2022年历届高考数学真题汇编专题7平面向量理 .pdf

- 1 - 【高考试题】一、选择题（共28 题）1 （安徽卷）如果111A B C的三个内角的余弦值分别等于222A B C的三个内角的正弦值，则A111A B C和222A B C都是锐角三角形B111A B C和222A B C都是钝角三角形C111A B C是钝角三角形，222A B C是锐角三角形D111A B C是锐角三角形，222A B C是钝角三角形2 （北京卷）若a与bc都是非零向量，则“a ba c”是“()abc”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件3 （福建卷）已知OA=1，OB=3,OBOA=0, 点C在AOB内，且AOC=30，设OC=mOA+nOB(m、nR)，则nm等于A.31 B.3 C.33 D.3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 43 页- 2 - 4 （福建卷）已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（A）5 （B）4 （ C ）3 （ D）1 解析：向量a与b的夹角为120o，3,13,aab3| | cos120|2a babb，222|2|abaa bb， 21393|bb，则b=1( 舍去 ) 或b=4，选 B. 5 （广东卷）如图1 所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量CDA.12BCBA B. 12BCBA C. 12BCBA D. 12BCBA解析：BABCBDCBCD21，故选 A. 6 （湖北卷） 已知向量(3,1)a，b是不平行于x轴的单位向量，且3a b，则bA （3 1,22） B （13,22） C （1 3 3,44） D （1 , 0）7 （湖北卷）已知非零向量a、b，若a2b与a2b互相垂直，则baA. 41 B. 4 C. 21 D. 2 解：由a2b与a2b互相垂直（a2b） （a2b） 0a24b20 即|a|24|b|2|a| 2|b| ，故选 D 8 （湖南卷） 已知|2| 0ab, 且关于x的方程2|0 xa xa b有实根 , 则a与b的夹角的取值范围是 ( ) ADCB图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页- 3 - A.0,6 B.,3 C.2,33 D.,69 （湖南卷）已知向量),2, 1 (),2(bta若1tt时，ab；2tt时，ba，则 A1, 421tt B. 1,421tt C. 1, 421tt D. 1,421tt10 （湖南卷） 如图 1：OMAB，点 P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界） . 且OByOAxOP，则实数对（x,y）可以是A)43,41(B. )32,32( C. )43,41( D. )57,51(解析：如图，OMAB，点 P 由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）. 且OByOAxOP，由图知， x0，当x=41时，即OC=41OA，P 点在线段 DE上，CD=41OB，CE=45OB，而414345， 选 C. 11 （ 辽 宁 卷 ）ABC的 三 内 角,A B C所 对 边 的 长 分 别 为, ,a b c设 向 量(,)pac b,(,)qba ca, 若/pq, 则角C的大小为(A)6 (B)3 (C) 2 (D) 23A B O M 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 43 页- 4 - 12 （辽宁卷）设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B, 点P是线段AB上的一个动点,APAB, 若OP ABPA PB, 则实数的取值范围是(A)112 (B) 2112 (C) 12122 (D) 221122【点评】本题考查向量的表示方法, 向量的基本运算, 定比分点中定比的范围等等. 13 （辽宁卷）已知等腰ABC的腰为底的2 倍，则顶角A的正切值是（）323158157解：依题意，结合图形可得15tan215A，故221522tan15152tan7151 tan1 ()215AAA，选 D 14 （全国卷I ）ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且2ca，则cosBA14 B34 C24 D23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 43 页- 5 - 15 （全国卷I ）设平面向量1a、2a、3a的和1230aaa。如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则A1230bbb B1230bbb C 1230bbb D 1230bbb16 （全国卷I ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的 5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A28 5cm B26 10cm C23 55cm D220cm解：用 2、 5连接， 3、4 连接各为一边，第三边长为6 组成三角形，此三角形面积最大，面积为26 10cm，选 B. 17 （全国卷I ）已知向量ab、满足1,4,ab，且2a b，则a与b的夹角为A6 B4 C3 D218 （全国 II ）已知向量a（ 4，2） ，向量b（x，3） ，且a/b, 则x（A） 9 (B)6 (C)5 (D)3 解：a/b4 32x 0，解得x6，选 B 19 （山东卷）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 43 页- 6 - 1 （ B）2 （C）31 （D）320（山东卷） 设向量a=(1, 2),b=(2,4),c=(1, 2) ， 若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A)(2,6) (B)(2,6) (C)(2,6) (D)(2, 