2022年全等三角形的经典模型 .pdf

. . 作弊？漫画释义三角形 9 级全等三角形的经典模型（二）三角形 8 级全等三角形的经典模型（一）三角形 7 级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲满分晋级3 全等三角形的经典模型（一）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页. . DCBA4545CBA等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或 904545 ，）. 如图 1；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题. 如图 2；补全为正方形. 如图 3，4.图 1 图 2 图 3 图 4 思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页. . ABCOMNABCOMN【例 1】 已知：如图所示，RtABC 中， AB=AC，90BAC ，O 为 BC 的中点，写出点 O 到 ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要求证明）如果点M、N 分别在线段AC、 AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断 OMN 的形状，并证明你的结论. 如果点M、N 分别在线段CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持 AN=CM，试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明【解析】 OA=OB=OC连接 OA, OA=OC45BAOCAN=CM ANO CMOON=OMNOAMOC90NOABONMOCBON90NOM OMN 是等腰直角三角形 ONM 依然为等腰直角三角形，证明： BAC=90 ，AB=AC，O 为 BC 中点 BAO=OAC=ABC=ACB=45 ，AO=BO=OC，在ANO 和CMO 中，ANCMBAOCAOCO ANO CMO（ SAS）ON=OM，AON=COM ，又 COMAOM=90 ， OMN 为等腰直角三角形【例 2】 两个全等的含30o， 60o角的三角板ADE和三角板ABC ，如图所示放置，, ,E A C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M ，连接ME，MC 试判断EMC的形状， 并说明理由【解析】EMC是等腰直角三角形典题精练ABCOMNMEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页. . FEDCBANM12ABCDEF3M12ABCDEF3证明：连接AM由题意，得,90 ,90.DEACDAEBACDABooDAB为等腰直角三角形. DMMB，,45MAMBDMMDAMABo105MDEMACo，EDMCAM,EMMCDMEAMC又90EMCEMAAMCEMADMEo CMEM ，EMC是等腰直角三角形【例 3】 已知：如图，ABC中， ABAC ，90BAC ，D是 AC 的中点，AFBD于E，交 BC 于F，连接DF求证：ADBCDF 【解析】 证法一：如图，过点A作 ANBC 于 N ，交BD于M ABAC ，90BAC ，345DAM 45C ，3C AFBD，190BAE90BAC ，290BAE 12在ABM和CAF中，123ABACCABMCAF AMCF 在ADM和CDF中，ADCDDAMCAMCFADMCDFADBCDF 证法二：如图，作CMAC 交AF的延长线于MAFBD，3290 ，90BAC ，1290 ，13在ACM和BAD中，MEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页. . PCBAPCBAD1390ACABACMBADACMBADMADB， ADCM ADDC ， CMCD 在CMF和CDF中，45CFCFMCFDCFCMCDCMFCDFMCDFADBCDF 【例 4】 如图，等腰直角ABC中，90ACBCACB，P为ABC内部一点，满足求证：15BCPPBPCAPAC，【解析】 补全正方形ACBD ，连接 DP，易证ADP是等边三角形，60DAP，45BAD，15BAP，30PAC， 75ACP，15BCP【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选 1】如图， RtABC 中， BAC=90 ，AB=AC，M 为 AC 中点， 连结 BM，作 ADBM交 BC 于点 D，连结 DM，求证 :AMB=CMD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页. . 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰RtBFC，延长 AD 交 CF 于点 N，ANBM，由正方形的性质，可得AN=BM，易证 RtABM RtCAN， AMB= CND，CN=AM，M 为 AC 中点， CM=CN， 1=2，可证得 CMD CND， CND=CMD ， AMB=CMD 【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图， RtABC 中， BAC= 90 ，AB=AC，AD=CE， ANBD 于点 M，延长 BD交 NE 的延长线于点F，试判定 DEF 的形状【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰RtBHC，可知四边形ABHC 为正方形，延长AN 交 HC 于点 K，AKBD，可知 AK=BD，易证 :RtABDRtCAK， ADB=CKN ，CK=AD，AD=EC，CK=CE，易证 CKN CEN， CKN=CEN，易证 EDF =DEF ， DEF 为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图， RtABC 中， A=90 ，AB=AC，D 为 BC 上一点， DEAC，DF AB，且 BE=4，CF=3，求 S矩形DFAE21NFABCDMEEMDCBAABCDEFNMKHMNFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页. . 