第七章多元函数微分高等数学.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第七章多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一）本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学供应一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并留意比较它们的异同。（二）多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结引入多元函数极限， 讲清它的概念， 并指出二元函数与一元函数极限点PP0 方式的异同，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可补充一些简洁例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准就，运用连续性等。 在懂得极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最终可介绍累次极限与重极限之关系。（三）偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的运算中，留意讲清分段函数分界点处的偏导数。2、可由测量矩形相邻边长运算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并指出用定义判定zf x, y可微，即求极限zlimx 0y 0zx x, yxzy x, yy是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结否为 0 。3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生懂得关系式dzz dx xz dy y之意义，最终可通过列表给出多元函数连续、偏导存可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在、可微之相互关系。（四）复合函数求偏导1、可先证明简洁情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线相乘 ”法就推广至偏导数或全微分的各种情形z f u, v ， u x ， vx 从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中让同学懂得口诀的含义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、通过例题说明各种公式，详细方法及符号正确运用。3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并留意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求导时，留意分析函数的各种关系。讲透符号f1 ，f12 等之涵义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（五）隐函数求偏导1、结合简洁例子，讲解方程与函数之关系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、对于F x, y0 确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论。3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让同学懂得三种方法中各种变量之相互关系。（六）方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过详细应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等学问加深对梯度概论的懂得。（七）多元函数微分学应用1、几何应用：（ a）通过割线及到切线概念，从而得到切线方程。（ b）曲面上任一点 M 处的任何曲线，如M 处切线均在一个平面上，从而引入切平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用。（ c）可让同学复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。2、极值 与一元函数类比，叙述二元函数极值的必要和充分条件。 求极值问题一般分为两种情形：a 无条件条件 ; b条件极值。从无条件极值到条件极值，自然的引入到“拉格朗日乘数法”，讲解时留意此方法的基本思想、方法及步骤，另外仍可优化结合起来讲解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、补充例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1.设 uf x, y ，x2 , e y , z0 ， ysinx ，其中都具有一阶连续偏导数，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ，求 du .zdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：分别求偏导数得：fdyxdxdydzffyzdxdx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12xy dydze023dxdx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dycos x dx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 代入（ 2）dy2x1dx3cosxe y2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 代入（ 1）dyf xf ydxcosxf y2x13cos xey2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf ycosxf z2x13esin xcosx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2.设z x,y 是由方程f yx, yz0 ，确定的隐函数，其中f 有二阶连续偏导数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 z求2 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：方程两边对x 求偏导f 1 1zf2yx0 ，z xf1 yf 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f11 1zx 2f12 yzyf x2f12yf 2yf21 1zyf 22yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入上式并整理得：2 z2f 2f 112 f 1 f 2 f32f 1f22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2y f3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3.设直线 L ：xxyb0ayy3在平面上，而平面与曲面 zx 20y 2 相切于点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1,2.5 ，求 a ， b 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：在点1,2.5 处曲面法向量n 2, 4.1 ，于是切平面方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x14 y2 z50即2 x4 yz50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 L ：xyb0xayy30y xbz x3axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x4 x4bx3axab50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因而有：5a0 4bab20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222a5 b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例4.已知椭球面xy zxyyza， a0 ，求椭球面上z 坐标为最大与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小点。求椭球面的xOy 面上投影区域的边界曲线.解：由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上z 坐标最大与最小点肯定存在，且此二点处 z 值就是椭球面方程所确定隐函数zz x, y 的最大值与最小值.椭球面方程两边分别对x 及 y 求偏导：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2zzyx2 y2zzxyyz0 xyzz0 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zz2 xy0令0 ，0 ，xy2 yxz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得：y2x ，z 3x ，代入椭球的方程得到xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故得两点a2a3aP,1bbb， P2a , 2a ,3a bbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于椭球面确定存在z 坐标最大与最小的点，因此点P1 与P2 为所求 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 S 是椭球面对于xOy 面投影柱面S 与椭球面切于曲线C ，就 C 在上，两曲面的法向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相同都为n2 xy, 2 yxz, 2zy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 nk ， n k0 ，即2 zy0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此曲线 C 满意消去 z 即 S 的方程x 2y 2z2xyyza 2yzy0x23 y 2xya 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故投影区域的边界曲线为：x23 y 24z0xya 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例5.