6) 解：设d（ x，y） ，因为 4a（ 4， 12） ，4b2c（ 6，20） ，2(ac) （ 4， 2） ，依题意，有4a（ 4b 2c） 2(ac) d0，解得 x 2，y 6，选 D 21 （山东卷）设向量a=(1, 3),b=( 2,4), 若表示向量4a、3b2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为(A) （1， 1） (B)（ 1， 1 ） (C) （ 4，6） (D) （4， 6）解： 4a（ 4， 12） ，3b2a（ 8，18） ，设向量c（ x，y） ，依题意，得4a（ 3b2a）c0，所以 48x 0， 1218y0，解得 x4，y 6，选 D 22( 陕西卷 ) 已知非零向量AB与AC满足 (AB|AB| +AC|AC|) BC=0 且AB|AB|AC|AC| =12 , 则ABC为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形23( 上海卷 ) 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A）ABDC；（B）ADABAC；（C）ABADBD；（D）ADCB0解：由向量定义易得，（C）选项错误；ABADDB；24 （四川卷） 如图，已知正六边形123456PP P P P P，下列向量的数量积中最大的是A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页- 7 - （A）1213PPPP（B）1214PPPP（C）1215PPPP（D）1216PPPP25 （四川卷）设, ,a b c分别是ABC的三个内角,A B C所对的边，则2ab bc是2AB的（A）充要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而充分条件（D）既不充分又不必要条件26 （浙江卷）设向量, ,a b c满足0abc,| 1,| 2ab ab, 则2|c(A)1 (B)2 (C)4 (D)5 27 ( 重庆卷 ) 与向量a=b,21,2727,21的夹解相等，且模为1 的向量是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 43 页- 8 - (A) 53,54 (B) 53,54或53,54（C）31,322（D ）31,322或31,322解析：与向量7 117,2 222ab的夹角相等，且模为1 的向量为(x ， y) ，则22171172222xyxyxy，解得4535xy或4535xy，选 B. 28 ( 重庆卷 ) 已知三点(2,3),( 1, 1),(6, )ABCk， 其中k为常数。若ABAC， 则AB与AC的夹角为（A）24arccos()25（B）2或24arccos25（ C）24arccos25（D）2或24arccos25二、填空题（共15 题）29 （安徽卷）在ABCD中，,3ABa ADb ANNC， M 为BC 的中点，则MN_。 （用ab、表示）解：343AANNCANCa由得，12AMab，所以3111()()4244MNababab。30. （ 北 京 卷 ） 若 三 点(2,2),( ,0),(0,)(0)AB aCbab共 线 ， 则11ab的 值 等 于_. 31 （北京卷）在ABC中，若sin:sin:sin5:7:8ABC，则B的大小是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 43 页- 9 - 解：sin:sin:sin5:7:8ABCa b c5 7 8 设 a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得B的大小为3. 32. （北京卷）若三点A(2 ，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于。解：AB（a2，2） ，AC（ 2，2） ，依题意，向量AB与AC共线，故有2（a2） 40，得 a4 33. （ 北 京 卷 ） 在 ABC中 ，A，B，C所 对 的 边 长 分 别 为a,b,c. 若sinAsinBsinC=578, 则abc= , B的大小是 . 34（北京卷）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin), 且 ab，那么 a+b 与 a-b 的夹角的大小是 . 35. （湖北卷）在ABC中，已知433a，b4，A 30，则 sinB 32 . 解：由正弦定理易得结论sinB 32。36. （湖南卷）如图2,OM AB,点 P在由射线 OM 、线段 OB及 AB的延长线围成的阴影区域内( 不含边界 ) 运动 , 且OPxOAyOB, 则x的取值范围是 ;当12x时,y的取值范围是 . 解析 : 如图 , ABOM /, 点P在由射线OM, 线段OB及AB的延长线围成的区域内 ( 不含边界 ) 运动 , 且OByOAxOP，由向量加法的平行四边形A O M P B 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 43 页- 10 - 法则， OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和 OA的反向延长线为两邻边， x的取值范围是( ， 0)；当21x时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上， CD=21OB ，CE=23OB ， y的取值范围是(21，23). 37. （江苏卷）在 ABC 中，已知BC 12，A60， B45，则AC 38. （江西卷）已知向量(1 sin)a，(1 cos )b，则ab的最大值为解：ab|sincos | 2|sin （ 4） |2。39. （全国II ）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB 1，BC 4，则边BC上的中线AD的长为解析 : 由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而 A+B+C= 可得3BAD为边 BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得3AD。