2022年八年级下数学《勾股定理》单元训练 .pdf

学习必备欢迎下载勾股定理专项训练专训 1. 巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题； 第二种是平面图形 ，将分散的条件通过几何变换( 平移或轴对称 )进行集中 ，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形 ，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离 ，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离) 用计算法求平面中最短问题1如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到 B，为了避免拐角 C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了_步路( 假设2 步为 1 m ) ，却踩伤了花草(第 1 题) 2小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石 A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站 C ，再从青山站 C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设 AB 80 km ，BC 20 km ，ABC 120. 请你帮助小明解决以下问题：(1) 求 A，C之间的距离 ( 参考数据214.6) (2) 若客车的平均速度是60 km / h，市内的公共汽车的平均速度为40 km / h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km / h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由( 不计候车时间 ) (第 2 题) 用平移法求平面中最短问题3如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm ，30 cm ，10 cm，A和 B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( ) A13 cmB40 cmC130 cm D169 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载(第 3 题) (第 4 题) 4如图，已知 BCDE90，且 AB CD 3，BC 4，DE EF2，则 AF的长是 _用对称法求平面中最短问题5如图，在正方形ABCD 中，AB边上有一点 E，AE 3，EB 1，在 AC上有一点 P，使 EP BP最短，求 EP BP的最短长度(第 5 题) 6高速公路的同一侧有A、B 两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AA 2 km ，BB 4 km ，AB8 km . 要在高速公路上 A、B之间建一个出口 P，使 A、B两城镇到 P的距离之和最小求这个最短距离(第 6 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载用展开法求立体图形中最短问题类型 1圆柱中的最短问题(第 7 题) 7如图，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为 2，AB ，CD分别是两底面的直径若一只小虫从 A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 _(结果保留根号 ) 类型 2圆锥中的最短问题8已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1) 此图形的名称为 _(2) 请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿 AS剪开，铺在桌面上， 则它的侧面展开图是一个 _(3) 如果点 C是 SA的中点，在 A处有一只蜗牛， 在 C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到 C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA 的长为 10，侧面展开图的圆心角为90，请你求出蜗牛爬行的最短路程(第 8 题) 类型 3正方体中的最短问题9如图，一个正方体木柜放在墙角处( 与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角C1处(1) 请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2) 当正方体木柜的棱长为4 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载(第 9 题) 类型 4长方体中的最短问题10如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm ，8 cm ，30 cm ，在 AB的中点 C处有一滴蜜糖， 一只小虫从 E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程( 第 10 题) 专训 2. 巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合， 解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1) 运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来； (3) 利用勾股定理列方程求出x；(4) 进行相关计算解决问题巧用全等法求折叠中线段的长1(中考 泰安)如图是一直角三角形纸片，A30，BC 4 cm ，将其折叠，使点 C落在斜边上的点 C 处，折痕为 BD ，如图，再将图沿DE折叠，使点 A落在 DC 的延长线上的点A处，如图，则折痕DE的长为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载(第 1 题) A.83cm B23 cmC22 cmD 3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2如图所示，将长方形ABCD 沿直线 BD折叠，使点 C落在点 C 处，BC 交 AD于 E，AD 8，AB 4，求 BED的面积(第 2 题) 巧用方程思想求折叠中线段的长3如图，在边长为6 的正方形 ABCD 中，E是边 CD的中点，将 ADE沿 AE对折至 AFE ，延长 EF交 BC于点 G ，连接 AG. (1) 求证： ABG AFG ；(2) 求 BG的长(第 3 题) 巧用折叠探究线段之间的数量关系4如图，将长方形ABCD 沿直线 EF折叠，使点 C与点 A 重合，折痕交AD于点 E，交 BC于点 F，连接 CE. (1) 求证： AE AFCE CF ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载(2) 设 AE a，ED b，DC c，请写出一个 a，b，c 三者之间的数量关系式(第 4 题) 专训 3. 