2022年第四章圆与方程知识点总结及习题答案 2.pdf

第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)M xy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b， r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad， 则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程： 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程基础自测1. 方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆，则a 的取值范围是（A. a-2 或 a32B.-32a0C.-2 a0D.-2 a32答案D2. （2009河南新郑模拟 ）圆 x2+y2+2x-4 y+1=0 关于直线 2ax- by+2=0（a、bR ）对称，则ab 的取值范围是（A.41，B.410，C.0 ,41D .41,答案A3. 过点 A（1，-1 ），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的方程是（A. （x-3 ）2+(y+1)2=4B.( x+3)2+(y-1)2=4C. （x-1 ）2+(y-1)2=4D.( x+1)2+(y+1)2=4答案C4. 以点（ 2，-1 ）为圆心且与直线3x-4 y+5=0相切的圆的方程为（A.( x-2)2+( y+1)2=3 B.( x+2)2+( y-1)2=3C.( x-2)2+( y+1)2=9 D.( x+2)2+(y-1)2=9答案C5.（2009宜昌模拟 ） 直线 y=ax+b 通过第一、 三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2( r 0) 的圆心位于（）A. 第一象限B.C. 第三象限D.答案B例 1 已知圆 C的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上， 直线 3x+4y+4=0 与圆 C相切，则圆 C的方程为 （）A. x2+y2-2x-3=0B . x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4 x=0答案D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页例 2 已知圆 x2+y2+x-6 y+m =0 和直线 x+2y-3=0 交于 P，Q两点，且 OP OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径 .解 方法一将 x=3-2 y,代入方程 x2+y2+x-6y+m =0,5y2-20 y+12+m =0.设 P（x1, y1）,Q( x2, y2), 则 y1、y2y1+y2=4, y1y2=.512mOP OQ , x1x2+y1y2=0.x1=3-2 y1, x2=3-2y2.x1x2=9-6( y1+y2)+4y1y2.m =3, 此时 0, 圆心坐标为321，, 半径 r =25.方法二如图所示，设弦PQ中点为 M ，O1M PQ ，21MOk.O1M的方程为 : y-3=221x,即： y=2x+4.03242yxxy解得 M的坐标为（ -1 ，2）.则以 PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2 ）2=r2.OP OQ ，点 O在以 PQ为直径的圆上 .（ 0+1）2+（0-2 ）2=r2，即 r2=5,MQ2=r2.在 RtO1MQ 中， O1Q2=O1M2+MQ2.2121(3-2)2+5=44)6(12mm =3. 半径为25, 圆心为3,21.方法三设过 P、Qx2+y2+x-6 y+m +( x+2y-3)=0.OP OQ知，点 O（0，0）在圆上 .m -3=0，即 m =3.x2+y2+x-6 y+3+x+2y-3=0 x2+(1+) x+y2+2(-3) y=0.圆心 M2)3( 221，又圆在PQ上.-21+2（3-）-3=0 ，=1， m =3.3,21，半径为25.例 3 （12 分）已知实数x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.（1）求 y- x（2）求 x2+y2的最大值和最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页解 （1）y- x 可看作是直线y=x+b 在 y 轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,3202b，解得 b=-2 6 . 5 分所以 y- x 的最大值为 -2+6 ，最小值为 -2-6 . 6 分（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 8又圆心到原点的距离为22）00（）02（=2所以 x2+y2的最大值是（ 2+3 ）2=7+43x2+y2的最小值是（ 2-3 ）2=7-43 . 12圆与直线方程例 1 已知圆 x2+y2-6 mx -2 （m -1）y+10m2-2 m -24=0 （m R）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l（2）与 l（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（ x-3m ）2+y- （m -1）2=25设圆心为（ x，y），则,13mymx消去 ml ：x-3 y-3=0 ，则圆心恒在直线l ：x-3y-3=0 上.（2）解 设与 l 平行的直线是l1：x-3y+b=0l1的d=10310) 1(33bbmm.圆的半径为r =5当 dr ，即 -510 -3 b510 -3当 d=r , 即 b=510 -3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页当 dr ，即 b-510 -3 或 b510 -3 时，直线与圆相离.（3）证明对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l1：x-3 y+b=0，由于圆心到直线l1的距离 d=103b（4）弦长 =222dr且 r 和 d 均为常量 .