2022年反比例函数与一次函数与反比例函数综合经典例题解析 .pdf

学习必备欢迎下载反比例函数与一次函数综合经典例题解析在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题 为例，浅谈这类问题的解法，供参考。一. 探求同一坐标系下的图象例 1. 已知函数mxy与xny在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（）A. 0n,0mB. 0n,0mC. 0n,0mD. 0n,0m分析：由图知，一次函数mxy中，y 随 x 的增大而增大， 所以0m； 反比例函数xny在第二、四象限，所以0n。观察各选项知，应选B。评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。例 2.在同一直角坐标系中，函数kkxy与)0k(xky的图象大致是（）A. B. C. D. 图 2 分析： 本题可采用排除法。由选项A、B 的一次函数图象知，0k即0k，则一次函数kkxy图象与 y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A、B 都不符合要求，故都排精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载除；由选项D 的一次图象知，0k即0k，则反比例函数)0k(xky图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C。评注： 本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。二. 探求函数解析式例 3.如图 3，直线bxky1与双曲线xky2只有一个交点A（ 1，2），且与x 轴， y轴分别交于B，C 两点， AD 垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。解析： 因为双曲线xky2过点 A（ 1，2），所以2k,1k222得双曲线的解析式为x2y。因为 AD 垂直平分 OB，A 点的坐标为（1，2）。所以B 点的坐标为（ 2，0）。因为bxky1过点 A（1，2）和 B（2，0），所以0bk22bk11解得4b2k1所以直线的解析式为4x2y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载评注： 解决本题的关键是确定点B 的坐标， 由 AD 垂直 OB 知，点 D 和点 A 的横坐标应相同，所以点D 的坐标为（ 1，0），又 AD 平分 OB 知，2OD2OB，所以点B 坐标为（ 2，0），进而求出一次函数解析式。三. 探求三角形面积例 4.如图 4，反比例函数x4y的图象与直线x31y的交点为A，B，过点 A 作 y 轴的平行线与过点B 作 x 轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为（）A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析： 把x4y代入x31y，得x31x4整理得12x2解得32x,32x21把32x,32x21分别代入x4y，得332y,332y21所以点 A 的坐标为)332,32(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载点 B 的坐标为)332,32(由题意知，点C 的横坐标与点A 的横坐标相同，点C 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，所以点 C 的坐标为（332,32）。因为334332332AC，343232BC所以ABC的面积为83433421BCAC21故应选 A。例 5.如图 5，已知点 A 是一次函数xy的图象与反比例函数x2y的图象在第一象限内的交点，点B 在 x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么AOB的面积为（）A. 2 B. 22C. 2D. 22析解：把xy代入x2y，得x2x，整理得2x2，解得2x,2x21得2x,2x21分别代入xy得2y,2y21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载又点 A 在第一象限内，所以点A 的坐标为)2,2(在AOC中2OC,2AC由勾股定理，得,2OA所以 OB=2 。所以AOB的面积为22221ACOB21，故应选（ C）评注： 例 4 和例 5 中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。四. 探求点的坐标例 6.如图 6， 直线1x21y分别交 x 轴、y 轴于点 A， C， 点 P 是直线 AC 与双曲线xky在第一象限内的交点，xPB轴，垂足为点B，APB的面积为4。（1）求点 P 的坐标；（ 2）略。析解：在1x21y中，令0 x，则1y；令0y，则2x。所以点 A 的坐标为（ -2，0），点 C 的坐标为（ 0，1）。因为点 P 的直线1x21y上，不妨设点P 的坐标为) 1m21,m(所以1m21PB, 2mAB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载又因为4PBAB21SAPB所以4)1m21)(2m(21整理得012m4m2即0)6m)(2m(解得6m,2m21因为点 P 在第一象限，所以2m。