利用勾股定理解题的7 种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题 ，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n 为正整数 )的线段 ，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程( 组) ， 有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题利用勾股定理求线段长1如图所示，在等腰直角三角形ABC中， ABC 90，点 D为 AC边的中点，过 D点作 DE DF ，交 AB于 E，交 BC于 F，若 AE 4，FC 3，求 EF的长(第 1 题) 利用勾股定理作长为n的线段2已知线段 a，作长为13a 的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a. 利用勾股定理证明线段相等3如图，在四边形 ABFC 中，ABC 90，CD AD ，AD22AB2CD2. 求证：AB BC. (第 3 题) 利用勾股定理证明线段之间的平方关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载4如图， C90，AM CM ，MP AB于点 P. 求证： BP2BC2AP2. (第 4 题) 利用勾股定理解非直角三角形问题5如图，在 ABC中， C 60， AB 14，AC 10. 求 BC的长(第 5 题) 利用勾股定理解实际生活中的应用6在某段限速公路 BC上( 公路视为直线 )，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km / h 即503m / s，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于 y 轴上，测速路段BC在 x 轴上，点 B在点 A的北偏西 60方向上，点 C在点 A的北偏东 45方向上另外一条公路在 y 轴上， AO为其中的一段(1) 求点 B和点 C的坐标；(2) 一辆汽车从点 B匀速行驶到点 C所用的时间是 15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：31.7) (第 6 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载利用勾股定理探究动点问题7如图，在 RtABC中， ACB 90， AB 5 cm ，AC 3 cm ，动点 P从点B出发沿射线 BC以 1 cm / s 的速度移动，设运动的时间为t 秒(1) 求 BC边的长；(2) 当ABP为直角三角形时，借助图求t 的值；(3) 当ABP为等腰三角形时，借助图求t 的值(第 7 题) 答案专训 114 (第 2 题) 2解：(1) 如图，过点 C作 AB的垂线，交 AB的延长线于点 E. ABC 120， BCE 30.在RtCBE中，BC 20 km，BE 10 km . 由勾股定理可得 CE 10 3 km . 在 RtACE中，AC2AE2CE2(ABBE)2CE28 1003008 400，AC 20 21204.6 92(km ) (2) 选择乘“武黄城际列车”理由如下：乘客车需时间t18060113( h) ，乘“武黄城际列车”需时间t29218020401190( h)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载1131190，选择乘“武黄城际列车”(第 3 题) 3C点拨： 将台阶面展开，连接AB ，如图，线段 AB即为壁虎所爬的最短路线因为 BC 303103120(cm ) ，AC 50 cm ，在 RtABC中，根据勾股定理，得 AB2AC2BC216 900，所以 AB 130 cm. 所以壁虎至少爬行 130 cm. 410 5解：如图，连接 BD交 AC于 O ，连接 ED与 AC交于点 P，连接 BP. (第 5 题) 易知 BD AC ，且 BO OD ，BP PD ，则 BP EP ED ，此时最短AE 3，AD 134，由勾股定理得ED2AE2AD232422552，ED BP EP 5. 6解：如图，作点 B关于 MN 的对称点 C ，连接 AC交 MN 于点 P，则点 P即为所建的出口此时 A、 B两城镇到出口 P的距离之和最小，最短距离为 AC的长 作AD BB 于点 D，在 RtADC 中，AD AB 8 km ，DC 6 km . AC AD2DC210 km ，这个最短距离为10 km . ( 第 6 题) 72 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA D D ，连接AC ，如图线段 AC就是小虫爬行的最短路线根据题意得AB 22122.在 RtABC中，由勾股定理，得AC2AB2BC222228，AC 822. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载(第 7 题) 8解：(1) 圆锥(2) 扇形(3) 把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线(4) 在 RtASC中，由勾股定理， 得 AC210252125，AC 1255 5. 故蜗牛爬行的最短路程为5 5. ( 第 8 题) ( 第 9 题) 9解：(1) 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC 1和 AC1. (2) 如图，AC 142（44）245. AC1（44）24245. 