2022年第二章：实数教案 .pdf
1111111111111/21/21/21/2212hABC第二章：实数课题： P2.1 数怎么又不够用了(1) 教学目的：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；2、会用自己的语言说明一个数不是有理数。教学重点：借助图形判断一条线段是否是有理数线段。教学难点：寻找有理数线段的方法。教学过程：一、新课引入：有两个边长为1 的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。（1）设大正方形的边长为a，a 满足什么条件？（2）A 可能是整数吗？说说你的理由。（3）A 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。教师应鼓励学生充分进行思考、交流，并适时给予引导：“ 12=1，22=4，32=9，.越来越大，所以 a 不可能是整数” “2121=41，943232，结果都为分数，所以a 不可能是分数” “两个相同的最简分数的乘积仍然是分数“等。结论：在等式a2=2 中， a 既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。二、新课讲解：（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，b 满足什么条件？（3）b 是有理数吗？数 a、b 确实存在，但都不是有理数。进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教师可以引导学生自己举一些类似的无理数的例子。随堂练习：1、如图，正三角形ABC 的边长为2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分数吗？2、下面各正方形的边长不是有理数的是（）（A）面积为 25 的正方形（B）面积为169的正方形（C）面积为27 的正方形（D）面积为1.44 的正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页815DFACBEbacACB3、 （1）若长方形的长、宽分别是12、9，那么它的对角线的长是有理数吗？为什么？（2）若长方形的长、宽分别是7、5，那么它的对角线的长是有理数吗？为什么？4、下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？5、下图是由36 个边长为1 的小正方形拼成的，连接小正方形中的点 A、B、C、D、E、 F 得线段 AB 、BC、CD、DE、EF、 FA，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度不是有理数的是哪些？6、式子 x2=a，当 a是什么数时，x 一定不是有理数？7、如图， RtABC 的三边分别为a、b、c。（1）根据所给a、b 的值，求出c2 的值。 a=1，b=2， c2 =， a=1，b= 43， c2 =， a=3，b=4， c2 =， a=51，b= 51， c2 =， a=5，b=6， c2 =， a=9，b=12， c2 =， a=21，b=31， c2 =， a=0.6， b=0.8， c2 =，（2）分析上述c2 的结果，我们知道，c 是整数的有 ，c 是分数的有 ，c既不是整数又不是分数的有 （填上序号）三、课堂小结1、无理数产生的实际背景和引入的必要性；2、会用自己的语言说明一个数不是有理数；3、借助图形判断一条线段是否是有理数线段。四、作业P27 习题 2.1 与试一试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页课题： P2.1 数怎么又不够用了（二）教学目的：1、借助计算器探索无理数是无限不循环小数。2、会判断一个数是无理数还是有理数。教学重点 ：理解无理数的认识。教学难点：会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别。教学过程一、新课引入：1提出问题：（1）面积为2 的正方形的边长满足什么样的条件，它是有理数吗/ （2）面积为2 的正方形的边长为多少？2让学生说说面积为2 的正方形的边长的大致范围。二、新课讲解：1出示投影（1）P26 页图 2-2 （1）让学生讨论3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？让学生回答后教师归纳：从 3 个正方形来看， 我们可以直观地看出3 个正方形的大小关系：21a，那么a是 1点几呢？（2）鼓励学生借助计算器探索边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是几？千分位等（3）引导学生整理自己前面探索的思维过程，对于记号：“21a” “41s”教师讲清它的意义和写法。（4）出示投影（ 2） ：小明整理出的表格，让学生把自己整理的结果与之对比。（5）教师指出：还能往下算吗？a可能是有限小数吗？边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好是2呢？教师让学生交流，回答归纳： 事实上41421356.1a，它是一个无限不循环小数。如果a是有限小数，而不是2，所以a不可能是有限小数。课堂练习：1估计面积为5 的正方形的边长b的值，（结果精确到十分位）并用计算器检验。2b的结果精确到百分位呢？结果精确到千分位呢？归 纳 ： 同 样 ， 对 于 体 积 为2的 正 方 体 ， 借 助 计 算 器 ， 可 以 得 到 它 的 棱 长25992105.1c，它也是一个无限不循环小数。（1）议一议：把下面各数表示成小数，你发现了什么？3，54，95，458，112。学生交流后达到共识：有理数总可以用无限小数或无限循环小数表示，反过来， 任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。教师给出无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。除了象上面的a，b，c是无理数外，像我们熟悉的圆周率1415926.3也是一个无限不循环小数，所以它也是无理数。再如：88855858558858.0（相邻两个5 之间 8 的个数逐次增1）也是无理数。（2）想一想？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页你能找到其他的无理数吗？鼓励学生举出其他的无理数的例子，教师给予正确的判断。范例例 1：学生独立完成，教师给予正确评价。练习：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？4583.0，7.3，71，18三、课堂小结：1什么叫无理数？2有理数与无理数的区别是什么？四、作业：习题 2。2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页课题： P2.2 平方根（ 1）教学目标：1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。2、会求一个正数的算术平方根。3、了解算术平方根的性质。教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。教学难点：算术平方根的概念、性质。教学过程：一、新课引入：教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13 的正方形的边长究竟是多少？