2022年等差数列知识点总结及练习2 .pdf

1 等差数列【知识点】1等差数列的定义 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列， 这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d”表示）公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 na, 若na1na=d (与 n 无关的数或字母 ) ，n2，nN ，则此数列是等差数列，其中d 为公差2 等差数列的通项公式：dnaan)1(1【或nadmnam)(】 d=nmaanm3等差中项如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么A叫做 x 和 y 的等差中项，如果 A是 x和 y 的等差中项，则 Axy2. 4等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS 2 ：2)1(1dnnnaSn公式二又可化成式子：n)2da(n2dS12n，当 d0，是一个常数项为零的二次式5. 性质：等差数列 an 中，公差为 d，若 d0，则an 是递增数列；若 d=0，则an 是常数列；若 d0，则an 是递减数列成等差数列，且公差为md 。（ ）是等差数列，若1amnpqnaaaamnpqaaaaaannrn r1211（）公差为的等差数列中，其子系列，也32daaaamNnkkmkm()（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4dan即，也成等差数列，其公差为。SSSSSm dmmmmm2322（）若， ， 成等差数列，也成等差数列。2pqraaapqr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 （5）等差数列的前n项和的性质：若项数为*2n n，则21nnnSn aa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶若项数为*21nn，则2121nnSna ，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶） 6. 充要条件的证明 ：7、最值问题在等差数列 an 中，a10，d0，则 Sn存在最大值，若a10，d0，则 Sn存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式：Sna1a2a3 an，Snanan1 a1，得： Snna1an2. 【对应练习】题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、. 等差数列 an的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2在数列 an中，a1=2，2an+1=2an+1，则 a101的值为（）A49 B50 C51 D52 3等差数列 1，1，3， 89 的项数是（）A92 B47 C46 D45 4、已知等差数列na中，12497, 1,16aaaa则的值是 ( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为 24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d38 B.d3 C. 38d3 D.38d3 aaadaaaadncnSanbnabndddnnnnnnnn为等差数列（关于的一次函数）（ 、 为常数，是关于的常数项为的二次函数）递增数列常数列递减数列112220000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 6、. 在数列na中，31a，且对任意大于1 的正整数n，点),(1nnaa在直03yx上，则na =_. 7、在等差数列 an 中，a53，a62，则 a4a5a108、等差数列na的前n项和为nS，若则432,3, 1Saa（）（A）12 （B）10 （C ）8 （D）6 9、设数列na的首项)Nn(2aa,7an1n1且满足，则1721aaa_.10、已知 an 为等差数列， a3 + a8 = 22 ，a6 = 7 ，则 a5 = _ 11、已知数列的通项 an= -5 n+2,则其前 n 项和为 Sn= .12、设nS为等差数列na的前 n 项和，4S14，30SS710， 则9S. 题型二、等差数列性质1、已知 an为等差数列， a2+a8=12,则 a5等于（）(A)4 (B)5 (C) 6 (D)7 2、设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A8 B 7 C 6 D53、 若等差数列na中，37101148,4,aaaaa则7_.a4、记等差数列na的前 n 项和为nS，若42S，204S，则该数列的公差d=（） A7 B. 6 C. 3 D. 2 5、等差数列na中，已知31a1，4aa52，33an，则 n 为（）（A）48 （B）49 （C）50 （D ）51 6. 、等差数列 an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（）(A)9 (B) 10 (C)11 (D)12 7、设 Sn是等差数列na的前 n 项和，若5935,95SSaa则（） A1 B 1 C 2 D218、已知等差数列 an满足1231010 则有( ) A11010 B21000 C3990 D5151 9、如果1a，2a，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则( ) （A）1a8a45a a（B）8a1a45a a（C）1a+8a4a+5a（D）1a8a=45a a10、若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）（A）13 项（B）12 项（C）11 项（D ）10 项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列na中，已知12310aaaapL，98nnnaaaqL，则其前 n项和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 2、等差数列,4, 1 , 2的前 n 项和为（）A. 4321nn B. 7321nn C. 4321nn D. 7321nn3、已知等差数列na满足099321aaaa，则（）A. 0991aa B. 0991aa C. 0991aa D. 5050aZXXK4、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则 n。