2022年第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 .pdf

多练出技巧巧思出硕果第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数xfy表示两个变量y与x之间的对应关系， 这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如xysin，21lnxxy等，这种函数表达方式的特点是： 等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时， 由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013yx表示一个函数，因为当变量x在，内取值时，变量y有确定的值与之对应。例如，当0 x时，1y；当1x时，32y，等等。这样的函数称为隐函数。一般地，如果在方程0yxF，中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程0yxF，在该区间内确定了一个隐函数。把 一个隐 函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程013yx解 出31xy，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化， 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例 1：求由方程0exyey所确定的隐函数y的导数dxdy。解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。方程左边对x求导得dxdyxydxdyeexyedxdyy，方程右边对求导得00。由于等式两边对x 的导数相等，所以0dxdyxydxdyey，从而0yyexexydxdy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果在这个结果中，分式中的y是由方程0exyey所确定的隐函数。隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待，例如yyyx1ln。（2）从求导后的方程中解出y来。（3）隐函数求导允许其结果中含有y。但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去。例 2：eexyy，确定了y是x的函数，求0y。解：0yeyxyy，yexyy，0 x时1y，ey10。例 3：函数( )yy x由方程222sin()0 xxyexy所确定，则_dydx解：方程两端求微分得222cos()(22)20 xxyxdxydye dxy dxxydy所以222222 cos()22 cos()xdyxxyeydxxyyxy例 4：已知arctan22yxxye，求dydx，22d ydx解：两边取对数221ln()arctan2yxyx所以dyxydxxy，222222()()d yxydxxy二、取对数求导法对于幂指函数xvxuy是没有求导公式的， 我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数y。例 5：求0sinxxyx的导数。解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得xxylnsinln；上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果xxxxyy1sinlncos1，于是xxxxxxxxxyyxsinlncossinlncossin。由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简。例 6：求4321xxxxy的导数。解：先在两边取对数（假定4x） ，得4ln3ln2ln1ln21lnxxxxy，上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得41312111211xxxxyy，于是413121112xxxxyy。当1x时，xxxxy4321；当32x时，xxxxy4321；用同样方法可得与上面相同的结果。注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如xxxexln，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求exxeexy的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。三、由参数方程确定的函数的导数若由参数方程tytx确定了y是x的函数，如果函数tx具有单调连续反函数xt，且此反函数能与函数ty复合成复合函数，那么由参数方程tytx所确定的函数可以看成是由函数ty、xt复合而成的函数xy。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数tx、ty都可导，而且0/t。于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页多练出技巧巧思出硕果是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy1，即ttdxdy。上式也可写成dtdxdtdydxdy。如果tx、ty还是二阶可导的，由ttdxdy还可导出y对x的二阶导数公式：ttttttdxdtttdtddxdydxddxyd1222，即tttttdxyd322例 7：设函数( )yy x由参数方程32tln(1t)ttxy所确定，则22d ydx=_ 解：32232(1)(23 )1ln(1)11dyttdtttttdxttdtt22(1)(23 )(ln(1)d ydttdxd tt561(1)(56 )1tttttt例 8：设sincosttxetyet，则22_d ydx。解：由于2(cossin )(cossin )tttdyett dtedxett dt所以22222(cossin )tttd ydeedtdxdxett dt32cossintett。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页