学生活动：（1）完成课本P32 的填空：a2=_b2=_，c2=_ d2=_e2=_，f2=_ （2）a，b， c，d，e， f 中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？师生互动集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。二、新课讲解：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的 算术平方根 。记为：“a”读做根号a。特别地， 0 的算术平方根是0。那么22a，则a=2b2=3，则 b=3；这样的话，一个非负数 的算术平方根就可以表示为a，例 1 分别写出下列各数的算术平方根05,-,231,0.09,254,81（要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）例 2、 自由下落物体的高度h （米） 与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。完成引例中的132x，则x13，以后我们可以利用计算器求出这个数的近似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页值。随堂练习： P33 1 三、课堂小结：（1）内容总结：算术平方根的定义、表示；a的双重非负性。（2）方法归纳：转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。四、作业：P34 习题 2.3 试一试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页课题： P2.2 平方根（二）教学目标 ：1、使学生理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；2、理解并掌握平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别. 3、提高学生的逻辑思维能力4、通过学习开方与乘方是互逆运算，体现了各物间既对立又统一的辩证关系，激发学生进一步探究数学奥秘的兴趣教学重点 ：算术平方根的概念和求法. 教学难点 ：算术平方根的概念，对符号“”意义的理解. 教学过程 ：一、新课引入：提问：1.625 的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？2.7 和 7 是哪个数的平方根？3.正数 m的平方根怎样表示？4.下列各数的平方根各是什么？(1)64 ； (2)0 ；(3)( 0.4)2；(4)2321；(5) 16；(6)( 4)3. 答：1.625 的平方根是25 和 25，这两个平方根的和是0. 2.7 和 7 是 49 的平方根 . 3.正数 m的平方根表示为m. 4.(1)64 的平方根是64= 8. (2)0 的平方根是0. (3) 因为 ( 0.4)2=0.16 ，所以它的平方根是16. 0= 0.4. (4) 因为2321=235=925，所以2321的平方根是925=35. (5) 因为 160, 所以 16 没有平方根 . (6) 因为 ( 4)3= 160, 所以 ( 4)3没有平方根 . 问：已知正方形的面积等于a, 那么它的一条边长等于多少？答：设正方形的一条边长为x，则 x2=a, 根据平方根的定义，x=a. 因为正方形的边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页长是正数，所以正方形边长为a. 二、新课讲解正数 a 有两个平方根(表示为a) ，我们把其中正的平方根，叫做a 的算术平方根，表示为a. 0 的平方根也叫做0 的算术平方根，因此0 的算术平方根是0，即0=0. 用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义，如图所示， 面积为 a(a 应是非负数 ) 、边长为a的正方形，边长a就表示 a的算术平方根. “”是算术平方根的符号，a就表示a 的算术平方根. a的意义有两点：(1) 被开方数a表示非负数，即a0; (2)a也表示非负数，即a0. 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数. 负数不存在算术平方根，即a0 时，a无意义 . 如9=3，8 是 64 的算术平方根，6无意义 . 这里需要说明的是，算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号，如a 0 时，a表示对非负数a 进行开平方运算， 另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a 的正的平方根. 例如9既表示对9 进行开平方运算，也表示9 的正的平方根. 例 1 求下列各数的算术平方根：(1)100 ； (2)6449； (3)0.81. 解： (1) 102=100， 100 的算术平方根是10，即10100. (2) 6449872，6449的算术平方根是87，即876449. (3) (0.9)2=0.81, 0.81 的算术平方根是0.9 ，即9 .081.0. 注意： 100 的平方根是10 和 10，而其算术平方根是10. 例 2 求下列各式的值：(1)10000；(2)144； (3)12125；(4)0001.0；(5)625； (6)8149. a a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页解： (1) 1002=10000，10000=100.(2) 122=144，144=12. (3) 12125)115(2，11512125. (4)(0.01)2=0.0001 ，0001.0=0.01. (5) 252=625，25625.(6)8149)97(2，978149. 注意： 由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a0 时，a 0( 当 a0）例 1、化简：（1）1235 （2）236（3） （15）2 （4） （2+1） （21）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页练习题： 1 、判断下面的计算是否正确。32 =32；（）1233=23； （）7434322； （）842164164。 （）2、选择：（1）若等式3xx=3xx成立，则x 的取值范围是（）A、x0； B、x3； C、x3； D、3xx0。（2）等式1aa =1aa成立的条件是（）A、a0； B、a 1； C、 10） ；aa2（a 0） ；aa2；aaa3333另外还有以前的整式的乘除法公式对实数的运算，依然通用且：实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念，如倒数，绝对值，相反数。实数范围内，加、减、乘、除、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意符号，平方根，但有一个负的立方根。四、例题：例题 1、有一长方形草坪，长是宽的2 倍，面积为1000 米2，求长方形的长和宽（结果化为最简形式）例题 2、化简：（1）3148；（2）2496例题 3、计算：（1）17644；（2）222430五、练习：P5254 复习题 A、B、C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页
