2022年第十四章整式的乘除与因式分解知识点归纳 .pdf

1 第十四章整式的乘除与因式分解1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_3aa；_22aa；_8253baba_210242333222xxyxyxxyxyyx2同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法法则： (m，n 是正整数 ). 同底数幂相乘，底数，指数 . 例如：_3aa；_32aaa在应用法则运算时 , 要注意以下几点 : 法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；指数是 1时，不要误以为没有指数；不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为pnmpnmaaaa（其中 m 、n、p均为正数）；公式还可以逆用：nmnmaaa（m 、n均为正整数）3幂的乘方与积的乘方1. 幂的乘方法则： (m，n 是正整数 ). 幂的乘方，底数，指数 . 例如：_)(32a；_)(25x；()334)()(aa3. 底数有负号时 , 运算时要注意 , 底数是 a与(-a) 时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（ -a）3化成-a3).(),()( ,为奇数时当为偶数时当一般地nanaannn4底数有时形式不同，但可以化成相同。5要注意区别（ ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。6积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即nnnbaab)(（n为正整数）。7幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。4. 整式的乘法（1）. 单项式乘法法则 : 单项式相乘 , 把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式里含有的，连同它的作为。例如: yx 32)5)(2(22xyyx)2()3(22xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 2232)()(baba单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：积的系数等于各因式系数积，先确定符号， 再计算绝对值。 这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。（2）单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用去，再把所得的积。例如:)(cbam)532(2yxx)25(32babaab单项式与多项式相乘时要注意以下几点：单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；在混合运算时，要注意运算顺序。（3） 多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的乘以另一个多项式的，再把所得的积。例如:)6)(2(xx)12)(32(yxyx)(22bababa多项式与多项式相乘时要注意以下几点：多项式与多项式相乘要防止漏项， 检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；多项式相乘的结果应注意合并同类项；对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘abxbaxbxax)()(2，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和， 常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1 的两个一次二项式（mx+a ） 和 （nx+b） 相乘可以得abxmambmnxbnxamx)()(25. 同底数幂的除法1. 同底数幂的除法法则 : 同底数幂相除 , 底数, 指数, 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 (a0,m、n都是正数 , 且mn). 2. 在应用时需要注意以下几点: 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数 , 所以法则中 a0. 任何不等于 0的数的 0次幂等于, 即)0(10aa, 例如:1100,-2.50=-1, 则00无意义 . 6整式的除法1单项式除法单项式单项式相除，把、分别，作为商的因式，对于只在被除式里含有的，则连同它的作为商的一个因式；2多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个除以，再把所得的商，例如 :xxxy56；aaba4482bababa232454520ccbca2121222其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。7平方差公式1平方差公式：两数与这两数的积，等于它们的，即。例如： （4a1） （4a+1）=_ ；（3a2b） （2b+3a）=_；11 mnmn= ；)3)(3(xx；其结构特征是：公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。8完全平方公式1 完全平方公式：两数 _（或_）的_，等于它们的_，加上（或减去）它们的 _，即_ ；例如：_522ba；_32yx_22ab；_122m口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；2结构特征：公式左边是二项式的完全平方；公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 倍。3在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现222)(baba这样的错误。添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样9. 分解因式1. 把一个 _ 化成几个整式的 _的形式 ,这种变形叫做把这个多项式分解因式 . 2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式 ; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有_,那么就可以把这个 _提出来 ,从而将多项式化成两个因式 _的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如:)(cbaacab例如: 4yxy32xxx2+12x3+4x)1()1(anam2. 