设生产某种产品必需投入两种要素x1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量， 如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生产函数为Q2x 1x 2，其中，为正常数1 ，假设两种要素可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的价格分别为p1 ，p2 ，试问：当产出量为12 时，两要素各投入多少要可以使得投可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结入总费用最小？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：需要在产出量2 x1 x212 的条件下，求总费用p1x1p2 x2 的最小值，为此作拉格可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结朗日函数F x1，x2 p1 x1p2 x2122x1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1Fxp12x1x201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由（ 1），（ 2）得：Fx22x1 x2p1p2p2212x1 x211x1 x2023可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122故 xp2x ，代入（ 3）， x6p1p1p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此x16p 2p1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于此实际问题存在最小值，且驻点唯独，故当p2x16p1， x26p1 p2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，投入总费用最少.y2 z2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例6.设 zx3 fxy,x，其中f 具有二阶连续偏导数，求，.x yy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：z yx 4 fx 2 f可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2zx 4y 2xf11121f 12xx2xf121f 223x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5xf112xf 12xf 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 z4xf12xf 24xf11yf 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例7.设 yy x ， zz x 是由方程 zxf xy 和 F x, y, z0 所确定的函数，其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz .dx解：分别在方程的两边对x 求导得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dzfx dxdyFxFydx即1 dyf dxyFdz0dxfdydzdxdxfxfdz f，xf Fyxf Fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FFdydzyyF xdxdxdxFyxf Fz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例8求以下极限ln xe y xy lim limxyxy11x122x0y0y02xx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 lim11x ylimxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxx 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limln xe y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1解：原式y0ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx 2y 2x 1y 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 xyt ，当 x0 ， y0t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t原式limlim1t12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t01t1t0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式limxxx y11ex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x， y，不妨设x0， y0 ，就 0xy1x2y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得： 0x 2xyx 2y 2x 21，由于2x 2lim10x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以原式0例9设，都是有连续的二阶偏导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z 1 y 22 zax y22 zax1y ax2ay axt dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试求：解：zax2x2ay 2 . yax yax 1 y2ax yax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22za yax yaxa yax yax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 22z1 yy2ax yax21 y2aax yax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2z1 yax yax1 yax yax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 222 a2222za 2z0xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例10设函数zf x, y 在点1,1 处可微，且f 1,11 ，f x 1,12 ，f y1,13 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xf x,df x, x ，求dx3 xx 1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：1f 1,f 1,1f 1,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 1d3 x dx32 xdxx 1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结32 xf 1 x,f x, xf 2 x, fx, xf1 x, xf 2 x, xx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 1 232351可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三、补充练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、证明22limxy不存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy xx022y 0y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、设 zue v 而 ux2y 2 ， vx 2y 2z求，xyxz 及 dz .y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44z xy2x 2 y 22x y exy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xzy4yx2 yx4xy22xy2x2 y 2e xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dzz dx xz dy y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、设 zx 2 fyxy，其中f 是具有二阶连续偏导数，求z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222xxy12f3x2 fyf11xx 3 yf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、设 zfx2y 2，其中f 是具有二阶连续偏导数，求z .22x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 fx2y 24 x2 fx2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、设 ezxyz0 ，求z .2x yzxy z1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、设 xeu cos v ， yeu sin v ， zuv 求z 和z .uxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uzev cosv xu sin v,zevsin v yu cosv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、求曲面2x 23y2z29 上平行于平面2 x3 y2 z10 的切平面方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 x3 y2 z90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、考察函数f x, yxy 在点0,0处是否连续？偏导数是否存在？是否可微？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（连续，f x 0,00 ， f y 0,00 ，不行微）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结39、求函数zx4x2xyy的极值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - 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