2022年全国中考数学压轴题精选附详解答案 .pdf

1（北京市） 25我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点DE，分别在ABAC，上，设CDBE，相交于点O，若60A，12DCBEBCA请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（ 3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点DE，分别在ABAC，上，且12DCBEBCA探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（ 1）回答正确的给1 分（如平行四边形、等腰梯形等）（2）答：与A相等的角是BOD（或COE）四边形DBCE是等对边四边形（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE证法一：如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点因为12DCBEBCA，BC为公共边，所以BCFCBG所以BFCG因为BDFABEEBCDCB，BECABEA，所以BDFBEC可证BDFCEG所以BDCE所以四边形DBCE是等边四边形证法二：如图2，以C为顶点作FCBDBC，CF交BE于F点因为12DCBEBCA，BC为公共边，所以BDCCFB所以BDCF，BDCCFB所以ADCCFE因为ADCDCBEBCABE，FECAABE，所以ADCFEC所以FECCFE所以CFCE所以BDCE所以四边形DBCE是等边四边形说明：当ABAC时，BDCE仍成立只有此证法，只给1 分2（上海市） 25.已知：60MAN，点B在射线AM上，4AB（如图 10）P为直BOADECBOADECF图 2 BOADECF图 1 G名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 35 页 - - - - - - - - - 线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点BPQ， ，按顺时针排列），O是BPQ的外心（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在MAN的平分线上；（2） 当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合） 时，AO与BP交于点C，设A Px，AC AOy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D在射线AN上，2AD， 圆I为ABD的内切圆 当BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离（1）证明：如图4，连结OBOP，O是等边三角形BPQ的外心，OBOP，圆心角3601203BOP当OB不垂直于AM时，作OHAM，OTAN，垂足分别为HT，由360HOTAAHOATO，且60A，90AHOATO，120HOTBOHPOTRtRtBOHPOTOHOT点O在MAN的平分线上当OBAM时，36090APOABOPOBA即OPAN，点O在MAN的平分线上综上所述，当点P在射线AN上运动时，点O在MAN的平分线上ABMQNPO图 10 ABMQNPO备用图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 35 页 - - - - - - - - - （2）解：如图5，AO平分MAN，且60MAN，30BAOPAO由（ 1）知，OBOP，120BOP，30CBO，CBOPACBCOPCA，AOBAPCABOACPABAOACAPAC AOAB AP4yx定义域为：0 x（3）解：如图6，当BP与圆I相切时，2 3AO；如图 7，当BP与圆I相切时，433AO；如图 8，当BQ与圆I相切时，0AOABMQNPHO图 4 TABMQNPCO图 5 ABMQNP()DIO图 6 ()P ABMQNDIO图 7 PBMQNDIO()A图 8 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 35 页 - - - - - - - - - 3（天津市） 26. 已知关于 x的一元二次方程xcbxx2有两个实数根21, xx，且满足01x，112xx。（1）试证明0c；（2）证明)2(22cbb；（3）对于二次函数cbxxy2，若自变量取值为0 x，其对应的函数值为0y，则当100 xx时，试比较0y与1x的大小。解：（ 1）将已知的一元二次方程化为一般形式即0)1(2cxbx21,xx是该方程的两个实数根) 1(21bxx，cxx21而01, 0121xxx0c（2）212122124)()(xxxxxx1424)1(22cbbcb112xx1)(212xx于是11422cbb，即0422cbb)2(22cbb（3）当100 xx时，有10 xycbxxy0200，1121xcbxx)(12102010cbxxcbxxxy)(1010bxxxx100 xx010 xx又112xx112xx，12121xxx) 1(21bxx12) 1(1xb名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 35 页 - - - - - - - - - 于是021bx100 xx010bxx由于010 xx，010bxx0)(1010bxxxx，即010 xy 当100 xx时，有10 xy4(重庆市 ) 28已知，在 Rt OAB 中， OAB 900，BOA 300，AB 2。若以 O 为坐标原点， OA 所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将RtOAB 沿 OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。（1）求点 C 的坐标；（2）若抛物线bxaxy2（a0）经过 C、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点 D，点 P 为线段 DB 上一点，过P 作y轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线cbxaxy2（a0）的顶点坐标为abac，ab4422，对称轴公式为abx2yxCBAO28 题 图解: （1）过点 C 作 CHx轴，垂足为H 在 Rt OAB 中， OAB 900， BOA 300，AB 2 OB4， OA32由折叠知， COB300，OCOA32 COH600，OH3，CH3 C 点坐标为（3，3）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 35 页 - - - - - - - - - （2）抛物线bxaxy2（a0）经过 C（3，3）、 A（32，0）两点baba3232033322解得：321ba此抛物线的解析式为：xxy322（3）存在。