2022年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 2.pdf

2011 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09 解三角形）一、选择题：1(2011 辽宁理 )ABC 的三个内角A， B，C 所对的边分别为a， b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A2 3B2 2C3D22. (2011四川文、理 ) 在ABC 中222sinsinsinsinsinBCBC.则 A 的取值范围是（）(A)(0 ，6 (B) 6，) (c)(0，3 (D) 3，) 2. 答案： C 解析：由题意正弦定理22222222211cos023bcaabcbcbcabcAAbc3 (2011 天津理 ) 如图，在ABC中，D是边AC上的点， 且,23,2ABCDABBD BCBD，则sinC的值为( ) A33B36C63D66【答案 】D 【解析 】设BD2，则3ADAB，4BC，由余弦定理得332323432cos222BDADABBDADADB，36311cos1sin2BDCBDC. 由正弦定理得CBDCsin2sin4，即663621sin21sinBDCC. 4. (2011 浙江文 ) 在ABC中，角,A B C所对的边分, ,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB( ) (A)- 12(B) 12(C) -1 (D) 1 【答案 】D 【解析 】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA. 5(2011 重庆文 ) 若ABC的内角，,A B C满足6sin4sin3sinABC，则cosB（）A154B34C3 1516D11166(2011 重庆理 ) 若 ABC 的内角 A、B、C 所对的边a、b、c 满足22ab4c（），且 C=60，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页则 ab的值为（）A43B84 3C 1 D23二、填空题：1. (2011 安徽理 ) 已知ABC的一个内角为120o， 并且三边长构成公差为4 的等差数列， 则ABC的面积为 _ 1.15 3【命题意图】 本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积. 【解析】设三角形的三边长分别为4, ,4aa a，最大角为，由余弦定理得，则10a，所以三边长为6,10,14.ABC的面积为16 10 sin12015 32S. 2. (2011 北京文 ) 在ABC中，若15,sin43bBA，则a. 【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,sin43bBA所以55 2,13sin34aa3. (2011 北京理 ) 在ABC中。 若 b=5，4B， tanA=2 ， 则 sinA=_ ； a=_。【答案】2 5521 0【解析】由tan2Asin12cossincos2AAAA，又22sincos1AA所以221sinsin14AA解得2 5sin5A，正弦定理得2 5555,2 52sin452aa则2 10a。4. (2011 福建文 )若ABC的面积为3，BC=2，C=60，则边AB的长度等于 _. 解析：12sin603,22sACAC，所以ABC为等边三角形，故边AB的长度等于2. 答案应填2. 5. (2011福建理 ) 如图， ABC中， AB=AC=2 ，BC=2 3，点 D 在 BC边上， ADC=45 ，则 AD的长度等于 _。解析：在 ABC中， AB=AC=2 ，BC=2 3中，30ACBABC，而 ADC=45 ，sin45sin30ACAD,2AD, 答案应填2。6.(2011 全国新课标卷文) ABC 中 B=120 ，AC=7 ，AB=5 ，则 ABC 的面积为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。有余弦定理得1200222cos2BCACBCACAB所以 BC=3 ，有面积公式得S=43157. (2011 全国新课标卷理) 在ABCV中，60 ,3BAC，则2ABBC的最大值为。解析：00120120ACCA,0(0,120 )A,22sinsinsinBCACBCAAB022sin2sin(120)3cossinsinsinABACABCAAACB；2ABBC3 cos5sin28sin()2 7 sin()AAAA，故最大值是2 78. (2011上海文、理 ) 在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点C，若75 ,60CABCBA，则 A、C 两 点之间的距离为千米 . 8、6；三、解答题：1. (2011 安徽文 ) (本小题满分13 分) 在ABC 中，a， b， c 分别为内角A， B， C 所对的边长， a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC 上的高 . 1.【解题指导】先对coscosBCA恰当的变形，再利用三角形中的正弦定理以及三角形中的边角关系 ,求出角B,本题得解 . 【解析】在ABC中,coscosBCA,12cos()12cos0,BCA3A. 在ABC中,根据正弦定理,sinsinabAB,sin2sin2bABa. 5,412abBCAB.212362sinsinsincoscossin22224CBABABABC边上的高为6231sin242bC. 【规律总结】 本题在三角形这一背景下，主要考查了考生处理涉及三角形的边角关系问题的能力. 解斜三角形时，要根据所给条件灵活的选择正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边这两种途径，实现边和角的相互转化。三角形的面积有多种计算方法，在解题中要注意灵活选用，要注意1sin2sabc这一面积公式与正余弦定理的结合. 2(2011 湖北文、理 ) （本小题满分12 分）设ABC的内角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页已知11,2,cos4abC（ I） 求ABC的周长；（ II）求cos()AC的值。