本题主要考察等差中项和余弦定理, 涉及三角形的内角和定理, 难度中等。40. （ 天 津 卷 ） 设 向 量a与b的 夹 角 为，(3 3)a，2( 11)ba， 则c o s解 析 ： 设 向 量a与b的 夹 角 为,且(3,3), 2( 1,1),aba (1,2)b， 则cos9| | 325a bab31 010。41. （浙江卷）设向量 a,b,c满足 a+b+c=0,(a- b)c,a b, 若 a =1, 则 a22| b+c2的值是【考点分析】本题考查向量的代数运算，基础题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 43 页- 11 - 解析：10000,babacbcabababacbcacbabacba222bac，所以4222cba【名师点拔】向量的模转化为向量的平方，这是一个重要的向量解决思想。42. （ 上 海 春 ） 在 ABC中 ， 已 知5, 8ACBC， 三 角 形 面 积 为12 ， 则C2c o s . 43. （上海春）若向量ba、的夹角为150，4,3ba，则ba2 . 三、解答题（共11 题）44. （ 湖 北 卷 ） 设 函 数( )()f xa bc， 其 中 向 量(sin,cos )axx，(sin, 3cos )bxx，(cos ,sin)cxx，xR。（） 、求函数( )f x的最大值和最小正周期；（）、将函数( )f x的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页- 12 - 45. （湖北卷）设向量a(sinx，cosx) ，b(cosx，cosx) ，xR，函数f(x)a(ab). （）求函数f(x)的最大值与最小正周期；（）求使不等式f(x)23成立的 x 的取值集。解： （）222sincossincoscos11321sin2cos21sin(2)22224fxa aba aa bxxxxxxxx（）fx的最大值为3222，最小正周期是22。（）由（）知3323sin(2)sin(2)02224243222,488fxxxkxkkxkkZ即32fx成立的x的取值集合是3|,88x kxkkZ. 46 （湖南卷）如图3,D 是直角 ABC 斜边 BC上一点 ,AB=AD,记CAD=, ABC=. 证明sincos20; B D C A 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页- 13 - 若 AC=3DC,求的值 . 解： (1) 如图 3，(2 )2,sinsin(2)cos2222，即sincos2047 （江西卷） 在锐角ABC中，角ABC， ，所对的边分别为abc， ，已知22sin3A，（1）求22tansin22BCA的值；（2）若2a，2ABCS，求b的值解： （1）因为锐角 ABC 中， A BC ，2 2sin3A，所以 cosA13，则22222BCsinBCAA2tansinsinBC222cos21cos BC11cosA171cosA1cosBC21cosA33（ ） （ ） （ ）（2）ABCABC112 2S2Sbcsin Abc223因为，又，则bc3。将 a2，cosA13，c3b代入余弦定理：222abc2bccos A中得42b6b90 解得 b348. （江西卷）如图，已知ABC 是边长为1 的正三角形，M 、N分别是边 AB、AC上的点，线段 MN经过 ABC的中心 G，设MGA （233）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 43 页- 14 - 试将 AGM 、AGN 的面积（分别记为S1与 S2）表示为的函数（2）求 y221211SS的最大值与最小值因为233，所以当3或23时， y 取得最大值ymax 240 当2时， y 取得最小值ymin216 49.（全国卷 I ）ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。. 解: 由 A+B+C= , 得B+C2 = 2A2 , 所以有 cosB+C2 =sinA2 . cosA+2cosB+C2 =cosA+2sinA2 =1 2sin2A2 + 2sinA2=2(sinA212)2+ 32当 sinA2 = 12 , 即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为3250. （全国 II ）已知向量a(sin ，1)，b(1 ，cos) ，22（）若ab，求 ；（）求ab的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 43 页- 15 - 本题主要考察以下知识点1. 向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值3. 三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模难度中等,计算量不大51. （全国 II ）在2 545 ,10,cos5ABCBACC中，,求（1）?BC(2) 若点DAB是的中点，求中线CD 的长度。解：（1）由255cossin55CC得,23 10sinsin(18045)(cossin)210ACCC由正弦定理知103 10sin3 2sin1022ACBCAB（2）105sin2sin522ACABCB112BDAB由余弦定理知222cos21182 1 3 2132CDBDBCBD BCB52.（四川卷）已知,A B C是三角形ABC三内角，向量1, 3 ,cos ,sinmnAA，且1m n（）求角A；（）若221sin 23cossinBBB，求 tanC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 43 页- 16 - （）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBBcos0B2tantan20BBtan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去tan2BtantanCABtan ABtantan1tantanABAB2312 385 311 53 （四川卷）已知A、B、C是ABC 三内角，向量( 1, 3),m(cos,sin),nAA且1.m n（）求角A （）若, 3sincos2sin122BBB求 tanB. 