2022年第五篇平面向量专题二高考三角函数与平面向量命题动向 .pdf

优秀学习资料欢迎下载专题二高考三角函数与平面向量命题动向高考命题分析纵观近年各省的高考数学试题， 出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力在新课标高考试卷中一般有24 题，分值约占全卷的 14%20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义 现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向， 挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换； 两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性 )；简单的三角变换 (求值、化简及比较大小 )有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少， 而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐 主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查， 故常常在知识交汇点处命题， 而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、 解析几何、 导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载高考动向透视考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、 诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、 图象、 诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等【示例 1】?(2011福建)若 0，2，且 sin2 cos 2 14，则 tan 的值等于()A.22B.33C. 2 D. 3 解析由二倍角公式可得sin2 12sin2 14，即sin2 34，sin2 34，又因为 0，2，所以 sin 32，即 3，所以 tan tan 33，故选 D. 答案D 本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题， 还有主观题， 客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下【示例 2】?(2011浙江) 已知函数 f(x)Asin3x，xR，A0,0 2，yf(x)的部分图象如图所示，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为 (1，A)(1)求 f(x)的最小正周期及 的值；(2)若点 R的坐标为 (1,0)，PRQ23，求 A 的值解(1)由题意得， T236. 因为 P(1，A)在 yAsin3x的图象上，所以 sin31. 又因为 0 2，所以 6. (2)设点 Q 的坐标为 (x0，A)，由题意可知3x0632，得 x04，所以 Q(4，A)，如图，连接 PQ，在 PRQ中 ， PRQ 23， 由 余 弦 定 理 得cos PRQ RP2RQ2PQ22RP RQA29A2 94A22A 9A212，解得 A23.又 A0，所以 A3. 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识求单调区间高考对三角函数的单调性考查， 常以小题形式呈现， 有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题对于形如yAsin(x )(或 yAcos(x )，A0 的单调区间的求法是：先考虑A，的符号，再将 x 视为一个整体，利用ysin x 的单调区间，整体运算，解出x 的范围即可【示例 3】 ?(2011安徽 )已知函数 f(x)sin(2x )， 其中 为实数，若 f(x) f6对 xR 恒成立，且 f2f()，则 f(x)的单调递增区间是 ()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载A. k 3，k 6(kZ) B. k ，k 2(kZ) C. k 6，k 23(kZ) D. k 2，k(kZ) 解析因为当 x R 时，f(x) f6恒成立，所以 f6sin3 1，可得 2k 6或 2k 56.因为 f2sin( )sin f( )sin(2 )sin ， 故sin 0， 所以 2k 56， 所以 f(x)sin 2x56， 所以由22k 2x5622k得，函数的单调递增区间为k 6，k 23(k Z)答案C 本题的亮点是引入参数与不等式恒成立问题，求解此类问题的关键是：利用隐蔽条件 “正弦函数的有界性 ”，把不等式恒成立问题转化为含参数的方程，求出参数 的值，注意利用已知条件剔除增根；求出函数的解析式即可求其单调递增区间，熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度【训练】 (2011新课标全国 )设函数 f(x)sin(x )cos(x ) 0，| |2的最小正周期为 ，且 f(x)f(x)，则()Af(x)在 0，2单调递减Bf(x)在4，34单调递减Cf(x)在 0，2单调递增Df(x)在4，34单调递增解析f(x)sin(x )cos(x )2sin x 4， 由最小正周期为 得 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载2，又由 f(x)f(x)可知 f(x)为偶函数， | |2可得 4，所以 f(x)2cos 2x在 0，2单调递减答案A 求最值高考对三角函数最值的考查， 常以小题形式呈现， 属中档题 有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：化成yAsin(x )的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值【示例 4】 ?(2011重庆)设 aR， f(x)cos x(asin xcos x)cos22x 满足 f 3f(0)，求函数 f(x)在4，1124上的最大值和最小值解f(x)asin xcos xcos2xsin2xa2sin 2xcos 2x. 由 f 3f(0)得32a2121，解得 a2 3. 因此 f(x)3sin 2xcos 2x2sin 2x6. 当 x4，3时，2x63，2，f(x)为增函数，当 x3，1124时，2x62，34，f(x)为减函数，所以 f(x)在4，1124上的最大值为 f32. 又因为 f43，f11242，故 f(x)在4，1124上的最小值为 f11242. 本小题主要考查基本三角函数公式，以及运用三角函数公式对相关函数的解析式进行化简的能力，同时考查数形结合思想【训练】(2011上海)函数 y2sin xcos x 的最大值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解析注意到 y525sin x15cos x5sin(x )其中 cos 25，sin 15，因此函数 y2sin xcos x 的最大值是5. 答案5 利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础， 在前几年的高考中单独命题的情况很少， 但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性质， 解三角形进行命题， 但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题， 由此可见， 高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式【示例 5】?(2011天津)已知函数 f(x)tan 2x4. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 0，4，若 f22cos 2 ，求 的大小解(1)由 2x42k ，kZ，得x8k2，kZ，所以f(x)的定义域为xR|x8k2，kZ ，f(x)的最小正周期为2. (2)由 f22cos 2 ，得 tan 42cos 2 ，sin 4cos 42(cos2 sin2 )，整理得sin cos cos sin 2(cos sin )(cos sin )因为 0，4，所以 sin cos 0. 因此(cos sin )212，即 sin 2 12. 由 0，4，得 2 0，2.