2本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分12 分）解： （）22212cos14444cababC2.cABC的周长为1225.abc（）221115cos,sin1cos1( ).444CCC15sin154sin28aCAc,acAC，故 A 为锐角，22157cos1sin1().88AA71151511cos()coscossinsin.848816ACACAC3(2011 湖南文、理 ) （本小题满分12 分）在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC （）求角C 的大小；（）求3sinA-cos（B+4）的最大值，并求取得最大值时角A、B 的大小。3 （本小题满分12 分）解析：（I）由正弦定理得sinsinsincos .CAAC因为0,A所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则（II）由（ I）知3.4BA于是3 sincos()3 sincos()43 sincos2sin().63110,46612623ABAAAAAAAAA从而当即时2sin()6A取最大值2综上所述，3 sincos()4AB的最大值为2，此时5,.312AB4、(2011 江苏 ) （本小题满分14 分 ）在 ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA求 A 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页（2）若cbA3,31cos，求Csin的值 . 4.解析：考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。（1）sin()2cos,sin3 cos,63AAAAA（2）22221cos,3 ,2cos8,2 23AbcabcbcAcac由正弦定理得：2 2sinsinccAC，而22 2sin1cos,3AA1sin3C。 （也可以先推出直角三角形）5. (2011江西文 ) (本小题满分12 分）在ABC中，CBA,的对边分别是cba,，已知CbBcAacoscoscos3. （ 1）求Acos的值；(2)若332coscos, 1CBa，求边c的值5. 解： （ 1）由CbBcAacoscoscos3正弦定理得：)sin(cossincossincossin3CBCBBCAA及：AAAsincossin3所以31cos A。（ 2）由332coscosCB332cos)cos(CCA展开易得：36sin3sin2cosCCC正弦定理：23sinsincCcAa【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难。第一问主要涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180 这两个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂。6. (2011江西理 ) （本小题满分12 分）在ABC 中，角CBA,的对边分别是cba,，已知2sin1cossinCCC. （1）求Csin的值；（2）若8)(422baba，求边c的值 . 6. 解： （ 1）已知2sin1cossinCCC2sin2sin2cos2sin2cos2cos2sin22222CCCCCCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页整理即有：012sin22cos22sin02sin2sin22cos2sin22CCCCCCC又 C 为ABC中的角，02sinC412sin2cos2cos2sin2412cos2sin212cos2sin222CCCCCCCC43sin432cos2sin2CCC（2）8422baba2,2022044442222babababa又47sin1cos2CC，17cos222Cabbac7(2011 辽宁文 ) （本小题满分12 分）ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a， b，c，asinAsinB+bcos2A=2a（I）求ba；（II）若 c2=b2+3a2，求 B7解： （I）由正弦定理得，22sinsincos2 sinABAA，即22sin(sincos)2 sinBAAA故sin2 sin,2.bBAa所以 6 分（II）由余弦定理和222(13)3,cos.2acbaBc得由（ I）知222,ba故22(23).ca可得212cos,cos0,cos,4522BBBB又故所以 12 分8. (2011 全国大纲卷文 ) ( 本小题满分12 分)( 注意：在试题卷上作答无效) ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c. 己知sincsin2 sinsinaACaCbB. ( ) 求 B；（）若075 ,2,Abac求 ，. 8. 【思路点拨】第（I ）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II ）在（ I ）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【解析】 (I) 由正弦定理得2222acacb3 分由余弦定理得2222cosbacacB. 故2cos2B，因此45B .6 分（II ）sinsin(3045 )Asin30 cos45cos30 sin 45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页2648 分故sin2613sin2AabBsinsin 6026sinsin 45CcbB. 12 分9. (2011 全国大纲卷理) (本小题满分l0 分)(注意：在试题卷上作答无效) ABC 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知90AC, ,求C.9.