2022年华南理工大学《高等数学》期末试题及答案二 .pdf
高等数学（下册）测试题二一、选择题（每小题3 分，本大题共15 分） （在括号中填上所选字母）1设()yzx y fx，且( )f u可导，则zzxyxy为（D ）A2xy； ；B2()xy z；C2()xy；D2z2从点(2,1, 1)P到一个平面引垂线，垂足为点(0,2,5)M，则这个平面的方程是（B ）A236360 xyz；B236360 xyz；C236360 xyz；D236360 xyz3微分方程(1)1x y的通解是（D ）A21(1)ln |1|yxxC；B12ln |1|yxC xC；C212ln |1|yxxC xC；D12(1)ln |1|yxxC xC4设平面曲线L为下半圆周21yx，则曲线积分22()dLxys等于（A ）A；B2；C3；D45累次积分24112211de dde dxxxxyyxxyxyyy（A ）Ae；B2e；C3e；D4e二填空题（每小题5 分，本大题共15 分）1曲面333xyz za在点(0,)aa处的切平面方程是0 xza；. 2微分方程232 exyyyx的待定特解形式是*xyx axb e；3设是球面2222xyza的外测，则曲面积分32222d dd dd d()x y zy z xz x yxyz4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页三 、一条 直线在平面：20 xy上 ， 且与另两条直线L1：1141xyz及L2 ：412201xyz（即 L2：42(2)10 xzy）都相交， 求该直线方程 （本题 7分）解：先求两已知直线与平面的交点，由,120,141xyzxyt1,4 ,1,50,0,0,1.0,0,1xt yt ztttxyzM由41220,201xyzxyt242 ,1,2,4220,3,2,1.2,1, 1xt yztttxzM由两点式方程得该直线：122xzy四、求函数2223uxyzz在点(1, 1,2)0M处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数 （本题 7 分）解：02 ,2 ,232, 2,1,Mgraduxyzgradu沿梯度方向上函数的方向导数04413Mgradu五、做一个容积为1 立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）解：设底圆半径为r，高为h，则由题意，要求的是222Srrh在条件21r h下的最小值。2233222122114222,40,2dSSrrrrrhrrdrrr由 实际问题知，底圆半径和高分别为3314,2rh才能使用料最省六 、 设 积 分 域D为224 ,0 ,0 xyxy所 围 成 ， 试 计 算 二 重 积 分22sin()dDxy （本题 8 分）解：观察得知该用极坐标，224 ,0 ,0 xyxy24, cos0, sin0,02,02rrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页22222222220000sinsin()dsin2cos1 cos42Drxydrrdrdrr七、计算三重积分dz v，式中为由2212zxyz所确定的固定的圆台体（本题 8 分）解：解：观察得知该用先二后一的方法22242111d1544zDz vzzdzdxdyzz dz八、设( )f x在(,)上有连续的一阶导数，求曲线积分2221()d()1dLy f xyxxy f xyyyy，其中曲线L 是从点2(3,)3A到点(1,2)B的直线段（本题 8 分）解：在上半平面)0( y上2221()1()()Qxy f xyf xyxyfxyxxyy211()()()PQyf xyf xyxyfxyyyyyx且连续，从而在上半平面)0( y上该曲线积分与路径无关，取折线(3,2)(1,2)2(3,)3BAC21222222331()314 (2 )d()1d(3 )1dd2Ly f xyxfxxy f xyyy fyyxyyy2122116222223332633331313 (3 )d2(2 )d( )( )dt22fy dyydxfxxf t dtxf tyy21233313913422222xy九、 计算曲面积分()dxyzS， 其中，为上半球面：2222 (0)xyzRz（本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页题 8 分）解：由于, ,x y zxy z，故()ddxyzSz S为上半球面，则cos0,2 ,2,2/,xyznxyzx y znR RR原式222222200RDzRxyRrdxdydxdydrdrRRR2322400221124RRR rrdrR rrRR32R十、求微分方程cos2dtan2e0,|1dxxyxyyx的解 （本题 8 分）解：cosdcot2e,dxyyxxcotcotcoslnsincoslnsin2e2exdxxdxxxxxyeedxceedxccoscos112esin2esinsinxxyxdxccxx由2|1xy，得cos112,1,12esinxccyx十一、试证224, ( , )(0,0)( , )0, ( , )(0,0)xyx yf x yxyx y在点(0, 0)处不连续，但存在有一阶偏导数 （本题 4 分）解：沿着直线2, ( , )(0,0)xkyx y，2222420000lim( , )lim1yyxkyx kyxykf x yxyk依赖k而变化，从而二重极限不存在，函数在点(0, 0)处不连续。而( ,0)0,0,0,0,00,0,00 xyf xfyff十 二 、 设 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程exyyy的 一 个 特 解 为2e(1)exxyx，试确定常数,，并求该方程的通解 （本题 4 分）解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为122,1rr，否则不能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页有这样的特解。从而特征方程为221320,rrrr因此3,21xyxe为非齐次方程的另一个特解，111,2xxyxeyxe2e231,2332,1xxxxxexexexxx故3,2，1，exyyy通解为212e()exxyccx附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试）1求无穷级数113nnnxn的收敛域及在收敛域上的和函数解：2111limlim23313nnnnnnaRnan由于在3x时发散，在3x时条件收敛，故收敛域为 3,3)看111, 1,1),01nns tttsn，则11011,ln 1,11tnnts ttts tdtttt从而111ln 1, 3,0)(0,3)133331,03nnnxxxxxsnx2求函数( )(2) ln(4)f xxx在01x处的幂级数展开式解：( )(1)1 ln 5(1)(1)1ln 5ln 115f xxxxx10(1)1ln 51115nnnxxn21110011ln 51 ln 5111 51 5nnnnnnnnxxxnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页22016111ln5ln 5115512nnnnnxxnn3将函数0, 20( )1, 02xf xx展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围解：作周期延拓，22020114,2,1122Tlafx dxdx2220111coscossin02222nn xn xafxdxdxnn222011111sinsincos12222nnn xn xafxdxdxnnn从而1111sin,2 ,22nnn xfxxk kZn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