任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例 2从点 A（-3 ，3）发出的光线l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4 x-4 y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程 .解 方法一如图所示，设l 与 x 轴交于点 B（b,0) ，则 kAB=33b, 根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=33b.y=33b( x- b),3x-( b+3)y-3 b=0.已知圆 x2+y2-4 x-4y+7=0 的圆心为 C（2,21,2) 3(932）3（6bbb=1, 解得 b1=-43, b2=1.kAB=-34或 kAB=-43.l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.方法二已知圆 C：x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆为C1：( x-2)2+( y+2)2=1，其圆心 C1的坐标为（ 2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切 .设 l 的方程为 y-3=k( x+3), 则22155kk=1,12k2+25k+12=0.k1=-34，k2=-43.l 的方程为 4x+3y+3=0或 3x+4y-3=0.方法三设入射光线方程为y-3=k( x+3), 反射光线所在的直线方程为y=-kx+b, 由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.,1122332kbkkbkk消去 b 得2155kk=1.12k2+25k+12=0, k1=-34, k2=-43.则 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页例 3 已知圆 C1：x2+y2-2 mx+4y+m2-5=0, 圆 C2：x2+y2+2x-2 my +m2-3=0, m为何值时，（1）圆 C1与圆 C2相外切；（ 2）圆 C1与圆 C2解 对于圆 C1与圆 C2C1:( x- m )2+( y+2)2=9; C2:( x+1)2+( y- m )2=4.(1) 如果 C1与 C2外切，则有22)2(）1（mm=3+2.( m +1)2+( m +2)2=25.m2+3m -10=0, 解得 m =-5 或 m =2.（2）如果 C1与 C2内含，则有22)2(）1（mm3-2.( m +1)2+( m +2)21, m2+3m +20,-2 m -1,当 m =-5 或 m =2 时，圆 C1与圆 C2当-2m -1 时，圆 C1与圆 C2内含 .例 4（12 分）已知点P（0，5）及圆 C：x2+y2+4x-12 y+24=0.（1）若直线 l 过 P且被圆 C截得的线段长为43 ，求 l 的方程；（2）求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如图所示， AB=43 ，D是 AB的中点， CD AB，AD =23 ，圆 x2+y2+4x-12y+24=0 可化为（ x+2）2+（y-6 ）2=16，圆心 C（-2，6），半径 r =4，故 AC =4在 RtACD中，可得 CD =2. 2设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5= kx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页即 kx- y+5=0.由点 C 到直线 AB 的距离公式：22)1(562kk =2 ，得 k=43. 此时直线 l 的方程为 3x-4 y+20=0. 4又直线 l 的斜率不存在时，此时方程为x=0. 6则 y2-12 y+24=0, y1=6+23 ,y2=6-23 ,y2-y1=43 ,故 x=0 满足题意 .所求直线的方程为3x-4 y+20=0 或 x=0. 8方法二设所求直线的斜率为ky-5=kx, 即 y=kx+5,联立直线与圆的方程,024124522yxyxkxy消去 y 得（ 1+k2）x2+(4-2 k) x-11=0 2设方程的两根为x1, x2,221221111142kxxkkxx 4由弦长公式得21k| x1- x2|=,344)(1(212212xxxxk将式代入，解得k=433x-4y+20=0. 又 k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.所求直线的方程为x=0 或 3x-4 y+20=0. 8（2）设过 P 点的圆 C 的弦的中点为D（x, y）,CD PD ，即 CD PD =0，（x+2, y-6） ( x, y-5)=0,x2+y2+2x-11y+30=0. 3. 求过点 P（4，-1 ）且与圆 C：x2+y2+2x-6y+5=0 切于点 M （1，2）的圆的方程 .解 方法一设所求圆的圆心为A（m , n) ，半径为 r ,则 A,M , C三点共线，且有| MA |=| AP|= r因为圆 C：x2+y2+2x-6 y+5=0的圆心为 C（-1，3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页则rnmnmmn2222) 1()4()2()1(113212, 解得 m =3,n=1,r =5 ,所以所求圆的方程为( x-3)2+( y-1)2=5.方法二因为圆 C：x2+y2+2x-6 y+5=0过点 M （1，2）的切线方程为2x- y=0,所以设所求圆Ax2+y2+2x-6y+5+(2x- y)=0,因为点 P（4，-1 ）在圆上，所以代入圆A解得=-4,所以所求圆的方程为x2+y2-6 x-2y+5=0. 4. （2008全国文 ，10）若直线byax=1 与圆 x2+y2=1 有公共点，则 ( )A. a2+b21 B. a2+b21C.2211ba1 D.2211ba1答案D5. 能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0 上恰有两个点到直线2x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的一个值为（A.2 B.5C.3D.35答案C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页