故点 P的坐标为（ 2，2）。评注： 本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。五、综合运用例 6已知关于 x 的一次函数ymx3n 和反比例函数y25mnx的图象都经过点(1， 2)求：(1)一次函数和反比例函数的解析式；(2)两个函数图象的另一个交点的坐标解析： (1)两函数图象都过点(1， 2)，解之，得，m3n22m5n2m4n2一次函数的解析式为y4x6，反比例函数的解析式为y2x(2)根据题意，列出方程组y4x6y，2x解之，得 ，x1y2xy412两函数图象的另一个交点为，(124)评注：一次函数与反比例函数的图象都经过点ymx3ny25mnx(1，2)，则该点坐标满足两解析式；要求两图象交点，则应由两图象的解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载式组成方程组求解(1)k 满足什么条件时， 这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？(2)设(1)中的两个公共点为A，B，试判断 AOB 是锐角还是钝角？(1)yx6y根据题意，得 ，kx消去 y，得 x26xk0 364k0， k9当 k9 且 k0 时，方程x26xk0 有两个不相等的非零实数解k9 且 k0 时，两函数图象有两个公共点(2)y x6 的图象过第一，二，四象限，0k9 时，双曲线两支分别在第一、三象限由此知两公共点A，B 在第一象限，此时AOB 是锐角k0 时，双曲线两支分别在第二，四象限，两公共点A，B 分别在第二、四象限，此时AOB 是钝角(1)求 m 的值；(2)若直线 l 分别与 x 轴、y 轴相交于E，F 两点，并且 RtOEF(O 是坐标原点 )的外心为点A，试确定直线l 的解析式；(3)yBBKxK(2)在双曲线上另取一点作 轴于；将中的直线3xl 绕点 A 旋转后所得的直线记为l，若 l与 y 轴的正半轴相交于点C，且试问在轴上是否存在点，使得，OCOFyPSSPCABOK14若存在，请求出点P 的坐标？若不存在，请说明理由例已知，是直线 与双曲线的交点8 A(m2)ly3x例已知一次函数 和反比例函数7 yx6y(k0)kx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载，即332m2m点坐标为，A(322)(2)作 AM x 轴于 MA 点是 RtOEF 的外心，EAFA由 AM y 轴有 OMMEOF2OMMA 2， OF4F 点的坐标为 (0，4)设 l：ykxb，则有3243kb2b4kb4 ， ， 直线 的解析式为 lyx443(3)OCOFOC1， 14C 点坐标为 (0，1)设 B 点坐标为 (x1，y1，)，则x1y13S|x |y |BOK111232设 P 点坐标为 (0，y)，满足 SPCASBOK当点 P在 C 点上方时， y1，有S(y1)(y1)PCA12323432y3当点 P在 C 点下方时， y1，有S(1y)PCA1232y 2综上知，在y 轴存在点P(0，3)与(0， 2)，使得 S PACSBOK评注：直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟解析：直线与双曲线 的一个交点为，yA(m2)l3x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载一能沟通它们的要素，应用交点时应注意：(1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式(2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标(3)判断两种图象有无交点时，可用判别式确定，也可以画出草图直观地确定上的两点，直线CD 分别交 x 轴， y 轴于 A，B 两点，设C，D 的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结 OC，OD(1)yOCy11求证：；my1(2)BOCAODtanOCCD若，求直线的解1310析式证明 ：(1)如图 1333 过点 C 作 CGx 轴，垂足为G，则 CGy1，OGx1点，在双曲线上，C(xy )y11mxx1my1在 RtOCG 中， CGOCCGOG，yOCy11my1例如图，已知，是双曲线 在第一象限内的分支91332CDymx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载解(2)：在 Rt GCO 中， GCO BOC，tany3x11，即，OGCGxy131311，OCOGCGOC22210，即10 xy10 x(3x )12121212解之，得x1 1负值不合题意，x11，y13点 C 的坐标为 (1，3)，点在双曲线上，Cymx ，即 3m3m1所以，双曲线的解析式为y3x过点 D 作 DH x 轴，垂足为H则 DH y2， OHx2在中，即RtODHtanx3y22DHOHyx2213又，则 ，y3y322232x解之得 y2 1负值不合题意，y21，x23点 D 的坐标为 (3， 1)设直线 CD 的解析式为y kxb则有 ，解得 ，3kb13kbk1b4直线 CD 的解析式为y x4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页