因为xxy322的顶点坐标为（3，3）即为点C MPx轴，设垂足为N，PNt，因为 BOA 300，所以 ON3tP（3t，t）作 PQCD，垂足为Q，ME CD，垂足为E 把tx3代入xxy322得：tty632 M（3t，tt632）， E（3，tt632）同理： Q（3，t）， D（3，1）要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CEQD 即16332ttt，解得：341t，12t（舍） P 点坐标为（334，34） 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P点的坐为（334，34）yxNHDPQEMCBAO5(河北省 )26. 如图 16，在等腰梯形ABCD 中，AD BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点P 从点 B 出发沿折线段BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点 C出发沿线段CB 方向以每秒3 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线QKBC，交折名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 35 页 - - - - - - - - - 线段 CD-DA-AB 于点 E点 P、Q 同时开始运动，当点P 与点 C 重合时停止运动，点Q 也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t0）（1）当点 P 到达终点C 时，求 t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点 P 运动到 AD 上时， t 为何值能使PQDC ？（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S，分别求出点E 运动到 CD、 DA 上时， S 与 t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（4） PQE 能否成为直角三角形？若能，写出t 的取值范围；若不能，请说明理由解：（ 1）t =（507550） 5=35（秒）时，点P 到达终点C此时， QC=353=105， BQ 的长为 135105=30（2）如图 8，若 PQ DC，又 ADBC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由 QC=3t，BA+AP=5t 得 50755t=3t，解得 t=1258经检验，当t=1258时，有 PQDC（3）当点E 在 CD 上运动时，如图9分别过点A、D 作 AFBC 于点 F，DH BC 于点 H，则四边形ADHF 为矩形，且 ABF DCH ，从而FH = AD=75，于是 BF=CH=30 DH=AF=40又 QC=3t，从而 QE=QCtanC=3tCHDH=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE =12QE QC=6t2；当点 E 在 DA 上运动时，如图8过点 D 作 DHBC 于点 H，由知 DH=40，CH=30，又QC=3t，从而 ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE =12(EDQC)DH =120 t600（4） PQE 能成为直角三角形当 PQE 为直角三角形时， t 的取值范围是 0t 25 且 t1558或 t=35（注：（ 4）问中没有答出t1558或 t=35 者各扣 1 分，其余写法酌情给分）下面是第（ 4）问的解法，仅供教师参考：当点 P 在 BA（包括点A）上，即0t10 时，如图9过点 P 作 PGBC 于点 G ，则PG=PBsinB=4t，又有 QE=4t = PG，易得四边形PGQE 为矩形，此时PQE 总能成为直D E K P Q C B A 图 16 F G D E K P Q C B A 图 9 H Q K C H D E P B A 图 8 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 35 页 - - - - - - - - - 角三角形当点P、E 都在 AD（不包括点A 但包括点D）上，即10 t 25 时，如图8由 QKBC 和 ADBC 可知，此时， PQE 为直角三角形，但点P、E 不能重合，即5t503t3075，解得 t1558当点 P 在 DC 上（不包括点D 但包括点C），即 25t35 时，如图10由 ED25330=45，可知，点 P 在以 QE=40 为直径的圆的外部，故EPQ 不会是直角由 PEQ DEQ ，可知 PEQ 一定是锐角对于 PQE， PQE CQE，只有当点P 与 C 重合，即t=35时，如图11，PQE=90，PQE 为直角三角形综上所述，当PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0 t25 且 t1558或 t=356(河北省郴州市 ) 27如图，矩形ABCD 中，AB3，BC4，将矩形 ABCD 沿对角线AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A、E、C、G 始终在同一条直线上），当点E 与 C 重合时停止移动平移中EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延长线交于点M，EH 与 DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点Q设 S 表示矩形PCMH 的面积，S表示矩形NFQC 的面积（1） S与S相等吗？