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12 分。（）由题知221 2sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBBcos0B2tantan20BB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 43 页- 17 - tan2B或tan1B, 而tan1B使22cossin0BB，舍去tan2B54. （天津卷）如图，在ABC中，2AC，1BC，43cosC（1）求AB的值；（2）求CA2sin的值 . 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解决问题的能力. 满分 12 分. （）解：由余弦定理，2222.cosABACBCACBCC34122 12.4那么，2.AB55( 上海卷 ) 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20 海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10 海里C处的乙 船 ，试 问乙 船 应朝 北偏 东 多少 度的 方 向沿 直线 前 往B处 救援 （ 角度 精确 到1） ？ 解 连接 BC,由余弦定理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 43 页- 18 - BC2=202+10222010COS120 =700.于是 ,BC=107. 710120sin20sin ACB, sin ACB=73, ACB90 ACB=41 乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援 . 【2005 高考试题】1. （ 全 国 卷 ）ABC的 外 接 圆 的 圆 心 为O， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为H，)(OCOBOAmOH，则实数m = 1 2 （全国卷）已知点 A （3， 1） ，B（0，0）C（3，0）. 设BAC的平分线AE与 BC相交于 E，那么有其中,CEBC等于（ C ）A2 B21C 3 D313 （全国卷） 点 P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4， 3） （即点 P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v| 个单位 . 设开始时点P的坐标为（ 10，10） ，则 5 秒后点 P的坐标为（ C ）A （ 2， 4）B （ 30，25）C （10， 5）D （5， 10）4. （全国卷III） 已知向量( ,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk，且 A、B、C 三点共线，则k=235. （北京卷） 若| 1,|2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为 (C ) （A）30 （B）60 （C）120 （D）1506.（上海卷）直角坐标平面xoy中，若定点)2, 1 (A与动点),(yxP满足4OAOP，则点 P的轨迹方程是x+2y-4=0 _ 。7.（天津卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1) 和点 B(-3,4)，若点 C在AOB的平分线上且 |OC |=2,则OC=10 3 10,558. （福建卷）在 ABC 中， C=90 ，),3, 2(),1 ,(ACkAB则 k 的值是（ D ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 43 页- 19 - A5 B 5 C23D239. （广东卷）已知向量(2,3)a，( ,6)bx，且ab，则 x 为_4_10. （湖北卷）已知向量|)., 5(),2, 2(bakba若不超过5，则k 的取值范围是 6，2 11. （江苏卷）在ABC中，O为中线 AM上一个动点，若AM=2 ，则)(OCOBOA的最小值是 _-2_ 。12.（江西卷） 已知向量的夹角为与则若cacbacba,25)(,5|),4, 2(),2, 1(（ C ）A30 B 60 C120D15015. （全国 I ）点 O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O是ABC的（ B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点16.( 湖南 )P 是ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P 是ABC的（ D ）A外心B内心C重心D垂心【2004 高考试题】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 43 页- 20 - 一）选择题1(2004. 全国理 ) 已知 a、 b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a+3b|= （C ）A7B10C13D4 3 （2004. 福建理）已知a、b 是非零向量且满足(a2b) a，(b 2a) b，则a与 b 的夹角是（ B ）A6B3C32D654 （2004. 重庆理）若向量a与b的夹角为60，| 4,(2 ).(3 )72babab, 则向量a的模为 （ C ）A2 B4 C6 D 12 5、(2004. 四川理）已知平面上直线l的方向向量e=(-53,54) ，点 O(0,0) 和点 A(1,-2)在l上的射影分别为O和A，则 AOe，其中 =（ D ）A 511 B -511 C 2 D -2 6 （04. 