2022年单调性与最大值教学设计 .pdf
学习必备欢迎下载附件： 教学设计方案模板教学设计方案课题名称：单调性与最大（小）值姓名：工作单位：学科年级：高一数学教材版本：人教 A版一、教学内容分析在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容. 实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高。给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图像观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性, 这样就将以上两种方法统一起来了. 由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图像，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质 . 还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解 . 二、教学目标1. 函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 2. 理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力. 3. 通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图像的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识. 4. 能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性. 三、学习者特征分析1. 教学有利因素精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“随的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力2教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱这些都容易产生思维障碍四、教学过程（一）研探新知：（1）增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：根据23)(xxf、)0()(2xxxf的图象进行讨论：随 x的增大，函数值怎样变化？当21xx时，)(1xf与)(2xf的大小关系怎样？. 一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？定义增函数： 设函数)(xfy的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量21, xx，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xf在区间D上是增函数（ increasing function）探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；区间局部性、取值任意性定义：如果函数)(xf在某个区间D上是增函数或减函数， 就说)(xf在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫)(xf的单调区间。讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？)0()(2xxxf的单调区间怎样？练习（口答）：如图，定义在4 , 4上的)(xf，根据图像说出单调区间及单调性。(2) 增函数、减函数的证明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载出示例 1：指出函数23)(xxf、xxf1)(的单调区间及单调性，并给出证明。（由图像指出单调性示例23)(xxf的证明格式练习完成。）出示例 2：物理学中的玻意耳定律Vkp（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明. （学生口答演练证明）小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。判断单调性的步骤：设21, xx给定区间，且21xx； 计算)()(21xfxf至最简判断差的符号下结论。(3) 函数最大（小）值： 指出下列函数图象的最高点或最低点，能体现函数值有什么特征？( )23fxx，( )23fxx1,2x；2( )21f xxx，2( )21f xxx 2,2x 定义最大值：设函数)(xfy的定义域为I， 如果存在实数M满足： 对于任意的Ix，都有Mxf)(；存在Ix0，使得Mxf)(0. 那么，称M是函数)(xfy的最大值（Maximum Value） 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） 试举例说明方法 . 设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会证明的一般方法。（二）类型题探究题型一 求函数的单调区间例 1 求函数22| 3yxx的单调区间 . 【思维导图】【解答关键】去掉绝对值号，化为分段函数，并画出函数的图象，借助图象可以直观地判断出函数的单调区间 . 222,(0)232| 3,(0)23xxxyxxxxx，22| 3yxx去绝对值符号0 x由定义法或图象法结论223yxx223yxx0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载其图象如右图所示：由函数的图象可知，函数22| 3yxx的单调增区间是(, 1，0,1；单调减区间是 1,0，1,). 【技巧感悟】 本题中所给出的函数式中含有绝对值，可以采用零点分段法去绝对值，将函数转化为分段函数，再画出函数的图象，通过函数的图象观察函数的单调性. 【误区警示】该函数的单调递增区间是由两个区间组成，注意不能写成下列形式：(, 10,1，(, 1或0,1【思想方法】数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想，可以利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法是：先化简函数式，然后画出图象，最后根据函数的定义域与图象的位置、 状态确定函数的单调区间. 另外，研究函数的单调性的方法还有定义法以及利用已知函数的单调性进行判断. 