2022年南通市高三数学第一次调研测试试题 .pdf

a1 b2 c3 caab bc Print a，b（第 3 题）南通市高三第一次调研测试数学参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，nx 的方差2211()niisxxn，其中11niixxn. （2）函数( )sinf xx的导函数( )cosfxx，其中，都是常数 . 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221yx的离心率为 .2 若复数z满足 12i34iz（ i 是虚数单位） ，则z= . 3 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 . 4一组数据9.8 ，9.9 ，10，a，10.2 的平均数为10，则该组数据的方差为 . 5 设全集UZ，集合220Ax xxxZ ，则UAe .（用列举法表示）6 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1 ，2) ，12ab(3，1) ，则a b . 7 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1，2 号盒子中各有1 个球的概率为 . 8.设P是函数1yx x图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 . 9 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数22logyx ，12yx ，22xy的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 . 10观察下列等式：311，33129 ，O B D C y x （第 9 题）1 1 A 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页O B C F1F2D x y (第 13 题) 33312336 ，33331234100 ，猜想：3333123n（ n*N ）. 11在棱长为 4 的正方体1111ABCDA B C D 中，E、F分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G为正方形11B BCC 的中心 . 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 . 12若12sina xxa x对任意的02x，都成立，则21aa 的最小值为 . 13如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆22221yxab(0ab) 的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D. 若127cos25F BF，则直线CD的斜率为 . 14各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列 . 若4188aa，则q的所有可能的值构成的集合为 . 二、解答题：本大题共6小题，共90 分请在答题卡指定区域内作答 . 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15( 本小题满分14 分) 在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c. （1）若2sincossinACB，求ac的值；（2）若 sin(2)3sinABB ，求tantanAC的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页A （第 16 题）B C D D1C1B1A1O1C2C（第 18 题）xy. . 16( 本小题满分14 分) 如图，在六面体1111ABCDA B C D 中，11/AACC ，11A BA D ，ABAD. 求证：（1）1AABD ；（2）11/BBDD . 17( 本小题满分14 分) 将 52 名志愿者分成A， B两组参加义务植树活动，A组种植 150 捆白杨树苗， B组种植 200捆沙棘树苗假定A，B两组同时开始种植. （1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时 . 应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1 小时后发现， 每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时， 于是从 A组抽调 6 名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 18( 本小题满分16 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆1C ：22(1)1xy， 圆2C ：22(3)(4)1xy（1）若过点1( 1 0)C，的直线l被圆2C 截得的弦长为65，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页A E B C D O （第 21A 题）动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由19( 本小题满分16 分)已知函数( )sinf xxx （1）设P，Q是函数( )f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；（2）求实数 a的取值范围，使不等式( )cosf xaxx在02，上恒成立20. ( 本小题满分16 分) 设数列 na 的各项均为正数. 若对任意的 n*N ，存在 k*N ，使得22n knnkaaa成立，则称数列 na 为“ Jk型”数列 . （1）若数列 na 是“ J2型”数列，且28a，81a，求2na；（2）若数列 na 既是“ J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列na 是等比数列 . 南通市 2012 届高三第一次调研测试数学（附加题）21 【选做题】本题包括A、B、 C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲（本小题满分10 分）如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC3 ，CD切半圆O于点D，DEAB，垂足精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页为E若AEEB 31，求DE的长B选修 42：矩阵与变换（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx 在矩阵0110对应的变换下得到的直线过点(4 1)P,，求实数k的值C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分10 分）在极坐标系中，已知圆sina（0a）与直线cos1相切，求实数a的值D选修 45：不等式选讲（本小题满分10 分）已知正数 a，b， c 满足1abc，求证： (2)(2)(2)27abc【必做题】第22、23 题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10 分）已知数列 na 满足：112a，*12 ()1nnnaanaN（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10nnaa对于任意*nN 都成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页F B x y O A C D M N （第 23 题）a1 b2 c3 caab bc Print a，b（第 3 题）23 （本小题满分10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0） 过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD， 与 x 轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MNx 轴；（3）若直线MN与 x 轴的交点恰为F（ 1，0） ，求证：直线AB过定点南通市 2012 届高三第一次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题5 分，共 70 分1 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221yx的离心率为 . 