上海春季高考）在ABC中，有命题BCACAB；0CABCAB；若0)()(ACABACAB，则ABC为等腰三角形；若0ABAC，则ABC为锐角三角形. 上述命题正确的是（ C ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 43 页- 21 - （A） （ B） （ C） （ D）10、 （2004. 上海理） 已知点 A(1, 2), 若向量AB与a=2,3 同向 ,AB =213, 则点 B的坐标为 (5,4) . 三）解答题11 （2004. 湖北理）（本小题满分12 分）如图，在 RtABC中，已知 BC=a，若长为 2a的线段 PQ以点 A为中点，问BCPQ与的夹角取何值时CQBP的值最大？并求出这个最大值. 11本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分 12 分. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 43 页- 22 - 解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系 . .)()()().2,2(),(),(),().,(),(.| ,2|), 0(),0,(),0,0(,|22bycxyxbyyxcxCQBPyxPQbcBCbyxCQycxBPyxQyxPaBCaPQbCcBAbACcAB则的坐标为设点且则设.0,)(0, 1cos.cos.cos.|cos2222其最大值为最大时方向相同与即故当CQBCBCPQaaCQBPabycxabycxBCPQBCPQ12. （ 04. 上 海 春 季 高 考 ） （ 本 题 满 分12 分 ）在 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 点)22cos2,1cos2(xxP和点)1,cos(xQ，其中,0 x. 若向量OP与OQ垂直，求x的值 . 12. 由OQOP，得0)22cos2()1cos2(cosxxx，利用1cos22cos2xx，化简后得0coscos22xx，于是0cosx或21cosx，,0 x，32或x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 43 页- 23 - 【2003 高考试题】一、选择题3.（2001 江西、山西、天津文） 若向量a=（3，2） ，b= （0，1） ，则向量 2ba的坐标是 （）A.（3， 4）B. （ 3， 4）C.（3，4）D. （ 3， 4）4. （2001 江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OBOA等于（）A.43B.43C.3 D. 3 5. （2001 上海） 如图 51， 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若BA1=a，11DA=b，AA1=c. 则下列向量中与MB1相等的向量是（）A.21a+21b+c B. 21a+21b+cC. 21a21b+c D. 21a图 51 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 43 页- 24 - 21b+c7.(2000江西、山西、天津理，4) 设a、b、c是任意的非零平面向量, 且相互不共线 , 则（ab）c（ca）b=0 |a| |b|ab| （bc）a（ca）b不与c垂直（ 3a+2b） （3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命题的有（）A. B. C. D.8.（1997 全国， 5）如果直线l沿x轴负方向平移3 个单位，再沿y轴正方向平移1 个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（）A.31B.3 C. 31D.3 二、填空题9. （2002 上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120，且 |a|=2， |b|=5，则（ 2ab）a=_. 10. （2001 上海春， 8）若非零向量、 满足 | +|=| | ，则 与 所成角的大小为 _. 11.（2000 上海， 1）已知向量OA=（ 1，2） ，OB=（3，m） ，若OAAB，则m= . 12. （1999 上海理， 8）若将向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转4得到向量b，则向量b的坐标为 _. 13.（1997 上海， 14）设a=（m+1）i3j，b=i+（m1）j， （a+b）（ab） ，则m=_. 14. （1996 上海， 15）已知a+b=2i8j，ab=8i+16j，那么ab=_. 15.（1996 上海， 15）已知O（0，0）和A（6，3）两点， 若点P在直线OA上，且21PAOP，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 43 页- 25 - 又P是线段OB的中点，则点B的坐标是 _. 三、解答题18. （2002 上海， 17） 如图 54， 在直三棱柱ABOABO中，OO=4，OA=4，OB=3， AOB=90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点， 若OPBD， 求OP与底面AOB所成角的大小 .（结果用反三角函数值表示）图 53 图 54 图 55 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 43 页- 26 - 21. （ 2001 江西、山西、天津理）如图56，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h. （1）求 cos ；（2）记面BCV为 ，面DCV为 ，若BED是二面角VC 的平面角，求BED. 图 56 图 57 图 58 22. （2001 上海春）在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D. （1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）. 