所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 10解：分为三种情况：(1) 如图，连接 EC ，在 RtEBC中，EB 12820(cm )，BC 123015(cm ) 由勾股定理，得 EC 20215225(cm ) (2) 如图，连接 EC. 根据勾股定理同理可求CE 673 cm 25 cm . (3) 如图，连接 EC. 根据勾股定理同理可求CE 122（30815）22 953( cm )25 cm . 综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm . ( 第 10 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载专训 21A2解：由题意易知 AD BC ， 23. BC D 与BCD 关于直线 BD对称，12. 13. EB ED. 设 EB x，则 ED x，AE AD ED 8x. 在 RtABE中，AB2AE2BE2，42(8x)2x2. x5. DE 5. SBED12DE AB 125410. 解题策略：解决此题的关键是证得ED EB ，然后在 RtABE中，由 BE2AB2AE2，利用勾股定理列出方程即可求解3(1) 证明： 在正方形 ABCD 中，AD AB ，D B90.将 ADE 沿 AE对折至 AFE ，AD AF ，DE EF ，DAFE 90.AB AF ，BAFG 90.又AG AG ，RtABG RtAFG( HL)(2) 解：ABG AFG ，BG FG. 设 BG FG x，则 GC 6x，E为 CD的中点，CE DE EF 3，EG 3x. 在 RtCEG 中，32(6x)2(3 x)2，解得 x2. BG 2. 4(1) 证明： 由题意知， AFCF ，AE CE ，AFE CFE ，又四边形ABCD是长方形，故 AD BC ，AEF CFE.AFE AEF. AE AF EC CF. (2) 解： 由题意知， AEEC a，ED b，DC c，由 D90知， ED2DC2CE2，即 b2c2a2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载专训 3( 第 1 题) 1解：如图，连接 BD. 等腰直角三角形ABC中，点 D为 AC边的中点，BD AC ，BD平分 ABC( 等腰三角形三线合一 ) ， ABD CBD 45，又易知 C 45，ABD CBD C. BD CD. DE DF ，BD AC ，FDC BDF EDB BDF. FDC EDB. 在EDB 与FDC中，EBD C ，BD CD ，EDB FDC ，EDB FDC( ASA )，BE FC 3. AB 7，则 BC 7. BF 4. 在 RtEBF中，EF2BE2BF2324225，EF5. 22a；3a 3证明： CD AD ， ADC 90，即 ADC 是直角三角形由勾股定理，得 AD2CD2AC2. 又AD22AB2CD2，AD2CD22AB2. AC22AB2. ABC 90， ABC是直角三角形由勾股定理，得 AB2BC2AC2，AB2BC22AB2，故 BC2AB2，即 AB BC. 方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明， 应精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：找出图中证明结论所要用到的直角三角形；根据勾股定理写出三边长的平方关系；联系已知，等量代换，求之即可( 第 4 题) 4证明： 如图，连接 BM. PM AB ，BMP 和AMP 均为直角三角形BP2PM2BM2，AP2PM2AM2. 同理可得 BC2CM2BM2. BP2PM2BC2CM2. 又CM AM ，CM2AM2AP2PM2. BP2PM2BC2AP2PM2. BP2BC2AP2. ( 第 5 题) 5思路导引：过点 A作 AD BC于 D，图中出现两个直角三角形RtACD和 RtABD ，这两个直角三角形有一条公共边AD ，借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系解：如图，过点 A作 AD BC于点 D. ADC 90. 又 C60，CAD 90 C30， CD 12AC 5. 在 RtACD中，AD AC2CD21025253. 在 RtABD中，BD AB2AD211. BC BD CD 11516. 方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载6 思路导引：(1) 要求点 B和点 C的坐标， 只要分别求出 OB和OC 的长即可(2)由(1) 可知 BC的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，并与503比较即可解：(1) 在 RtAOB 中，BAO 60，ABO 30， OA 12AB. OA 100 m ，AB 200 m . 由勾股定理，得 OB AB2OA220021002100 3( m ) 在 RtAOC 中， CAO 45，OCA OAC 45.OC OA 100 m B(100 3，0)，C(100，0)(2) BC BO CO (1003100)m ，100 31001518503，这辆汽车超速了7解：(1) 在 RtABC中，BC2AB2AC2523216，BC 4 cm . (2) 由题意知 BP t cm ，如图，当 APB为直角时，点 P与点 C重合， BP BC 4 cm ，即 t 4；如图，当 BAP为直角时， BP t cm ，CP (t 4)cm ，AC 3 cm ，在 RtACP中，AP232(t 4)2，在RtBAP中，AB2AP2BP2，即 5232(t 4)2 t2，解得 t 254. 故当 ABP为直角三角形时， t 4 或 t 254. ( 第 7 题(2) (3) 如图，当 BP AB时，t 5；如图，当 AB AP时，BP 2BC 8 cm ，t 8；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载( 第 7 题(3) 如图，当 BP AP时，AP BP t cm ，CP |t 4| cm ，AC 3 cm ，在 RtACP中，AP2AC2CP2，所以 t232(t 4)2，解得 t 258. 综上所述：当 ABP为等腰三角形时， t 5 或 t 8 或 t 258. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页