答案：22 若复数z满足 12i34iz（ i 是虚数单位） ，则z= . 答案： 1 + 2i 3 在右图的算法中，最后输出的a，b的值依次是 . 答案： 2，1 4一组数据9.8 ，9.9 ，10，a，10.2 的平均数为10，则该组数据的方差为 . 答案： 0.02 5 设全集UZ，集合220Ax xxxZ ，则UAe（用列举法表示）. 答案： 0 ，1 6 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1 ，2) ，12ab(3，1) ，则a b . 答案： 0 7 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在 1，2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页O B C F1F2D x y (第 13 题) 号盒子中各有1 个球的概率为 . 答案：298.设P是函数(1)yx x图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 . 答案：32，9 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数22logyx ，12yx ，22xy的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为 . 答案：1124，10观察下列等式：311，33129 ，33312336 ，33331234100 ，猜想：3333123n（ n*N ）. 答案：2(1)2n n11在棱长为 4 的正方体1111ABCDA B C D 中，E、F分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G为正方形11B BCC 的中心 . 则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 . 答案： 12 12若12sina xxa x对任意的02x，都成立，则21aa 的最小O B D C y x （第 9 题）1 1 A 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页值为 . 答案：2113如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆22221yxab(0ab) 的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为D. 若127cos25F BF，则直线CD的斜率为 . 答案：122514各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d 0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列 . 若4188aa， 则q的所有可能的值构成的集合为 . 答案：5837，二、解答题15本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力满分14 分在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c. （1）若2sincossinACB，求ac的值；（2）若 sin(2)3sinABB ，求tantanAC的值 . 解： （1）由正弦定理，得sinsinAaBb从而2sACB可化为2 cosaCb 3 分由余弦定理，得22222abcabab整理得ac，即1ac. 7 分（2）在斜三角形ABC中，ABC，所以 sin(2)3sinABB 可化为 sin3sinACAC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页A （第 16 题）B C D D1C1B1A1M 即sin3sinACAC10 分故sincoscossin3(sincoscossin)ACACACAC 整理，得4sincos2cossinACAC， 12 分因为ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC0，所以tataAC14 分16 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力满分 14分如图，在六面体1111ABCDA B C D 中，11/AACC ，11A BA D ，ABAD. 求证：（1）1AABD ；（2）11/BBDD . 证明： （1）取线段BD的中点M，连结AM、1AM ，因为11A DA B ，ADAB，所以BDAM，1BDA M 3 分又1AMA MM ，1AMA M、平面1A AM ，所以BD平面1A AM 而1AA平面1A AM ，所以1AA. 7 分（2）因为11/AACC ，1AA平面11D DCC ，1CC平面11D DCC ，所以1/AA平面11D DCC 9 分又1AA平面11A ADD ， 平面11A ADD平面111D DCCDD ， 11 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页所以11/AADD 同理得11/AABB ，所以11/BBDD 14 分17本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力满分14 分将 52 名志愿者分成A， B两组参加义务植树活动，A组种植 150 捆白杨树苗， B组种植 200捆沙棘树苗假定A，B两组同时开始种植（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时 . 应如何分配A，B两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1 小时后发现， 每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时， 于是从 A组抽调 6 名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解： （1）设 A组人数为x ，且052x， x*N ，则A组活动所需时间2150605( )f xxx；2 分 B组活动所需时间12001002( )5252g xxx4 分令( )( )f xg x ，即6010052xx，解得392x所以两组同时开始的植树活动所需时间*6019( )10020.52xxxF xxxxNN， ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页（第 18 题）xyO1C2CC1l2l 6 分而60(19)19F，25(20)8F， 故(19)(20)FF所以当 A、 B两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短8 分（2）A组所需时间为1+21502016532067（小时），10 分 B组所需时间为220032123133263（小时）， 12 分所以植树活动所持续的时间为637小时14 分18本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力满分16 分如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆1C ：22(1)1xy， 圆2C ：22(3)(4)1xy（1）若过点1( 1 0)C，的直线l被圆2C 截得的弦长为65，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解： （1）设直线l的方程为(1)yk x，即0kxyk因为直线l被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C，到l：0kxyk的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页244451kk3 分化简，得21225120kk，解得43k或34k所以直线l的方程为4340 xy或3430 xy6 分（2）证明：设圆心()C x y， ，由题意，得12CCCC ，即2222(1)(3)(4)xyxy化简得30 xy，即动圆圆心C在定直线30 xy上运动10 分圆C过定点，设(3)C mm，则动圆C的半径为222111(1)(3)CCmm于是动圆C的方程为2222()(3)1(1)(3)xmymmm整理，得22622(1)0 xyym xy 14 分由2210620 xyxyy，得31223222xy，；或3122322.2xy，所以定点的坐标为3312 2222，3312 2222，16 分19本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力满分16 