则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等 . 试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5 时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小 .（用反三角函数值表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 43 页- 27 - （ab）c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算（ABAD）AP的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系， 并由此猜想向量这一运算（ABAD） AP的绝对值的几何意义. 25.（2000 上海，18） 如图 59 所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直， 且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos1010，求四面体ABCD的体积 . 图 59 图 510 图 5 11 26. （2000 天津、江西、山西）如图510 所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点 . （1）求BN的长；（2）求 cos 的值；（3）求证：A1BC1M. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 43 页- 28 - 28. （1999 上海， 20）如图 512，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形， BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角 . （1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的大小 . 29. （1995 上海， 21）如图 513 在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（21,23， 0） ， 点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30.（1）求向量OD的坐标；（2）设向量AD和BC的夹角为，求 cos 的值 . 答案解析图 512 图 5 13 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 43 页- 29 - 3. 答案： D 解析：设（x，y）=2ba=2（0， 1）（ 3， 2）=（ 3， 4）. 评述：考查向量的坐标表示法. 4. 答案： B 5. 答案： A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 43 页- 30 - 解析：)(21111BCBAAABMBBMB=c+21（a+b）=21a+21b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法. 考查学生的空间想象能力. 6. 答案： B 解析：设c=ma+nb，则（ 1，2）=m（1，1）+n（1， 1）=（m+n，mn） . 21nmnm2321nm评述：本题考查平面向量的表示及运算. 7. 答案： D 解析：平面向量的数量积不满足结合律. 故假；由向量的减法运算可知|a| 、|b| 、 |ab| 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（bc）a（ca）bc=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直 . 故假；（ 3a+2b） （3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2成立 . 故真 . 评述：本题考查平面向量的数量积及运算律. 8. 答案： A 解析：设直线l的方程为y=kx+b（此题k必存在），则直线向左平移3 个单位，向上平移1 个单位后，直线方程应为y=k（x+3）+b+1 即y=kx+3k+b+1 因为此直线与原直线重合，所以两方程相同. 比较常数项得3k+b+1=b. k=31. 评述：本题考查平移变换与函数解析式的相互关系. 9. 答案： 13 解析： （2ab）a=2a2ba=2|a|2|a| |b| cos120=2425 （21）=13. 评述：本题考查向量的运算关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 43 页- 31 - 11. 答案： 4 解析：OA= 1，2 ，OB=3 ，m，OAOBAB=4 ，m2 ，又OAAB，14+2（m2）=0，m=4. 评述：本题考查向量的概念，向量的运算，向量的数量积及两向量垂直的充要条件. 12. 答案：（223,22）解析：设a=OA=2+i ，b=OB，由已知OA、OB的夹角为4，由复数乘法的几何意义，得OB=OA（cos4+isin4）=（2+i ）ii22322)2222(. b=（223,22）评述：本题考查向量的概念，向量与复数一一对应关系，考查变通、变换等数学方法，以及运用数学知识解决问题的能力. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 43 页- 32 - 14. 答案： 63 解析：解方程组得ab=（ 3）5+4（ 12）=63. 评述：本题考查平面向量数量积的坐标表示及求法. 15. 答案：（4， 2）解析：设P（x，y） ，由定比分点公式12113210,22116210yx，则P（2，1） ，又由中点坐标公式，可得B（4， 2）. COAB，平面ABC平面ABB1A1，CO平面ABB1A1，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成的角 . 在 RtCA1O中，CO=23m，CA