【活学活用】 1. （1） ( 广东执信中学09-10 高一上学期期末) 函数( )|f xx和( )(2)g xxx的递增区间依次是（）A(,0，(,1B(,0，1,)C0,)，(,1 D1,)，1,)(2) 写出函数2|23|yxx的单调区间 . 1（1）C 解析如图 (2) 解析：先作出函数223yxx的图象，由于xyO( )f xxyO11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载绝对值的作用，把x轴下方的图象沿x轴对折到x轴的上方，所得函数的图像如右图所示：由函数的图象可知，函数在(, 1、1,3上是减函数，在 1,1、3,)上是增函数题型二判断并证明函数的单调性例 2 证明：函数4( )f xxx(0)x在区间(0,2)上单调递减，在2,)上单调递增 . 【思维导图】【解答关键】用定义法证明函数的单调性，主要是四个步骤，证明的关键是进行变形，尽量变成几个最简单因式的乘积的形式. 证明：任取12,(0,2)x x且12xx，于是，12121244()()()()f xf xxxxx121244()()xxxx121212()(4)xxx xx x. 由于12,(0,2)x x且12xx，所以120 xx，1204x x，则1240 x x，120 x x，故121212()(4)0 xxx xx x，即12()()0f xf x，故12()()f xf x，由减函数定义，得( )fx在区间(0, 2)单调递减 . 同理可证：( )fx在区间2,)上单调递增 . 【知识归纳】 函数( )(0)af xxax在区间(0,)a上是减函数， 在,)a上是增函数 .这一结论在求此类函数的值域或最值时非常方便，但解答题需要先证明结论后才能用. 【技巧感悟】在“作差变形”的过程中，为了确定符号，一般是分解出含有12xx的因式，再将剩下的因式通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，化为几个因式的积、xyO31xyO21( )g x作差12()()f xf x任取1202xx得出结论代入( )fx化简判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载商，或化为几个非负实数的和的形式，然后判断符号. 【误区警示】用定义证明函数的单调性时要注意详细写出解题步骤，如果省略必要的步骤，将会导致错误 . 另外，有的同学没有化简彻底，就开始判断符号，这也是容易出错的. “题要一步一步地解”，在数学证明题中显得尤为重要. 【活学活用】 2. （2009 湖北黄冈中学高一测试）下列函数中，在(0)，上为减函数的是（）A.21xyB.xxy22C.1yxD.1xxy2D 解析：注意到函数21xy是一个以(01)，为顶点的开口向下的抛物线，xxy222(1)1x是一个以( 11)，为顶点，开口向上的抛物线，它们在)0(，上都不是单调减函数，而xy1的图象是出现在第二和第四象限的两支曲线，在)0(，上单调递增，所以正确选项是 D 题型三单调性的应用例 3 已知函数2( )2(1)2f xxax在区间(,4上是减函数，求实数a的取值范围 . 【思维导图】【解答关键】先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解. 【规范解答】2( )2(1)2f xxax22(1)(1)2xaa，故此二次函数的对称轴为1xa，所以函数的单调递减区间为(,1a，又因为( )f x在(,4上是减函数，所以对称轴1xa必须在直线4x的右侧或与其重合 . 故14a，解得3a. 【技巧感悟】函数( )fx在( , )a b是为单调递增 ( 递减) 函数与函数( )fx的单调递增 (递减 )区间为( , )a b有着本质差异 . 可理解如下：(1) 函数( )f x在( , )a b是为单调递增 ( 递减) 函数，说明除此区间之外，( )fx在其它区间上也可能单调递增 (递减) 函数. (2) 函数( )f x的单调递增 ( 递减 )区间为( , )a b，说明函数( )fx除此区间外，在其它区间上不再有单调递增 (递减) 区间. 【活学活用】 3.(1) 若函数2( )45f xxmxm在 2,)上是增函数，在(, 2上是减函数，则实数m的值为；判断函数解析式配方图象的对称轴对称轴与所给区间的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载（ 2） 若 函数2( )45f xxmxm在 2,)上 是增 函 数 ，则 实 数m的 取 值 范 围为 . 3. 解析：（ 1）由二次函数的图象可知，该二次函数的对称轴是2x，即28m，即16m（2）由题意可知，二次函数的对称轴是8mx，若( )f x在 2,)上是增函数，则需满足28m，即16m ( 三）小结：注：教师根据本班学生情况及其课堂教学灵活安排。目标检测一、选择题1若函数ykxb是R上的减函数，那么 ( ) A0k B0k C0k D无法确定1 B 解析：因为函数ykxb是R上的减函数，所以对任意12xx，应有12()()f xf x，即12()0k xx，又120 xx，所以0k2下列函数中，在区间(0, 2)上为增函数的是 ( ) A3yx B21yx C1yx D|yx2D 解析：画出图象可得，在区间(0, 2)上，3yx，21yx，1yx都是递减函数3.( 河南宝丰一高 2009-2010 月考) 定义在R上的函数( )f x对任意两个不相等实数,a b，总有( )( )0f af bab成立，则必有（）A函数( )f x是先增加后减少 B函数( )fx是先减少后增加C( )fx在R上是增函数 D( )f x在R上是减函数3 C 解 析 ： 由于( )( )0f af bab， 所 以0ab，( )( )0f af b得 当ab时 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载( )( )f af b；同理当ab时，( )( )f af b. 故( )f x在R上是增函数4( 河南新乡2009-2010 学年高一上学期期末) 已知二次函数2( )21f xxax在区间2,3上单调函数，则实数a的取值范围为（）A32aa或B23aC 23aa或D 32a4 A 解析：( )f x的对称轴xa，若在区间2,3上是增函数，则2a；若在区间2,3上是减函数，则3a5. 已知函数2( )45f xxmx在区间 2,)上是增函数，则(1)f的取值范围是 ( ) A(1)25f B(1)25f C(1)25f D(1)25f5A 解析：数形结合与( )f x的对称轴28m，则16m，得16m，(1)45925fmm二、填空题6. 定义 在1,4上 的 函 数( )f x为减 函 数 ， 求 满 足 不 等 式(1 2 )(4)0fafa的a的 集合 . 