分已知函数( )sinf xxx （1）设P，Q是函数( )f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；（2）求实数 a的取值范围，使不等式( )cosf xaxx在02，上恒成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页解： （1）由题意，得( )1cos0fxx所以函数( )sinf xxx 在 R上单调递增设11()P xy，22()Q xy， 则有12120yyxx， 即0PQk 6 分（2）当0a时，()sinfxxxaxx 恒成立8 分当0a时，令( )( )cossincosg xf xaxxxxaxx ，( )1cos(cossin )g xxaxxx1(1)cossinaxaxx当10a，即01a时，( )11cossin0g xaxaxx，所以( )g x 在02，上为单调增函数所以()(0)0gxga，符合题意10 分当10a，即1a时，令( )( )1(1)cossinh xg xaxaxx ，于是( )(21)sincosh xaxaxx 因为1a，所以210a，从而( )0h x 所以( )h x 在02，上为单调增函数所以(0)( )2hh xh，即2( )12ah xa，亦即2( )12ag xa 12 分（i ）当20a，即12a时，( )0g x ，所以( )g x 在02，上为单调增函数于是( )(0)0g xg，符合题意14 分（ii ）当20a，即2a时，存在002x，使得当0(0)xx，时，有( )0g x，此时( )g x 在0(0)x，上为单调减函数，从而( )(0)0g xg，不能使( )0g x恒成立综上所述，实数a的取值范围为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页2a16 分20本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力满分16 分设数列 na 的各项均为正数. 若对任意的 n*N ，存在 k*N ，使得22n knnkaaa成立，则称数列 na 为“ Jk型”数列（1）若数列 na 是“ J2型”数列，且28a，81a，求2na；（2）若数列 na 既是“ J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列na 是等比数列 . 解： （1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，成等比数列，且公比138212aqa，所以412212nnnaa q 4 分（2）证明：由 na 是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a，21a， 成等比数列， 设公比为 t . 6 分由na 是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a，13a ，成等比数列，设公比为1；2a ，5a ，8a ，11a ，14a，成等比数列，设公比为2；3a ，6a ，9a ，12a，15a，成等比数列，设公比为3；则431311ata，431725ata，432139ata所以123， 不妨记123， 且43t 12 分于是(32) 1133211kkkaaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页A E B C D O （第 21A题）2(31) 12233315111kkkkkaaa taa，1313233339111kkkkkaaataa，所以131nnaa，故na为等比数列16 分南通市 2012 届高三第一次调研测试数学附加题参考答案及评分建议21 【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力满分10 分如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC3 ，CD切半圆O于点D， DEAB，垂足为E若AEEB 31，求DE的长解：连接AD、DO、DB由AEEB31，得DOOE21又DEAB，所以60DOE故ODB为正三角形5 分于是30DACBDC 而60ABD，故30CBDC 所以3DBBC在OBD中，3322DEDB 10 分B选修 42：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力满分10 分在平面直角坐标系xOy中， 直线 ykx 在矩阵0110对应的变换下得到的直线过点(4 1)P,，求实数k的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页解：设变换T：xxyy，则0110 xxyyyx，即. xyyx，5 分代入直线ykx ，得 xky 将点(4 1)P， 代入上式， 得k4 10 分C选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10 分在极坐标系中，已知圆sina（0a）与直线cos1相切，求实数a的值解：将圆sina化成普通方程为22xyay ，整理，得22224aaxy将直线cos1化成普通方程为20 xy 6 分由题意，得2222aa解得42 2a10 分D选修 45：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10 分已知正数 a，b， c 满足1abc，求证： (2)(2)(2)27abc证明：(2)(2)(2)abc(11)(11)(11)abc4分333333abc327abc27（当且仅当1abc时等号成立） 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页22 【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力满分 10 分已知数列 na 满足：112a，*12 ()1nnnaanaN（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10nnaa对于任意*nN 都成立（1） 解： 由题意，得232435aa， 2 分（2）证明：当1n时，由（ 1） ，知120aa ，不等式成立4 分设当*()nk kN时，10kkaa成立，6 分则当1nk时，由归纳假设，知10ka而1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)kkkkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaa，所以120kkaa，即当1nk时，不等式成立由， 得不等式10nnaa对于任意*nN 成立10 分23 【必做题】 本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力满分10 分如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0） 过抛物线在x轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页F B x y O A C D M N （第 23 题）方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD， 与 x 轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MNx 轴；（3）若直线MN与 x 轴的交点恰为F（ 1，0） ，求证：直线AB过定点解： （1）设抛物线的标准方程为22(0)ypx p，由题意，得12p，即2p所以抛物线的标准方程为24yx 3 分（2）设11()A xy，22()B xy，且10y，20y由24yx （0y） ，得2yx ，所以1yx所以切线AC的方程为1111()yyxxx，即1112()yyxxy整理，得112()yyxx，且C点坐标为1( 0)x，同理得切线BD的方程为222()yyxx，且D点坐标为2( 0)x ，由消去y，得122112Mx yx yxyy5 分又直线AD的方程为1212()yyxxxx，直线BC的方程为2112()yyxxxx由消去y，得122112Nx yx yxyy所以MNxx，即MNx轴7 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页（3）由题意，设0(1)My，代入（ 1）中的，得0112(1)y yx，0222(1)y yx所以1122()()A xyB xy，都满足方程02(1)y yx 所以直线AB的方程为02(1)y yx 故直线AB过定点(，10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页