请说明理由（2）设 AEx，写出 S和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图 11，连结 BE，当 AE 为何值时，ABE是等腰三角形解: （1）相等理由是：因为四边形ABCD、EFGH 是矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS即：SS图 10 D E K P Q C B A C(P) D F(Q) B A(E) 图 11 xNMQPHGFEDCBA图 11 QPNMHGFEDCBA图 10 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 35 页 - - - - - - - - - （2）AB3，BC4，AC5，设 AEx，则 EC5x，34(5),55PCxMCx所以12(5)25SPC MCxx，即21212(05)255Sxxx配方得：2125()3252Sx，所以当52x时，S有最大值3 （3）当 AEAB3 或 AE BE52或 AE3.6 时，ABE是等腰三角形. 7(山西省 ) 26 关于x的二次函数22(4)22yxkxk以y轴为对称轴， 且与y轴的交点在x轴上方（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由参考资料：抛物线2(0)yaxbxc a的顶点坐标是2424bacbaa，对称轴是直线2bxa解：（ 1）据题意得：240k，2k当2k时，2220k当2k时，2260k又抛物线与y轴的交点在x轴上方，2k抛物线的解析式为：22yx函数的草图如图所示（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令220 x，得2x不02x时，112A Dx，2112A Bx，211112()244lA BA Dxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 35 页 - - - - - - - - - 当2x时，222A Dx，2222(2)2A Bxx222222()244lA DA Bxxl关于x的函数关系是：当02x时，2244lxx；当2x时，2244lxx（3）解法一：当02x时，令1111A BA D，得2220 xx解得13x（舍），或13x将13x代入2244lxx，得8 38l当2x时，令2222A BA D，得2220 xx解得13x（舍），或13x将13x代入2244lxx，得8 38l综上，矩形ABCD能成为正方形， 且当31x时正方形的周长为8 38； 当31x时，正方形的周长为8 38解法二：当02x时，同“解法一”可得13x正方形的周长11488 38lADx当2x时，同“解法一”可得13x正方形的周长22488 38lA Dx综上，矩形ABCD能成为正方形， 且当31x时正方形的周长为8 38； 当31x时，正方形的周长为8 38解法三：点A在y轴右侧的抛物线上，4 3 2 1 123456712341 2 3 4 1D1A1B1C2C2B2A2Dxy（第 26 题）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 35 页 - - - - - - - - - 0 x，且点A的坐标为2(2)xx，令ABAD，则222xx222xx，或222xx由解得13x（舍），或13x；由解得13x（舍），或13x又8lx，当13x时8 38l；当13x时8 38l综上，矩形ABCD能成为正方形， 且当31x时正方形的周长为8 38； 当31x时，正方形的周长为8 388(山西省太原市)29. 如图（ 1），在平面直角坐标系中，ABCO的顶点O在原点，点A的坐标为( 2 0)，点B的坐标为(0 2)，点C在第一象限（1）直接写出点C的坐标；（2） 将A B C O绕点O逆时针旋转， 使OC落在y轴的正半轴上， 如图（2） ， 得DEFG（点D与点O重合）FG与边AB，x轴分别交于点Q，点P设此时旋转前后两个平行四边形重叠部分的面积为0S，求0S的值；（3）若将（ 2）中得到的DEFG沿x轴正方向平移，在移动的过程中，设动点D的坐标为( 0)t，DEFG与ABCO重叠部分的面积为S，写出S与t（02t ）的函数关系式（直接写出结果）x yA C （D）O G P A Q F E B x yA C O A B 图（ 1）图（ 2）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 35 页 - - - - - - - - - 解：（ 1）(2 2)C，（2）( 2 0)A，(0 2)B，OAOB245BAOABOEFGD由ABCO旋转而成，2DGOA，45GBAOEFGD，FGDE，90FPAEDA在RtPOG中，OPOG sin4529045AQPBAO，22PQAPOAOP011()(222)22 2122SPQOBOP（3）当EFGD运动到点F在AB上时，如图，2 22t当02 22t，如图，222 21Stt当2 222t 时，如图，214 232St当22t时，如图，24 22Stx yC D O G P A Q F E B N M x yG A E M B C N F P Q D O x yE C M K B F P A O D N G x yK C G D O P H N M B F A 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 35 页 - - - - - - - - - 9(山西省临汾市)2 6. 如图所示， 在平面直角坐标系中，M 经过原点 O ，且与x轴、y轴分别相交于( 6 0)(08)AB，两点（1）请求出直线AB的函数表达式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点 C 在M 上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；（ 3） 设 （ 2） 中 的 抛 物 线 交x轴 于 DE，两 点 ， 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点P， 使 得115PDEABCSS？