2022年等腰三角形典型例题练习 2.pdf

学习好资料欢迎下载等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析4在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， E、F 分别为 AB 、AC 上的点，且 EDF+ EAF=180 ，求证DE=DF 考点 ：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义1418944分析：过 D 作 DM AB，于 M，DNAC 于 N，根据角平分线性质求出DN=DM ，根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED= CFD，根据全等三角形的判定AAS 推出EMD FND 即可解答：证明：过D 作 DM AB ，于 M，DNAC 于 N，即 EMD= FND=90 ， AD 平分 BAC ， DM AB ， DN AC ， DM=DN（角平分线性质） ， DME= DNF=90 ， EAF+ EDF=180 ， MED+ AFD=360 180 =180 ， AFD+ NFD=180 ， MED= NFD ，在EMD 和FND 中， EMD FND ， DE=DF 5在 ABC 中， ABC 、 ACB 的平分线相交于点O，过点 O 作 DEBC，分别交AB 、AC 于点 D、E请说明DE=BD+EC 考点 ：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质1418944分析：根据 OB 和 OC 分别平分 ABC 和 ACB ，和 DEBC，利用两直线平行， 内错角相等和等量代换，求证出 DB=DO ，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在 ABC 中， OB 和 OC 分别平分 ABC 和 ACB ， DBO= OBC， ECO= OCB，DEBC， DOB= OBC= DBO ， EOC=OCB= ECO，DB=DO ，OE=EC， DE=DO+OE ， DE=BD+EC 6已知： 如图，D 是 ABC 的 BC 边上的中点， DEAB ， DFAC ，垂足分别为E，F，且 DE=DF 请判断 ABC是什么三角形？并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习好资料欢迎下载考点 ：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质1418944分析：用（ HL）证明 EBD FCD ，从而得出 EBD= FCD ，即可证明 ABC 是等腰三角形解答：ABC 是等腰三角形证明：连接AD ， DEAB， DFAC ， BED= CFD=90 ，且 DE=DF ，D 是ABC 的 BC 边上的中点，BD=DC ，Rt EBDRtFCD （HL） ， EBD= FCD， ABC 是等腰三角形7如图， ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长BC 至 E，使 CE=CD 连接 DE（1） E 等于多少度？（2）DBE 是什么三角形？为什么？考点 ：等边三角形的性质；等腰三角形的判定1418944分析：（1） 由题意可推出ACB=60 ， E=CDE ， 然后根据三角形外角的性质可知：ACB= E+CDE，即可推出 E 的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD 不但为 AC 边上的高，也是ABC 的角平分线，即得：DBC=30 ，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出DBE 是等腰三角形解答：解： （1） ABC 是等边三角形，ACB=60 ，CD=CE ， E=CDE， ACB= E+CDE，（2） ABC 是等边三角形，BD AC， ABC=60 ， E=30 ， DBC= E， DBE 是等腰三角形8如图，在 ABC 中， ACB=90 ， CD 是 AB 边上的高，A=30 求证： AB=4BD 考点 ：含 30 度角的直角三角形1418944分析：由 ABC 中， ACB=90 ， A=30 可以推出AB=2BC ，同理可得BC=2BD ，则结论即可证明解答：解： ACB=90 ， A=30 ， AB=2BC ， B=60 又 CDAB ， DCB=30 ， BC=2BD AB=2BC=4BD 9如图， ABC 中， AB=AC ，点 D、E 分别在 AB、 AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习好资料欢迎下载考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，由平行线的性质得1=2， 4=3，再根据等腰三角形的性质可得 B=2，则 B=1，于是有 DB=DG ，根据全等三角形的判定易得DFG EFC，即可得到结论解答：证明：过 D 点作 DG AE 交 BC 于 G 点，如图， 1=2， 4=3，AB=AC ， B=2， B= 1， DB=DG ，而 BD=CE ， DG=CE ，在DFG 和EFC 中， DFG EFC， DF=EF10已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边 B 的角平分线交AC 于 D，过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证： BD=2CE 考点 ：全等三角形的判定与性质1418944分析：延长 CE，BA 交于一点F，由已知条件可证得BFE 全 BEC，所以 FE=EC ，即 CF=2CE，再通过证明 ADB FAC 可得 FC=BD ，所以 BD=2CE 解答：证明：如图，分别延长CE， BA 交于一点 FBEEC， FEB= CEB=90 ， BE 平分 ABC ， FBE=CBE ，又 BE=BE ， BFE BCE （ASA ） FE=CE CF=2CEAB=AC ， BAC=90 ， ABD+ ADB=90 ， ADB= EDC， ABD+ EDC=90 又 DEC=90 ， EDC+ ECD=90 ， FCA= DBC= ABD ADB AFC FC=DB ， BD=2EC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习好资料欢迎下载11 （2012?