2022年线性代数期末练习题 .pdf
多练出技巧巧思出硕果工程数学练习题一、概念题： () 1、若 AB=AC ，A可逆，则 B=C 。（）2、若 AB=0,则 A=0或 B=0 ( ) 3、奇数阶反对称行列式的值一定为零。（）4、AX=b有唯一解的充分必要条件是秩(A)=n. ( ) 5、AX=b有解的充分必要条件是秩(A)= 秩(A). ( ) 6、若是 A的特征值 , 则A*的特征值为 n-1. ( ) 7、四个五维向量一定线性无关. ( ) 8、向量 组线性无关，添加向量仍 线性无关 . ( ) 9、设 A为基到基的 过渡矩阵 , 向量在基下的坐 标为 X、在基下的坐 标为 Y，则 X=AY. ( ) 10、二次型正定的充分必要条件是它所对应的实对称矩阵的特征值全大于零. ( ) 11、设 A为 3 阶方阵， A=1/3，则*11271AA）（(A) 、81 (B)、18 (C) 、128 (D)、88 12、已知 1,2是 AX=b 的两个特解， 1, 2是 AX=0的一个基础解系 ,k1,k2为任意常数 ,则 AX=b的通解为 ( ) (A) 、k11+k2( 1+2)+221 (B)、k11+k2(1- 2)+221 (C) 、k11+k2( 1+2)+221 (D) 、 k11+k2(1- 2)+22113、下列等式成立的是： ( ) (A) 、(A+B)2=A2+2AB+B2 (B)、(kA)-1=kA-1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果 (C) 、(A*)-1=(A-1)* (D)、00BA=AB14、设 P为三阶非零矩阵 ,Q=96342321t, 且满足 PQ=0,则秩(P)=( ) (A) 、t=6 时, 秩(P)=1 (B)、t=6 时, 秩(P)=2 (C) 、t 6 时, 秩(P)=1 (D)、t 6 时, 秩(P)=2 15、设 A的特征值为 3,-3,2,则A2+6A+5E =( ) (A) 、-18 (B)、18 (C) 、-2688 (D)、2688 16、 ：，BA212132A=18，B=2，求 A-B=_ 17、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 己知 1, 2, 3是它的 3 个解向量 , 其中1=8991, 2+3=9991, 则通解为 _18、设1, 2, s是非齐次线性方程组AX=b的解, 若 k11+k22+kss也是非齐次线性方程组AX=b的解, 则 k1,k2, ks应满足条件 _. 19、若向量组可由向量组线性表出, 则的秩 _的秩 . 20、二次型正定的充分必要条件是正惯性指数为_ 21、 设 A为 4 阶方阵, 满足条件 8E+A =0,AAT=2E,A0, 则 A*的一个特征 值为_ 22、设 A的特征 值为 2,4, ,2n, 则A+E =_ 23、判别负定矩阵的方法为 _ 24、正交矩 阵 A 的行列式的值为 _ 25、属于 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是_ 26、等价的矩阵的行列式 _ 27、初等矩阵的定义为 _ 28、矩阵的行秩与矩阵的列秩_ 29、若 A,B 均可逆 , 则10BCA=_ 30、若 A,B,C 均可逆 , 则1000000ABC=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果二、计算题： () 1、计算行列式、6741212060311512、4321axxxxxaxxxxxaxxxxxax2、求逆矩阵或解矩阵方程、1302313512343122321x、 己知 A-1=1*311121111），求（A3、计算、设=321, =31211,A=T, 求 An、已知 AP=PB ，其中 B=100000001，P=112012001，求 A及 A5. 、设三阶矩阵 A的特征值为 1,2,3, 对应的特征向量依次为1=111, 2=421, 3=931,向量 =311,求 An . 、设向量组1=4321, 2=1234, 3=74124=3113求它的极大线性无关组与秩, 并用极大线性无关组把其余的向量线性表出 . 4、基与坐 标 、求基1=111，2=110，3=100到基 1=101，2=110，3=021的过渡矩阵 A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果、设 R3中向量 在基1=121,2=332,3=173为321,求在基1=413,2=125,3=611下的坐标 .5、二次型、求 A=324262423特征值与特征向量。、己知二次曲面方程：X21+aX22+X23+2bX1X2+2X1X3+2X2X3=4 可以 经过正交变换 X=PY化为椭圆柱面方程Y22+4Y23=4,求 a,b 的值和正交矩阵 P. 三、证明题： () 26、A满足 A2=A,证明： A=0 或 A=E 27、 设 A是 m n 矩阵， B是 ns矩阵, 证明：若 AB=0,则 r(A)+r(B)n. 28、己知向量组1=110, 2=12a, 3=01b与向量组 1=321, 2=103, 3=769具有相同的秩 , 且3可由 1,2, 3线性表出 , 证明 a=15,b=5. 29、设 A 为 3 阶正交矩阵 , A 0,B 是 3阶方阵 , B-A=4, 证明： E-ABT=4 30、设 1,2,3线性无关，证明：1+2,2+3,3+1也线性无关31、 设 A为 n 阶方阵 ,A2+2A-3E=0, 证明：A-2E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页多练出技巧巧思出硕果可逆 , 求逆 . 32、设 A是 n 阶矩阵 , 满足 AAT=E,A 0,证明： A+E =0 33、设 A为 n 阶可逆矩阵， AB, 证明：A*B*. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