【命题意图】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、辅助角公式,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】由2acb及正弦定理可得sinsin2sinACB3 分又由90AC,180()BAC,故cossin2 sin()CCAC=2 sin(902 )C=2 cos2C7 分22cossincos222CCC, cos(45)cos2CC因为09 0C, 所以24 5CC, 15C10 分【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 10. (2011 山东文 ) （本小题满分12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=cosBb. （）求sinsinCA的值；（）若cosB=14，5bABC的周长为，求的长 .10.【解析】 (1)由正弦定理得2sin,aRA2sin,bRB2sin,cRC所以cosA-2cosC2c-a=cosBb=2sinsinsinCAB,即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB,即有sin()2sin()ABBC,即sin2sinCA,所以sinsinCA=2. (2)由(1)知sinsinCA=2,所以有2ca,即 c=2a,又因为ABC的周长为5,所以 b=5-3a,由余弦定理得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页2222cosbcaacB，即22221(53 )(2 )44aaaa，解得 a=1，所以 b=2. 11. (2011山东理 ) （本小题满分12 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知cos2cos2cosACcaBb，（）求sinsinCA的值； （）若1cos,24Bb，求ABC的面积 S。11. 解： （）在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb及正弦定理可得cos2cos2sinsincossinACCABB，即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCBsin()2sin()ABCB，而ABC，则sin2sinCA，即sin2sinCA。另解 1：在ABC中，由cos2cos2cosACcaBb可得cos2 cos2 coscosbAbCcBaB由余弦定理可得22222222222222bcaabcacbacbcaac，整理可得2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。另解 2：利用教材习题结论解题，在ABC中有结论coscos,coscos,coscosabCcB bcAaC caBbA. 由cos2cos2cosACcaBb可得cos2 cos2 coscosbAbCcBaB即coscos2 cos2 cosbAaBcBbC，则2ca，由正弦定理可得sin2sinCcAa。（）由2ca及1cos,24Bb可得22222242cos44,caacBaaaa则1a，2c，S21115sin1 21cos224acBB，即154S。12(2011 陕西文、理 ) （本小题满分12 分）叙述并证明余弦定理。12解余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中， a，b，c 为 A，B，C 的对边，有2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页2222coscababC证法一如图，2cBCACABACAB222ACACABAB222cosACACABAAB222cosbbcAc即2222c o sabcbA同理可证2222c o sbcac aB，2222coscababC证法二已知ABC中,A B C所对边分别为, , ,a b c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则( cos ,sin),( ,0)C bA bAB c，22222222222|( cos)( sin)cos2cossin2cos.aBCbAcbAbAbcAcbAbcbcA同理可证2222222cos ,2cos .bcaacBcababC13(2011 天津文 ) （本小题满分13 分）在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知,23 .BCba（）求cosA的值；（）cos(2)4A的值13.本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13 分。（）解：由3,23 ,2BCbacba可得所以22222233144cos.2333222aaabcaAbcaa（）解：因为1cos,(0,)3AA，所以222sin1cos3AA274 2cos22cos1.sin 22sincos.99AAAAA故所以724 2287 2cos 2cos2cossin2sin.444929218AAA14.(2011 浙江理 ) （本题满分14 分）在ABC中，角. .ABC所对的边分别为a,b,c. 已知sinsinsin,ACpB pR且214acb. （）当5,14pb时，求,a c的值；()若角B为锐角，求p 的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页14本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14 分。（I）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4acac解得1,1,41,1.4aacc或（II）解：由余弦定理，2222cosbacacB222222()22cos11cos ,2231cos ,22acacacBp bbbBpB即因为230cos1,(,2)2Bp得，由题设知60,2.2pp所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页