2022年八年级数学分式运算教案 .pdf
学习好资料欢迎下载授课教案学员姓名： _ 授课教师：陈列_ 所授科目：数学_ 学员年级：八年级上课时间 _2013_年_03_月_09_日_13_时 _00_分至 _16_时 00 分共 _3_小时教学标题分式的运算与反比例函数的概念教学目标掌握分式的运算性质，理解反比例函数的概念教学重难点分式的加减法、整数指数幂、反比例函数的图像与性质上次作业检查一、分式的乘除法运算1、分式乘除法性质（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即：bdac（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；用式子表示为：bcadcdbadcba2. 分式的乘方1. 分式乘方法则用式子表示是：()nnnaabb (n 是正整数 ,b 0) 注意：分式乘方要把分子分母分别乘方；2.()(1)*( 1) ()( 1)nnnnnnnaaaabbbb3. 分式乘除 , 乘方混合运算时, 要先乘方 , 再化除为乘 , 最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数二、分式的加减法运算1、同分母分式的加减法法则：分母不变，把分子相加减表示为bcabcba。注意：同分母分数的加减法法则是与同分母分式的加减法法则基本上是一致的，其中只有一字之差，一个是数，一个是式2、 异 分 母 分 式 的 加 减 法 法 则 ： 先 通 分 变 为 同 分 母 的 分 式 后 再 加 减 表 示 为 ：bdbcadbdbcbdaddcba。3、整数指数幂的性质1） 、当 m,n 是正整数时，（1）amananm；（2） （am）namn；（3） （ab）na n b n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习好资料欢迎下载（4）amananm （m n， a 0） ；（5）()nnnaabb (b 0) （分式乘方法则） .2）. 零指数幂与负整指数幂（1）)0(10aa，即：任何不等于零的数的零次幂都等于1. 注意：零的零次幂无意义。（2）为正整数）naaann,0(1；即：任何不等于零的数的n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数 . 即可表示为：1nnaa。注意：正整数的运算性质可推广到全体整数。3. ）科学计数法利用 10 的正整数次幂， 把一个绝对值大于10 的数表示成a10n的形式，其中n是正整数，1a 10. 例如， 864000 可以写成8.64 105. 类似地，我们可以利用10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a10-n的形式，其中n是正整数， 1a 10. 例如， 0.000021 可以表示成2.1 10-5. 三、分式方程1、解分式方程常用的方法：（1）拆项法；（2）去分母法；（2）换元法；2、解分式方程（1）能化简的先化简；-化 (2)方程两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；-约 (3)解整式方程； -解（4）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。-验3、增根在方程变形时， 有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。如何验根： 只要把求得的x 的值代入所乘的整式( 即最简公分母 ) ，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根。此时原分式方程无解。四、分式方程应用题1、列方程解应用题 (1)审； (2)设； (3)列； (4)解； (5)答2、应用题基本公式有四种： (1) 行程问题：路程=速度时间 (2) 数字问题：掌握十进制数的表示法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习好资料欢迎下载 (3) 工程问题：工作量=工时工效 (4) 顺水逆水问题： v 顺水 =v 静水 +v 水； v 逆水 =v 静水 -v 水例题、为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200 件新产品进行精加工后再投放市场 . 现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10 天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5 倍. 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？解：设甲工厂每天加工x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得105.112001200 xx解得 :x=40 经检验： x=40 是原方程的根，所以1.5x=60 答：甲工厂每天加工40 件产品，乙工厂每天加工60 件产品 . 五、分式运算十二大技巧分式运算 ,一要准确 ,二要迅速 ,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧 .下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分法例1计算2111111xxx分析： 此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大 注意到前后分母之间存在着平方差关系，可逐步通分达到目的解：原式 =221212xx=414x评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。二、整体通分法例2计算112aaa分析题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些. 解：原式 =11111)1)(1(1222aaaaaaaaa评注： 此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1 的分式， 再通分相加，使得问题的解法更简便三、分裂整数法例 3. 计算：34452312xxxxxxxx分 析如 果 几 个 分 母 不 同 通 分 时 可 使 用 分 裂 整 数 法 ， 对 分 子 降 次 后 再 通 分 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习好资料欢迎下载31412111)311()411 ()211()111(313414212111:xxxxxxxxxxxxxxxx原式解)4)(3(1)2)(1(1)3)(4()4(3)2)(1() 1(2xxxxxxxxxxxx)4)(3)(2)(1(23127)4)(3)(2)(1()2)(1()4)(3(22xxxxxxxxxxxxxxxx)4)(3)(2)(1(1010 xxxxx评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。四、裂项相消法例 4 计算)3)(2(1)2)(1(111xxxxx分析我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分. 解：原式 =2131112111xxxxx=31x评注： 本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关系，再逆用公式)1(1111aaaa，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。五. 见繁化简法例 5. 