概念内涵 : (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(cbammcmbma3. 易错点点评 : (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净” ; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉 . 2. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法 . 2. 主要公式 : (1)平方差公式 : _ (2)完全平方公式 : _ _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 （1）12x2294ba22)(16zyx22)2()2(baba（2）442mm2269yxyx924162xx36)(12)(2baba3. 易错点点评 : 因式分解要分解到底 .如)(222244yxyxyx就没有分解到底 . 4. 运用公式法 : (1)平方差公式 : 应是二项式或视作二项式的多项式; 二项式的每项 ( 不含符号 ) 都是一个单项式 ( 或多项式 ) 的平方 ; 二项是异号 .(2)完全平方公式 : 应是三项式 ; 其中两项同号 , 且各为一整式的平方 ; 还有一项可正负 , 且它是前两项幂的底数乘积的2 倍. 3. 十字相乘法：型和型的因式分解下面举例具体说明怎样进行分解因式。例 1、 因式分解。分析：因为解：原式 =（x+7）（x-8 ） 7x + (-8x) =-x 例 2、 因式分解。分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解：原式=（2y+3）（3y+5）因为9y + 10y=19y 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式4. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式 ,若有,则先提取公因式 ; (2)再看能否使用公式法 ; (3) 最后看能否使用十字相乘法(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解 ; 单元测试题一、选择题（每题3 分，共 15 分）1. 下列式子中，正确的是 .( ) A.3x+5y=8xy B.3y2-y2=3 C.15 ab-15ab=0 D.29x3-28x3=x 2. 当 a=-1 时，代数式 (a+1)2+ a( a+3)的值等于 ( ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 3. 若-4x2y 和-2xmyn是同类项，则 m ，n 的值分别是 ( ) A.m=2,n=1 B.m=2,n=0 C.m=4,n=1 D.m=4，n=0 4. 化简(-x)3(-x)2的结果正确的是 ( ) A.-x6B.x6C.x5D.-x55. 若 x2+2(m-3)x+16 是完全平方式，则m的值等于 ( ) A.3 B.-5 C.7. D.7 或-1 6、下列运算中，正确的是（）A、236xxxB、222235xxxC、328xxD、222xyxy7、下列多项式中，能够因式分解的是（）A、22xyB、22xxyyC、214ppD、22mn8、分解因式2aab的结果是（）A、11abbB、21abC、21abD、 11bb9、下列多项式能利用平方差公式分解的是（）A、2xyB、22xyC、22xyD、22xy10、在多项式2222244,1 16,1,xxaxxxyy 中是完全平方式的有（A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个11、若12aa，则221aa的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 A、2 B、4 C、0 D、4二、填空（每题 3 分，共 15 分）1. 化简： a3a2b= ; 2222aa a的结果是 _ 。2.计 算 ： 4x2+4x2= ; 4x2(-2xy)= ; 200520045225_. 3.分解因式： a2-25= ;322_aaa. 4、若4xm，则2_xm5、2323_12xyx y6、当 m=_ 时，多项式2249xmxyy 是一个完全平方式。7、若多项 式2216xax能写成 一个多项式的平方 的形式，则a 的值为_ 。8、已知4,3xyxy，则22_xy。9、如果2212xxkx成立，那么 k=_ 。三、解答题（共 70 分）1计算（直接写出结果，共10 分）aman=， ( am)n=， ( ab)n=aa3= (m+n)2(m+n)3= (103)5= (b3)4= (2b)3= (2a3)2= (-3x)4= 2计算与化简 . （共 18 分）(1)3x2y(-2xy3) ； (2)2a2(3 a2-5b) ；(3)(-2 a2)(3 ab2-5 ab3). (4)(5x+2y)(3x-2y). (5)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；（6）(-3)2008(31)20093先化简，再求值（ 7 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 ( a+b)( a-2b)-( a+2b)( a-b) ，其中 a=2， b=-1 4把下列各式分解因式 . （共 18 分）(1)xy+ ay-by ； (2)3x(a-b)-2y(b-a) ；(3)m2-6m+9；(4) 4x2-9y2 (5) x4-1； (6) x2-7x+10； (7)(8)5解下列方程与不等式 ( 每题 5 分, 共 10 分) (1)3x(7-x)=18-x(3x-15)；（2） (x+3)(x-7)+8(x+5)(x-1). 6. 已知 x-y=1,xy=3 ，求 x3y-2x2y2+xy3的值.(7 分) 26、已知二次三项式21axbx与2231xx的乘积展开式中不含3x项，也不含x 项，求 a、b 的值。27、已知323121710 xxx能被22mxmx整除，其商式为5xn，求 m、n的值。30、若一个三角形的三边长a，b，c，满足2222220abcabbc，试判断三角形的形状。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 附加题 (共 20 分) 1. (1)若 x2n=4，x6n= ， (2)已知 am=2，an=3，则 am+n= . (3) 若 x2+3x-1=0，则 x3+5x2+5x+8= ；2.当 a，b 为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+18 有最小值？并求出这个最小值. 3.在实数范围内分解因式：(1)x25x3 (2)x26x8 (3)x22x1 (4) x2x3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页