所以 2 6，即 12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力【训练】(2011浙江)若 0 2，2 0，cos413，cos4233，则 cos 2()A.33B33C.5 39D69解析对于cos 2cos442cos4cos42sin4sin42，而44，34，424，2. 因此 sin42 23，sin4263，则 cos 213332 23635 39.故选 C. 答案C 三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题，新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查， 而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战【示例 6】?设函数 f( )3sin cos ，其中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且 0 .(1)若点 P 的坐标为12，32，求 f( )的值；(2)若点 P(x，y)为平面区域 xy1，x1，y1上的一个动点，试确定角 的取值范围，并求函数 f( )的最小值和最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得sin 32，cos 12.于是 f( )3sin cos 332122. (2)作出平面区域 (即三角区域 ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是 0 2. 又 f( )3sin cos 2sin 6，且6 623，故当 62，即 3时，f( )取得最大值，且最大值等于2；当 66，即 0 时，f( )取得最小值，且最小值等于1. 本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力有关解三角形的考查新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、 余弦定理的综合运用为主， 在解题时，要分析清楚题目条件， 利用正弦定理、 余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180 ，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值在近几年的高考中，对解三角形的考查力度有所加强，而且更加注重知识点的综合运用，没有怪题、偏题下面我们就高考试题研究一下解三角形的问题【示例 7】?(2011江苏)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c. (1)若 sin A62cos A，求 A 的值；(2)若 cos A13，b3c，求 sin C 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解(1)由题设知 sin Acos6cos Asin62cos A从而 sin A3cos A，所以 cos A0，tan A3.因为 0A ，所以 A3. (2)由 cos A13，b3c 及 a2b2c22bccos A，得 a2b2c2. 故ABC 是直角三角形，且B2. 所以 sin Ccos A13. 本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力【训练】 (2011天津)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 BC,2b3a. (1)求 cos A 的值；(2)求 cos 2A4的值解(1)由 BC,2b3a，可得 cb32a. 所以 cos Ab2c2a22bc34a234a2a2232a32a13. (2)因为 cos A13，A(0，)，所以 sin A1cos2A2 23，cos 2A2cos2A179. 故 sin 2A2sin Acos A4 29. 所以 cos 2A4cos 2 Acos 4sin 2Asin 4 79224 292287 218. 平面向量共线与垂直高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现， 属中档题， 有时也在大题的条件中出现， 属中档偏难题 平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题【示例 8】?(2011江苏)已知 e1，e2是夹角为23的两个单位向量， ae12e2，bke1e2，若 a b0，则实数 k 的值为 _解析由题意知： a b(e12e2) (ke1e2)0，即 ke21e1e22ke1e22e220，即kcos 232kcos2320，化简可求得 k54. 答案54本题从向量数量积为0 入手，转化为关于两单位向量数量积的关系式，再利用两向量数量积定义，转化为含k的方程，即可求出k 的值【训练】(2011广东)若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c (a2b)()A4 B3 C2 D0 解析由 a b及 a c，得 b c，则 c (a2b)c a2c b0.故选 D. 答案D 平面向量的夹角高考对平面向量夹角的考查， 常以小题形式出现， 属中档题 有时也在大题中出现，属中档题 两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围； 依已知图形求两向量夹角， 此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解【示例 9】?(2011新课标全国 )已知 a 与 b均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题：p1：|ab|1? 0，23；p2：|ab|1? 23，；p3：|ab|1? 0，3；p4：|ab|1? 3，. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载其中的真命题是 ()Ap1，p4Bp1，p3Cp2，p3Dp2，p4解析由|ab|a22a bb222cos 1，得 22cos 1， cos 12， 0 23. 由|ab|a22a bb222cos 1，得 22cos 1， cos 12，3 . p1，p4正确答案A 此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角平面向量的模高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：把向量放在适当的坐标系中， 给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量 a(x，y)，求向量 a 的模只需利用公式 |a|x2y2即可求解不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化： |a|a2. 【示例 10】?(2011辽宁)若 a，b，c 均为单位向量， 且 a b0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为 ()A.21 B1 C. 2 D2 解析由已知条件， 向量 a，b，c都是单位向量可以求出， a21，b21，c21，由 a b0，及(ac) (bc)0，可以知道， (ab) cc21，因为 |abc|2a2b2c22a b2a c2b c，所以有 |abc|232(a cb c)1，故|abc|1.故选 B. 答案B 本小题主要考查了平面向量数量积的运算及应用它解决向量模的问题【训练】 (2011全国)设向量 a，b 满足|a|b|1，a b12，则|a2b|()A.2 B.3 C. 5 D. 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解析依题意得 (a2b)2a24b24a b54 123，则|a2b|3，故选 B. 答案B 向量的应用近年的新课标高考， 对于平面向量的应用的考查不仅体现在力学中，还渗透到中学学科的各个分支， 但不论题型如何变化， 都是把向量作为工具进行考查的，解题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目【示例 11】?(2011湖北)已知向量 a(1,2)，b(1，1)，则 2ab 与 ab 的夹角等于 ()A4B.6C.4D.34解析2ab(3,3)， ab(0,3)， 则 cos 2ab， ab 2ab ab|2ab| |ab|93 2322，故夹角为4，选 C. 答案C 本题主要考查了向量的坐标运算及数量积运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页