2022年函数的极值和最值及其应用 .pdf
精品资料欢迎下载函数的极值和最值及其应用函数极值的定义设函数( )f x在附近有定义，如果对附近的所有的点， 都有0fxfx， 则0fx是函数 fx的一个极大值。 如果附近所有的点， 都有0fxfx，则0fx是函数 fx 的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。若函数在点处可导，且为的极值点，则00fx. 这就是说可导函数在点取极值的必要条件是00fx. 函数最值的定义设函数 fx 在区间上有定义， 如果存在一点0 xX， 使得0fx不小于其他所有的fx ，亦即0,fxfxxX，则称0fx是在上的最大值，又可记为0maxfxfx；同样使得0fx不大于其他所有的fx ，亦即,ofxfxxX，则称0fx是在上的最小值，又可记为0minfxfx . 注意：函数 fx 在上未必一定有最大（小）值。最值和极值的联系与区别（1）极值一定是函数在某个区间内的最值；（2）极值未必是最值；（3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。函数极值、最值的求解方法1、降元法求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页精品资料欢迎下载例 1：已知2xy，求函数222zyx 的极值。解：由题设得2yx，代人222yx 得2222228zxxx2280 x22 222 2x即函数的定义域为：22 2,22 2当2x时，max2 2z当22 2x时，min0z2、转化法在函数极值法不易直接求解的情况下，应注意观察题型结构，分析题设特点，把复杂的问题转化为熟知的、易解的问题，通过其他途径求解。下面二例的解法作为参考。例 2：求函数22105025xxx的极小值 . 解：设2252525yxx令1255 ,5zxi zxi则：12125105 5yzzzzimin5 5y例 3：求函数1sin2cosxyx的极值解：原函数化为：2cos1sinyyxx21sincosyxyx21sinyx，其中tany2211yy 解得：403yminmax40,3yy3、换元法换元法是把问题进行转化的一种常用方法。例 4：已知2221xy，求34zxy的极值 . 解：222221,112yxyx令cos ,2sin/ 2 02xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页精品资料欢迎下载则3cos2 2sin17 cosz（其中2 2tan3）cos1minmax17,17,17zzz例 5：求函数2sin3sin1yxx的极值分析：本例可通过辅助元sinTx把所给函数化为二次函数：231yTT，即把上述极值问题转化为抛物线231yTT在1,1 范围内求最高点和最低点的问题。此处不予以细致解答。4、判别式法若所给函数式（可加约束条件）如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则可用判别式法求函数的极值。例 6：已知, x y满足2222260 xxyyxy，求 zxy 的最小值 . 解：由 zxy 得 yzx 代人约束条件并以为主元整理得：2244260 xzxzz22,1616260 xRzzz解得: 3 2z（1）当且仅当4*323 22* 42x时（1）式取等号。由 , x y的对称性知当3 22xy时，min3 2z. 或求函数12334622xxxxy的最大值272y5、不等式法例 7：已知, x y满足22421690 xyxy，求函数2zxy的极值。解：由已知式配方得：221428xy（1）2214221 *22xyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页精品资料欢迎下载21 *228xy（2）12得212216xy解得721,xyminmax7,1.zz其实，函数极值的解题方法不少, 如三角法、参数法 , 极坐标法、区间法等都有一定的技巧性. 解题时应认真分析 , 审查题目的特征、 结构、挖掘隐含条件 , 抓住特征 , 发挥联想 , 运用灵活多变的替代、转化 , 有时还需要反其常规 , 逆向思维 , 以退为进选择合理的解题方法, 逐步提高解题技能 , 才能做到准确简捷地解题. 本文就此不做具体展示。6、几何法例如：已知920750 xy，求函数222244zxyxy的最小值。解：本题的几何意义是在直线920750 xy上求一点，使得到点4,0 , 4,0 的距离之和为最小。如图：设：点12,P P坐标为4,0 , 4,0 ，直线的方程为920750 xy。由几何光学原理知当点光源从射出后，经镜面反射到点。这时122PQPQMP就是所求的最小值。设点关于光线的对称点为11,Mxy，于是min122ZPQP QMP，由11120,494915*22024yxyx解得11202120,3737xymin2222021204103737zMP7、导数法闭区间上可导函数的最值来源于区间端点的函数值和函数在这个区间上的极值，而极值又来源于0fx的根处的函数值。所以建议求可导函数在闭区间a ，b 上的最值可分以下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页精品资料欢迎下载两步步骤进行：1. 求函数的导数2. 求函数在 a ，b 内令0fx的的值（称之为“驻点”）3. 判断驻点左右两侧fx 的正负，以此判断函数曲线的走向 （0fx为上升，0fx为下降） ，左边上升、右边下降的驻点处的函数值为极大值，反之为极小值。4. 如果函数驻点较多，分段讨论，并可以列表、画图表达5. 求最大值，将所有极大值和函数定义域区间端点的函数值一起比较，取最大的，则为最大值。最小值亦然。例： 求函数4225fxxx在闭区间 -2 ，2 上的最大值和最小值。解：先求导数得：344fxxx，令0fx即，3440 xx解得1231,0,1xxx计算得：14,05,14,fff213,213ff比较得maxmin13,4ff双根式和或差的函数的最值问题：1、求函数3229ttu的最值；2、求函数3229ttu的最值；（单调性法）3、求函数329ttu的最值；（平方法、换元法）4、求函数329ttu的最值；（分子有理化）5、求函数3229ttu的最值；（多种方法）6、求函数52ttu的值域；7、求函数52ttu的值域；8、求函数74222ttu的最值；9、求函数16854171852342xxxtttu的最值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