计算：343622322222xxxxxxxxx分析分式加减时， 如果分母不同要先分解因式，再找到公分母， 把每个分式的分母都化为公分母的形式解：原式)1)(3(3)2)(3(2) 1)(2()1(2xxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页学习好资料欢迎下载) 3)(2)(1()65()23() 34(2113122222xxxxxxxxxxxx)3)(2)(1(2xxx评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分， 再选用适当方法通分，可使运算简便。在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。六、挖掘隐含条件，巧妙求值例 6 若09x2，则3x6x5x2=_。解： 09x2，3x但考虑到分式的分母不为0，故 x=3 所以，原式03x)3x)(2x(说明： 根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。七、巧用特值法求值例 7已知6z5y4x，则z3z4y3x2=_。解： 此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：原式636453421817说明： 根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。八、巧设参数（辅助未知数）求值例 8 已知实数x、 y 满足 x:y=1:2，则yxyx3_。解： 设k2y1x，则kx，k2y，故原式31k2kk2k3说明： 在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页学习好资料欢迎下载法。九、整体代入例 9若11xy=5，求3533xxyyxxyy的值分析：将11xy=5 变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为3()5()3xyxyxyxy，把 x-y=-5xy代入，即可求出其值解：因为11xy=5，所以 x-y=-5xy. 所以原式 =3()5()3xyxyxyxy=3 ( 5)553xyxyxyxy=108xyxy=5.4说明 ：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦十、倒数法例 2 已知 a+1a=5则2421aaa=_. 分析：若先求出a 的值再代入求值，显然现在解不出如果将2421aaa的分子、分母颠倒过来，即求4221aaa=a2+1+21a的值，再进一步求原式的值就简单很多解：因为a+1a=5，所以（ a+1a）2=25，a2+21a=23. 所以4221aaa=a2+1+21a=24，所以2421aaa=1.24说明 ：利用x 和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些分式求值问题思路自然，解题过程简洁十一、主元法例 11已知 xyz0,且 3x4yz=0,2xy8z=0,求2222xyzxyyzzx的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页学习好资料欢迎下载解：将 z看作已知数，把3x4yz=0 与 2x y8z=0 联立，得3x4yz=0, 2xy8z=0. 解得x=3z, y=2z. 所以，原式 =222(3 )(2 )(3 ) (2 )(2 )2(3 )zzzzzzzzz=22141.14zz说明 ：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化十二、特殊值法例十二已知 abc=1,则1aaba1bbcb1ccac=_. 分析：由已知条件无法求出a、b、 c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值解：令 a=1，b=1，c=1，则原式 =11 11 1+11 111+11 1 11=13+13+13=1. 说明 ：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果六、分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值； 而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等它包含两种情形： （一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解现举例说明如下：1、 解方程2344222xxxx2 、解方程22321xxxx3、 （ 2007 湖北荆门） 若方程32xx=2mx无解，则m=4、当 a 为何值时，关于x 的方程223242axxxx会产生增根？5、当 a 为何值时，关于x 的方程223242axxxx无解？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页学习好资料欢迎下载七、与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题， 在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。例 1. （2000 年潜江市）使关于 x 的方程axxax2224222产生增根的 a 的值是（）A. 2 B. 2 C. 2D. 与 a 无关解：去分母并整理，得：ax22401因为原方程的增根为x=2，把 x=2代入，得 a2=4 所以a2故应选 C。例 2. （1997 年山东省）若解分式方程21112xxmxxxx产生增根，则 m 的值是（）A. 1 或2 B. 1 或 2 C. 1或 2 D. 1或2 解：去分母并整理，得：xxm22201又原方程的增根是x=0 或x1，把 x=0 或 x=1 分别代入 式，得：m=2或 m=1 故应选 C。例 3. （2001 年重庆市）若关于 x 的方程axx1110有增根，则 a 的值为 _。解：原方程可化为：ax1201又原方程的增根是x1，把 x1代入，得：a1故应填“1” 。例 4. （2001 年鄂州市）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习好资料欢迎下载关于 x 的方程xxkx323会产生增根，求 k 的值。解：原方程可化为：xxk231又原方程的增根为x=3，把 x=3代入，得：k=3 例 5. 当 k 为何值时，解关于 x 的方程：1151112x xkx xkxx只有增根 x=1。解：原方程可化为：xkxkx151112把 x=1 代入，得 k=3 所以当 k=3时，解已知方程只有增根x=1。评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围例 6. （2002 年荆门市）当 k 的值为 _ （填出一个值即可）时，方程xxkxxx122只有一个实数根。解：原方程可化为：xxk2201要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：（1）当方程 有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由440k得 k=1。当 k=1 时，方程 的根为xx121，符合题意。（2）方程有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由440k，得 k1。又原方程的增根为x=0 或 x=1，把 x=0 或 x=1 分别代入得 k=0，或 k=3，均符合题意。综上所述：可填“ 1、0、3”中的任何一个即可。例 7. （2002 年孝感市）当 m 为何值时，关于 x 的方程21112xxmxxx无实根？解：原方程可化为：xxm2201要原方程无实根，有下面两种情况：（1）方程 无实数根，由14 202m，得m74；（2）方程的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为 x=0或 x=1，把 x=0 或 x=1 分别代入 得 m=2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习好资料欢迎下载综上所述：当m74或当 m=2 时，所给方程无实数解。