【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰RtGCB，可知四边形ABGC 为正方形，分别延长FD、 ED 交 BG、CG 于点 N、M，可知 DN=EB=4，DM=FC=3，由正方形对称性质，可知 S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM DN=34=12【探究四】求线段长【备选 4】如图， ABC 中， ADBC 于点 D， BAC=45 ，BD=3，CD=2，求 AD 的长【分析】 此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐， 本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但 BAC=45 ，若分别以AB、AC 为对称轴作RtADB 的对称直角三角形和Rt ADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90 的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】 以 AB 为轴作RtADB 的对称的RtAEB，再以AC 为轴作RtADC 的对称的RtAFC可知 BE=BD=3，FC =CD=2，延长 EB、FC 交点 G， BAC=45 ，由对称性，可得EAF=90 ，且 AE=AD=AF，易证四边形AFGE 为正方形，且边长等于AD，设 AD=x，则 BG=x3，CG=x2，在 Rt BCG 中，由勾股定理，得222235xx，解得 x=6，即 AD=6【探究五】求最小值GMNFEDCBAFEDCBAGFEDCBADCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页. . EDCBA21【备选 5】如图， RtABC 中， ACB=90 ，AC=BC=4，M 为 AC 的中点， P 为斜边 AB 上的动点，求PM+PC 的最小值【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtACB 关于 AB 对称的 RtADB ，可知四边形ACBD 为正方形，连接CD，可知点C 关于 AB 的对称点D，连接 MD交AB 于点P，连接CP，则PM+PC 的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=22422 5 常见三垂直模型【引例】已知 ABBD，ED BD，AB=CD，BC=DE，求证： ACCE；若将 CDE 沿 CB 方向平移得到等不同情形，1ABC D ，其余条件不变，试判断ACC1E 这一结论是否成立？若成立，给予证MPDBCAMPBCA例题精讲思路导航题型二：三垂直模型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页. . C1ABCEDDE(C)BAC1C1ABCEDC1ABCED21GFEOyx3DCBAOyxDCBA明；若不成立，请说明理由.【解析】 ABBD，EDBD90BD在ABC与CDE中ABCDBDBCDEABCCDE（SAS）1E290E90ACE,即 ACCE 图 四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明1ABCC DE1ACBC ED1190C EDDC E190DC EACBACC1E 【例 5】 正方形 ABCD 中，点A、B的坐标分别为010， 84，点 C 在第一象限求正方形边长及顶点C 的坐标（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. ）典题精练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页. . 【解析】 过点 C 作 CGx 轴于 G，过 B作 BEy 轴于 E，并反向延长交CG 于 F点A 、 B的坐标分别为010， 84，BE=8， AE=6， AB=10 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC139023901290AEBBFC AEB BFCCF =BE=8，BF=AE=6CG=12EF=14 C(14，12)，正方形的边长为10 【点评】 此 题中三垂直模型：【例 6】 如图所示， 在直角梯形ABCD 中，90ABC，ADBC，ABBC ，E是AB的中点， CEBD 求证：BEAD； 求证： AC 是线段ED的垂直平分线；DBC是等腰三角形吗？请说明理由【解析】 90ABC， BDEC ，9090ECBDBCABDDBC， ECBABD ，90ABCDAB， ABBC ，BADCBE，ADBEE是AB中点， EBEA由得：ADBE，AEAD ADBC，45CADACB，45BAC，BACDAC由等腰三角形的性质，得：EMMDAMDE，即 AC 是线段ED的垂直平分线DBC是等腰三角形，CDBD由得： CDCE ，由 得： CEBD CDBD ，DBC是等腰三角形ABCDEM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页. . 【例 7】 如图 1，ABC 是等边三角形，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且BD=CE，连接AE、 CD 相交于点P请你补全图形，并直接写出APD 的度数 = ；如图 2， RtABC 中， B=90 ， M、 N 分别是 AB、 BC 上的点，且 AM=BC、 BM=CN，连接 AN、CM 相交于点P请你猜想 APM= ，并写出你的推理过程（2013 平谷一模）【解析】 图略， 6045证明：作AEAB 且 AECNBM . 可证EAMMBC MEMC ，.AMEBCM90 ,CMBMCB90 .CMBAME90 .EMCEMC是等腰直角三角形,45 .MCE又AEC CAN（SAS）.ECANAC ECAN. 45 .APMECMEABCMNP图 2图1PNMCBACBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页. . ABCDEFEDCBA训练 1.已知：如图，中， AC=BC，90ACB，D是AC上一点， AEBD 的延长线于 E，并且12AEBD，求证： BD 平分ABC .