牡丹江）如图 ， ABC 中 AB=AC ，P 为底边 BC 上一点， PEAB ，PFAC ，CHAB，垂足分别为 E、F、 H易证 PE+PF=CH 证明过程如下：如图 ，连接 APPEAB ，PFAC ，CHAB， SABP=AB ?PE， SACP=AC ?PF， SABC=AB ?CH又 SABP+S ACP=SABC，AB?PE+AC?PF=AB?CHAB=AC ， PE+PF=CH（1）如图 ，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、 CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若A=30 ，ABC 的面积为49，点 P在直线 BC 上，且 P 到直线 AC 的距离为PF，当 PF=3 时，则AB 边上的高CH=7点 P 到 AB 边的距离PE=4 或 10考点 ：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：（1） 连接 AP 先根据三角形的面积公式分别表示出S ABP， S ACP， SABC， 再由 SABP=S ACP+SABC即可得出 PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH ，再由 ABC 的面积为49，求出 CH=7 ，由于 CHPF，则可分两种情况进行讨论： P为底边 BC 上一点，运用结论PE+PF=CH ； P 为 BC 延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH解答：解： （1）如图 ，PE=PF+CH证明如下：PEAB， PFAC ，CH AB， SABP=AB?PE，SACP=AC?PF，SABC=AB?CH，S ABP=SACP+S ABC，AB?PE=AC?PF+AB ?CH，又 AB=AC ， PE=PF+CH；（2）在 ACH 中， A=30 ， AC=2CH S ABC=AB?CH，AB=AC ， 2CH?CH=49， CH=7 分两种情况： P 为底边 BC 上一点，如图 PE+PF=CH ， PE=CHPF=73=4； P 为 BC 延长线上的点时，如图 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习好资料欢迎下载PE=PF+CH ， PE=3+7=10 故答案为7；4 或 1012数学课上，李老师出示了如下的题目：“ 在等边三角形ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且ED=EC ，如图，试确定线段AE 与 DB 的大小关系，并说明理由” 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点 E 为 AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填 “ ” ，“ ”或“ =” ） （2）特例启发，解答题目解：题目中， AE 与 DB 的大小关系是：AE=DB（填 “ ” ，“ ” 或“ =” ） 理由如下：如图2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC若ABC 的边长为1，AE=2，求 CD的长（请你直接写出结果）考点 ：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 1418944分析：（1） 根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30 ， 求出 DEB=30 ， 求出 BD=BE即可；（2）过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，求出等边三角形AEF，证DEB 和ECF 全等，求出BD=EF 即可；（3）当 D 在 CB 的延长线上， E 在 AB 的延长线式时， 由（2）求出 CD=3，当 E 在 BA 的延长线上，D 在 BC 的延长线上时，求出CD=1 解答：解： （1）故答案为： =（2）过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，等边三角形ABC ， ABC= ACB= A=60 ，AB=AC=BC ， AEF= ABC=60 ， AFE= ACB=60 ，即 AEF= AFE= A=60 ， AEF 是等边三角形，AE=EF=AF ， ABC= ACB= AFE=60 ， DBE= EFC=120 ， D+ BED= FCE+ECD=60 ，DE=EC ， D=ECD， BED= ECF，在DEB 和ECF 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习好资料欢迎下载， DEB ECF， BD=EF=AE ，即 AE=BD ，故答案为：=（3）解： CD=1 或 3，理由是：分为两种情况： 如图 1过 A 作 AM BC 于 M ，过 E 作 ENBC 于 N，则 AM EM ， ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1 ，AM BC， BM=CM=BC=， DE=CE ，ENBC， CD=2CN ，AM EN， AMB ENB ，=，=，BN=， CN=1+=， CD=2CN=3 ； 如图 2，作 AM BC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AM EM， ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1 ，AM BC， BM=CM=BC=， DE=CE ，ENBC ， CD=2CN ，AM EN，=，=， MN=1 ， CN=1 =， CD=2CN=1 13已知：如图，AF 平分 BAC ，BCAF 于点 E，点 D 在 AF 上， ED=EA ，点 P 在 CF 上，连接PB 交 AF 于点M若 BAC=2 MPC，请你判断F 与 MCD 的数量关系，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习好资料欢迎下载考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ，推出CDA= CAD= CPM，求出 MPF= CDM ， PMF=BMA= CMD ，在 DCM 和PMF 