+CE, 请说明理由； （2）当直线AE处于如图的位置时，则 BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；（3）归纳（ 1） （2） ，请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。A B F C E D B C E A D B A D E C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