6.| 10aa解析：通过函数单调性的可逆转化为自变量的关系1124144 ,124aaaa即xyO2yx2yx10yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载30230 ,1aaa10.a三、解答题7已知函数( )yf x的定义域为R，且对任意的正数d，都有()( )f xdf x，求满足(1)(21)fafa的a的取值范围7解析：0d时，()( )f xdf x，函数( )yf x是减函数，由(1)(21)fafa得：121aa，解得23a，a的取值范围是2(,)38判断函数21( )f xxx(0,)x的单调性，并用单调性的定义证明你的结论8证明：函数21( )fxxx(0,)x是增函数 . 证明如下：设120 xx，则221212121212211211()()()()xxf xf xxxxxxxxxx x1212121()()xxxxx x，因为120 xx，所以120 xx，121210 xxx x， 则12()()0f xf x，即12()()f xf x，故函数21( )f xxx(0,)x是增函数高考能力演练9（2009 福建理）下列函数( )f x中，满足“对任意1x，2x（0，），当1x2()f x的是( ) A( )f x=1x B( )f x=2(1)x C( )41f xx D1( )f xx9 A 解析：依题意可得函数应在(0,)x上单调递减，故由选项可得A正确. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载高考能力演练10. 作出函数 f （x）=122xx+122xx的图象，并指出函数f （x）的单调区间 . 10. 由于所给的函数是两个被开方数和的形式，而被开方数恰能写成完全平方的形式，因此可先去掉根号，转化成分段函数的形式，再作图写出单调区间. 原函数可化为f （x）=122xx+122xx=|x+1|+|x1|= 作出函数的图象：所以函数的递减区间是（，1，函数的递增区间是1，+） . 11. 已知点 p(t,y)在函数)1(1)(xxxxf的图象上，且有).0(04222ccatct（1）求证：4|ac；（2）求证：在（ 1，+）上)(xf单调递增；（3）求证：.1|)(|)(|cfaf11. （1）01616)(, 1,224222caccactRt，. 4|,16,022acacc（2）由,111)(xxf设211xx，则.) 1)(1(111111)()(12211212xxxxxxxfxf, 01,01, 0,1212121xxxxxx0)()(, 0)()(1212xxfxfxfxf即时，)(xf单调递增 . （3）)(xf在1x时单调递增，,0|4|ac2x，x 1，2， 1x1，2x，x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载4|44(|)()4|41|4|4(|)(| |)1.(|)(|)1.|1|4|4|4afcfaaaaafafcfafcaaaa?=+=+=+即五、教学策略选择与信息技术融合的设计教师活动预设学生活动设计意图问题1：根据23)(xxf、)0()(2xxxf的 图 象进 行讨论： 随 x的增大，函数值怎样变化 ？当21xx时 ，)(1xf与)(2xf的大小关系怎样？学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题时会发现问题，从而引起认知冲突。提出问题，引发学生的认识冲突， 说明函数单调性的必要性问题 2：一次函数、 二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？回答问题回顾已有知识问题3： 定义增函数：设函数)(xfy的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量21,xx， 当21xx时，都 有)()(21xfxf， 那 么 就 说)(xf在 区 间D上 是 增 函 数（increasing function）回答问题老师归纳，帮助学生在理解的基础上掌握概念问题 4：探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；区间局部性、取值任意性回答，讨论交流，补充提出问题，引发学生的认识冲突， 说明函数单调性的必要性问题 5：讨论：图像如何表示单调回答，讨论交流，补充提出问题，引发精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？yx2的单调区间怎样？学生的认识冲突， 说明函数单调性的必要性问题 6：增函数、减函数的证明：出示例1：指出函数f(x)3x2、f(x) x1的单调区间及单调性，并给出证明。出示例 2：物理学中的玻意耳定律kpV（k 为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积 V增大时， 压强 p 如何变化？试用单调性定义证明 . 判断单调性的步骤：设x1、x2给定区间，且 x1x2； 计算 f(x1)f(x2) 至最简判断差的符号下结论。由图像指出单调性示例f(x) 3x2 的证明格式练习完成。学生口答演练证明小结：比较函数值的大小问题， 运用比较法而变成判别代数式的符号。问题 7：函数最大（小）值： 指出下列函数图象的最高点或最低点，能体现函数值有什么特征？( )23fxx，( )23fxx通过以上问题的探讨， 使学生逐渐体会做题的一般方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载1,2x；2( )21f xxx，2( )21f xxx 2,2x定义最大值：设函数)(xfy的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的Ix，都有Mxf)(；存在Ix0，使得Mxf)(0. 那么，称M是函数)(xfy的最大值（ Maximum Value） 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） 试举例说明方法 . 六、教学评价设计本课题以“提问题”的形式，使得学生赋予想象力，增强学生学习的兴趣，提供学习新知的源动力。在这个学习过程中，学生充满疑问和好奇进入了本课题的探究。可见，恰当的“导入”为创造性学习迈出了第一步，也是学生思维品质提升的源泉，加强对学生创新思维品质的培养，从而促进学生创新能力的形成与发展。新知不是凭空而降，新知来源于旧知，只有把已有的知识充分掌握的情况下，才有可能发现新的知识和内容，这也是创造的源泉。七、教学课件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