【解析】 延长 AE 交 BC 的延长线于FBEAF ，90ACBFACDBC 在AFC 和 BDC 中，FACDBCACBCACFBCDAFC BDC（ASA ）AF=BD又12AEBD12AEAFEFABC思维拓展训练( 选讲 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页. . GOFEDCBAEFDCBAGHFEDCBABE 是 AF 的中垂线 BA=BFBD 平分ABC训练 2.已知，在正方形ABCD 中， E 在 BD 上， DGCE 于 G， DG 交 AC 于 F.求证：OE=OF【解析】 ABCD 是正方形OD=OC 90DOCDGCE 90DGCDOCDGCOFDGFCODFECO 在DOF 和 COE 中，DOFCOEODOCODFOCE DOF COE（ASA ） OE=OF训练 3.已知：如图，中，D是 BC 的中点，AFBE于G 求证：DHDF【解析】 ，是 BC 的中点AD=BD=CD，AD BC90ADBAFBE90AGHDBEDAF在BDH 和ADF 中，DBHDAFBDADADBADF BDH ADF（ASA ）DH =DF 训练 4.如图，已知矩形ABCD 中， E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EFEC，且EF=EC， DE=4cm，矩形 ABCD 的周长为32cm，求 AE 的长 【解析】 在 Rt AEF 和 RtDEC 中，EFCE， FEC=90 ， AEF+DEC=90 ，而 ECD+DEC=90 ， AEF= ECD又FAE=EDC=90 EF=ECRtAEFRtDCEABCABAC90BACABAC90BACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页. . AE=CDAD =AE+4矩形 ABCD 的周长为32 cm，2（AE+AE+4）=32解得 AE=6 cm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页. . EDCBAABCDEF题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习 1】 如图， ACB、 ECD 均为等腰直角三角形，则图中与BDC 全等的三角形为_. 【解析】 AEC【练习 2】 如图，已知RtABC中90ACB ， ACBC ，D是BC 的中点， CEAD ，垂足为E BFAC，交 CE 的延长线于点F求证：2ACBF 【解析】 90ACB ， BFAC，90ACDCBF ，90ADCCAD CEAD ，90FCBADC ，CADFCB 又 ACCB ，ADCCFB DCFB D是 BC 的中点，2BCBF ，即2ACBF 题型二三垂直模型巩固练习【练习 3】已知：如图，四边形ABCD 是矩形（ AD AB） ，点 E 在 BC 上，且 AE =AD，DF AE，垂足为 F请探求DF 与 AB 有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明【解析】 经探求，结论是：DF = AB证明如下：四边形 ABCD 是矩形， B =90o， ADBC， DAF = AEB DF AE， AFD =90o， AE = AD ，ABEDFA AB = DF复习巩固F A D C E B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页. . 图2图1GGABCDEFFEDCBA【练习 4】如图，ABC中， ACBC ，90BCA ，D是AB上任意一点，AECD 交 CD 延长线于E， BFCD 于F求证：EFBFAE【解析】 根据条件，ACE 、CBF 都与BCF 互余，ACECBF在ACE和CBF中，ACCB ，90AECCFB ，ACECBF则 CEBF ， AECF ， EFCECFBFAE 【练习 5】四边形 ABCD 是正方形如图 1，点 G 是 BC 边上任意一点(不与 B、C 两点重合 )，连接 AG，作 BFAG于点 F，DEAG 于点 E求证： ABF DAE；在中，线段 EF 与 AF、 BF 的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明 )；如图 2，点 G 是 CD 边上任意一点 (不与 C、D 两点重合 )，连接 AG，作 BFAG于点 F， DE AG 于点 E 那么图中全等三角形是， 线段 EF 与 AF、BF 的等量关系是(直接写出结论即可，不需要证明)【解析】 在正方形ABCD 中， AB=AD ，90BAD90BAFDAE90QBAFABFABFDAE在ABF 和DAE中,ABFDAEAFBDEAABDAABFDAE（AAS ）EFAFBF ABF DAEEFBFAFFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页. . 测试 1.问题 ：已知ABC中，2BACACB ，点D是ABC内的一点， 且 ADCD ，BDBA探究DBC 与ABC 度数的比值请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明当90BAC时，依问题中的条件补全右图观察图形，AB与 AC 的数量关系为_；当推出15DAC时，可进一步推出DBC 的度数为 _；可得到DBC与ABC度数的比值为 _（2010 北京中考）【解析】相等 ； 15 ； 1:3课后测图1DCBACBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页. . ECDBAFPQMCBA测试 2.已知：如图，在 ABC 中，90ACBCDAB，于点 D， 点 E 在 AC 上， CE=BC，过 E 点作 AC 的垂线，交CD 的延长线于点F. 求证： AB=FC. 【解析】 FEAC 于点E，90ACB ，90FECACB 90FECF 又 CDAB 于点D，90AECF AF在ABC和FCE中，,AFACBFECBCCEABCFCE ABFC 测试 3.如图，RtABC 中， C=90,10cmAC，5cmBC，一条线段PQ=AB，P，Q 两点分别在AC 上和过 A点且垂直于AC 的射线 AM 上运动 . 当 ABC 和 APQ全等时 ,点 Q 到点 A 的距离为 _ . 5cm 或 10cm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页