中根据三角形的内角和定理求出即可解答：解： F=MCD ，理由是： AF 平分 BAC ，BCAF， CAE= BAE ， AEC= AEB=90 ，在ACE 和ABE 中， ACE ABE （ASA ） AB=AC ， CAE= CDEAM 是 BC 的垂直平分线，CM=BM ，CE=BE ， CMA= BMA ，AE=ED ，CEAD ， AC=CD ， CAD= CDA ， BAC=2 MPC，又 BAC=2 CAD ， MPC=CAD ， MPC=CDA ， MPF=CDM ， MPF= CDM （等角的补角相等） ， DCM+ CMD+ CDM=180 ， F+MPF+ PMF=180 ，又 PMF=BMA= CMD ， MCD= F14如图，已知 ABC 是等边三角形，点D、 E 分别在 BC、AC 边上，且AE=CD ，AD 与 BE 相交于点F（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求 BFD 的度数考点 ：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质1418944分析：（1） 根据等边三角形的性质可知BAC= C=60 ， AB=CA ， 结合 AE=CD ， 可证明 ABE CAD ，从而证得结论；（2）根据 BFD= ABE+ BAD ， ABE= CAD ，可知 BFD= CAD+ BAD= BAC=60 解答：（1）证明：ABC 为等边三角形，BAC= C=60 ，AB=CA 在ABE 和CAD 中， ABE CAD AD=BE （2）解： BFD= ABE+ BAD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习好资料欢迎下载又 ABE CAD ， ABE= CAD BFD= CAD+ BAD= BAC=60 15如图，在 ABC 中， AB=BC ， ABC=90 ，F 为 AB 延长线上一点，点E 在 BC 上， BE=BF ，连接 AE、EF和 CF，求证： AE=CF 考点 ：全等三角形的判定与性质1418944分析：根据已知利用SAS 即可判定 ABE CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF 解答：证明： ABC=90 ， ABE= CBF=90 ，又 AB=BC ， BE=BF ， ABE CBF（SAS） AE=CF 16已知：如图，在OAB 中， AOB=90 ，OA=OB ，在 EOF 中， EOF=90 ， OE=OF，连接 AE、 BF问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1418944分析：可以把要证明相等的线段AE，CF 放到 AEO ，BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得 AO=BO ，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去BOE 的结果，当然相等了，由此可以证明 AEO BFO； 延长 BF 交 AE 于 D， 交 OA 于 C， 可证明 BDA= AOB=90 ， 则 AE BF解答：解： AE 与 BF 相等且垂直，理由：在 AEO 与BFO 中，Rt OAB 与 RtOEF 等腰直角三角形，AO=OB ，OE=OF， AOE=90 BOE=BOF， AEO BFO， AE=BF 延长 BF 交 AE 于 D，交 OA 于 C，则 ACD= BCO ，由（ 1）知 OAE= OBF， BDA= AOB=90 ， AEBF17 （2006?郴州）如图，在ABC 中， AB=AC ，D 是 BC 上任意一点，过D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为E，F，CG 是 AB 边上的高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习好资料欢迎下载（1）DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若 D 在底边的延长线上， （1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由考点 ：等腰三角形的性质1418944分析：（1）连接 AD ，根据三角形ABC 的面积 =三角形 ABD 的面积 +三角形 ACD 的面积， 进行分析证明；（2）类似（ 1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形ABC 的面积 =三角形 ABD 的面积三角形ACD 的面积解答：解： （1）DE+DF=CG 证明：连接AD ，则 S ABC=SABD+SACD，即AB ?CG=AB?DE+AC ?DF， AB=AC ， CG=DE+DF （2）当点 D 在 BC 延长线上时， （ 1）中的结论不成立，但有DEDF=CG理由：连接AD ，则 S ABD=SABC+S ACD，即AB ?DE=AB ?CG+AC ?DF AB=AC ， DE=CG+DF ，即 DEDF=CG同理当 D 点在 CB 的延长线上时，则有DEDF=CG ，说明方法同上18如图甲所示，在ABC 中， AB=AC ，在底边BC 上有任意一点P，则 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高） ，即 PD+PE=CF，若 P 点在 BC 的延长线上，那么请你猜想PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习好资料欢迎下载考点 ：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：猜想： PD、PE、CF 之间的关系为PD=PE+CF根据 S PAB=AB ?PD，SPAC=AC?PE，S CAB=AB?CF，S PAC=AC?PE，AB ?PD=AB ?CF+AC ?PE，即可求证解答：解：我的猜想是：PD、PE、 CF 之间的关系为PD=PE+CF 理由如下：连接 AP，则 SPAC+SCAB=SPAB，S PAB=AB?PD，SPAC=AC?PE，SCAB=AB?CF，又 AB=AC ， S PAC=AB ?PE，AB?PD=AB?CF+AB?PE，即AB （PE+CF）=AB ?PD， PD=PE+CF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页