5、等差数列na的前 n 项和为nS ，若2462,10,SSS则等于（）A12 B18 C24 D42 6、若等差数列共有12n项*Nn，且奇数项的和为44，偶数项的和为 33，则项数为（）A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 7、 设等差数列na的前 n项和为nS，若39S，636S，则789aaa8、 若两个等差数列na和nb的前 n 项和分别是nnST， 已知73nnSnTn，则55ab等于（） 723278214题型四、等差数列综合题精选1、等差数列 na的前 n 项和记为 Sn. 已知.50,302010aa（）求通项na；（）若 Sn=242，求 n. 2、已知数列na是一个等差数列，且21a，55a。（1）求na的通项na； （2）求na前 n 项和nS的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 3、设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT。4、已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，4a22b，3214321aaabbbb。（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，请说明理由。5、设等差数列 an 的首项 a1及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn. ( ) 若 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；( ) 若 a16，a110，S1477，求所有可能的数列 an的通项公式 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页6 6、已知二次函数( )yf x的图像经过坐标原点，其导函数为( )62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点( ,)()nn SnN均在函数( )yf x的图像上。 ( )求数列na的通项公式；( ) 设1nnnaa3b,nT是数列nb的前 n 项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数 m ；【课后练习】1、等差数列na的前三项依次为x，12x，24x，则它的第 5 项为（）A、55x B、12x C、5 D、4 2、设等差数列na中，17,594aa, 则14a的值等于（）A、11 B、22 C、29 D、12 3、 设na是公 差为 正数 的等 差数 列， 若12315aaa，12380a a a， 则111213aaa( ) A120 B105 C90 D754、若等差数列na的公差0d，则（）（A）5362aaaa（B）5362aaaa（C ）5362aaaa（D）62aa与53aa的大小不确定5、 已知na满足，对一切自然数 n 均有1nnaa，且2nann恒成立，则实数的取值范围是（）00036、等差数列daaadaan成等比数列，则若公差中，5211,0, 1为 （） (A) 3 (B) 2 (C) 2 (D) 2或27、在等差数列na中，)(,qppaqaqp，则qpa（）A、qp B、)(qp C、0 D、 pq精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 8、设数列na是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（）A、1 B、2 C、4 D、8 9、已知为等差数列，则等于（）A. -1 B. 1 C. 3 D.7 10、已知为等差数列，且21, 0, 则公差 d（）A.2 B. C. D.2 11、在等差数列中，, 则 其前 9 项的和 S9等于（）A18 B 27 C 36 D 9 12、 设等差数列的前项和为， 若， 则（）A63 B45 C36 D27 13、数列na是等差数列，它的前n项和可以表示为（）A. CBnAnSn2 B. BnAnSn2C. CBnAnSn20a D. BnAnSn20a14、在等差数列na中，78,1521321nnnaaaaaa，155nS，则n。15、在等差数列 an 中，an=m ，an+m=0，则 am= _ _ 。16、 在等差数列 an中，a4+a7+a10+a13=20，则 S16= _ 。17、 在等差数列 an中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从 a15到a30的和是 _ 。18、 已知等差数列 110 ， 116 ， 122 ，则大于 450 而不大于 602 的各项之和为 _ 。19、 已知等差数列 an 的公差 d=，前 100 项的和 S100=145 求： a1+a3+a5+a99的值。135246105,99aaaaaa20ana7a4a3a1212na284aanannS39S636S789aaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 20、 已知等差数列 an 的首项为 a，记(1) 求证： bn是等差数列(2) 已知an 的前 13 项的和与 bn 的前 13 的和之比为 3 ： 2， 求bn的公差。21、在等差数列 an 中，a1=25， S17=S9(1) 求an 的通项公式(2) 这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。22、等差数列 an的前 n 项的和为 Sn，且已知 Sn的最大值为 S99，且|a99| |a100|求使 Sn0 的 n 的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 【思考题】例 1已知两个等差数列 an 和 bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且3457nnBAnn，则使nnba得为整数的正整数n 的个数是 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 例 2已知函数:244)(xxxf( ) 若 x1+x2=1，求 f (x1)+f ( x2) 的值；( ) 设)2011(nfan，求数列 an 的前 2010 项的和例 3数列an 的前 n 项和为 Sn=npan( nN*)且 a1a2，( ) 求常数 p 的值；( ) 证明：数列 an 是等差数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页