例 8. （2003 年南昌市）已知关于 x 的方程11xmxm有实数根，求 m 的取值范围。解：原方程化为：mxx2101要原方程有实数根，只要方程有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。（1）当 m=0时，有 x=1，显然 x=1 是原方程的增根，所以m=0应舍去。（2）当 m0时，由140m，得m14。又原方程的增根为x=0 或 x=1，当 x=0时，方程不成立；当xm10，。综上所述：当m14且 m0时，所给方程有实数根。评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围例 9. 当 a 取何值时，解关于 x 的方程：xxxxxaxxx12212212无增根？解：原方程可化为：23012xax又原方程的增根为x=2 或x1，把 x=2 或x1分别代入 得：a52或a1又由a2240知，a 可以取任何实数。所以，当a52且 a1时，解所给方程无增根。评注：解答此类问题的基本思路是：（1）将已知方程化为整式方程；（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围例 9. 已知关于 x 的方程xax21的根大于 0，求 a 的取值范围。解：原方程可化为： 22xa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习好资料欢迎下载所以xa12由题意，得：120a且122a所以 a2且a2例 10. 已知关于 x 的方程xkx22的根小于 0，求 k 的取值范围。解：原方程可化为： xkx24所以 xk4由题意，得： k40所以 k4评注：解答此类题的基本思路是：（1）求出已知方程的根；（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。八、反比例函数1. 定义：一般地，形如xky（k 为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy12. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数 k ） ，分母中含有自变量x，且指数为 1. 比例系数0k自变量x的取值为一切非零实数。函数 y 的取值是一切非零实数。3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，xky（ k 为常数，0k）中自变量0 x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy或xy） 。反比例函数xky（0k）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习好资料欢迎下载（0k）上任意引x轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。4反比例函数性质如下表：k 的取值图像所在象限函数的增减性ok一、三象限在每个象限内， y 值随x的增大而减小ok二、四象限在每个象限内， y 值随x的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k ）6 “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky中的两个变量必成反比例关系。7. 反比例函数的应用【例 1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【例 2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210 xxx则下列各式正确的是（）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy【例 3】如果一次函数的图像与反比例函数xmnymnmxy30相交于点（221，） ，那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【例 4】 如图，在AOBRt中，点 A是直线mxy与双曲线xmy在第一象限的交点，且2AOBS，则m的值是 _. 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习好资料欢迎下载（多出部分见背面或另附纸张）作业：课上没讲完的例题或习题学员课堂表现：签字确认学员 _ 教师 _陈列 _ 班主任 _习题分式运算一 填空1当 x_ 时，分式31xx的值为零2当 x_ 时，分式31xx无意义3写一个分式，使它满足当 x4 时有意义。_ 4计算（1）1 02(333（2）102103( 3)3_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习好资料欢迎下载（3）21 0333（4）1224123(3 )33_5（1）当 x_时，0(3)1x（2）03_（3）14_ _ _ _ _ _ _（4）14_3（5）35_46（1）511010（2）0.0000401_ 10（3）3.2410_（4）35 毫升 _ 升（5）312纳米 _ 米7约分（1）22_4a babc（2）_xyyx（3）23()_()xyyx（4）224_56xxx二计算1 2572332( 64)a b ca b2 4673521()( 2)2a b cab c3 79(810 )(210 )4 43216536( 2 )xxxxx5 222221xxxxxx6 abbbaa7 2211xyxyxyxy8.计算1211112xxx181484xx9. 计算：200820071761541431321211三解方程1 730100 xx2 321xxx213 12112xx4 2163524245xxxx四只列方程，不用解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习好资料欢迎下载o y x y x o y x o y x o A B C D1甲做 100 个机器零件所用的时间和乙做60 个所做的时间相等，又知每小时甲乙二人一共做 35 个机器零件，问甲乙每小时各做多少个机器零件？解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做 _ 个零件2农机厂职工到距离工厂15 千米的生产队检修农机。 一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两种车的速度。3工厂储存了 240 顿煤，若每天节约 2 吨，则可以比原来多用4 天，问原来每天计划用多少吨煤？4A、B 两地相距 150 千米，甲乙两车同时从A 站出发， 1 小时后，甲车在乙车前 12 千米。最后乙车比甲车晚到25 分钟，求两车的速度。5 小明有一本 280 页的书，计划 2 周读完。当读到一半时，发现平均每天要多读 21 页，才能按时读完。求原来每天平均读几页？反比例函数1. 反比例函数xy2的图像位于（）A第一、二象限 B 第一、三象限 C 第二、三象限 D 第二、四象限2. 若 y 与x成反比例，x与z成正比例，则 y 是z的（）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D 、不能确定3. 如果矩形的面积为6cm2，那么它的长ycm 与宽xcm 之间的函数图象大致为（）4. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页学习好资料欢迎下载气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示 当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（）A、不小于54m3 B、小于54m3 C 、不小于45m3 D 、小于45m3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