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）设直线AB的函数表达式为(0)ykxb k，直线AB经过( 6 0)(08)AB，由此可得60,8.kbb解得4,38.kb直线AB的函数表达式为483yx（2）在 RtAOB中，由勾股定理，得22226810ABAOOB，M经过 OAB， ，三点，且90AOB ，AB为M 的直径，半径5MA，设抛物线的对称轴交x轴于点 N ，MNx，由垂径定理，得132ANONOA在RtAMN中，2222534MNMAAN，541CNMCMN，顶点C的坐标为( 31)，设抛物线的表达式为2(3)1ya x，它经过(08)B，把0 x，8y代入上式，得28(03)1a，解得1a，抛物线的表达式为22(3)168yxxx（3）如图，连结AC，BC，11115 353152222ABCAMCBMCSSSMC ANMC ON在抛物线268yxx中，设0y，则2680 xx，解得12x，24xDE，的坐标分别是( 4 0)，( 2 0)，A B C D E x y M O E 2P1()P3PNA B C D x y M O 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 35 页 - - - - - - - - - 2DE；设在抛物线上存在点()P xy，使得111511515PDEABCSS，则112122PDESDEyy，1y，当1y时，2681xx，解得123xx，1( 31)P，；当1y时，2681xx，解得132x，232x，2( 32)P，-1，3( 32)P，-1综上所述，这样的P点存在，且有三个，1( 31)P，2( 32)P，3( 321)P，10(沈阳市) 26已知抛物线yax2 bxc 与 x 轴交于 A、B两点，与y 轴交于点C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（ OB0)个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E点，如图，求 AEC 的面积 S关于 k 的函数解析式. （第 28 题图）ABCDxyOE（第 28 题备用图）ABCDxyOE图C（1，-3）A （2，-6）B D O x E y 图C （1+k， -3）A （2，-6）B D O x Ey 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 35 页 - - - - - - - - - 解（ 1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作 EO x 轴，垂足O ABEO DC,EODOEOBOABDBCDDB又 DO+ BO= DB1EOEOABDCAB=6，DC=3， EO=2又DOEODBAB，2316EODODBABDO= DO，即 O与 O 重合， E 在 y 轴上方法二：由D（1，0）， A（-2，-6），得 DA 直线方程： y=2x-2再由 B（-2，0）， C（ 1，-3），得 BC 直线方程： y=-x-2 联立得02xyE 点坐标（ 0，-2），即 E 点在 y 轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a 0) 过 A（-2，-6）， C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 E Fx 轴垂足为F。同（ 1）可得：1E FE FABDC得： EF=2 方法一：又 EFABE FDFABDB，13DFDBSAE C= SADC- SE DC=11122223DCDBDCDFDCDB=13DCDB=DB=3+ kS=3+k 为所求函数解析式方法二： BADC， SBCA=SBDASAEC= SBDE1132322BDE FkkS=3+k 为所求函数解析式. 证法三： SDECSAEC=DEAE= DCAB=12 同理： SDECSDEB=12,又 SDECSABE=DC2AB2=14 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 35 页 - - - - - - - - - 2213992AE CABCDSSABCDBDk梯形S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （1）求点 A 的坐标；（2）设过点 A 的直线 yxb 与 x 轴交于点B.探究：直线 AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接 BC，记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为 S2，若421hSS，抛物线yax2 bxc 经过 B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. 解（1）解：由已知AM 2，OM 1，在 RtAOM 中， AO 122OMAM，点 A 的坐标为A（0， 1）（2）证：直线yx b 过点 A（0，1） 10b 即 b1yx 1 令 y0 则 x 1B（1，0），AB2112222AOBO在 ABM 中， AB2，AM 2，BM 2 222224)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形，BAM 90直线 AB 是 M 的切线（3）解法一：由得BAC 90 ，AB2，AC 22，BC 10)22()2(2222ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC，25)210()2(221BCS而2)222()2(222ACS421hSS，5,4225hh即A B C D x M y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 35 页 - - - - - - - - - 设经过点 B（1，0）、 M （1，0）的抛物线的解析式为：ya（ 1）（ x1），（ a0 ）即 yax2a， a 5， a 5 抛物线的解析式为y5x2 5 或 y 5x25 解法二：（接上）求得 h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、 M（1、0），则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5）抛物线的解析式为ya（x 0）2 5 又 B（ 1,0）、 M（1,0）在抛物线上，a 50， a 5 抛物线的解析式为y5x25 或 y 5x25 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为y ax2bxc（a0 ）由已知得5055c0b5544002cbaaabaccbacba或解得抛物线的解析式为y5x25 或 y 5x25. 3.(2004 湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心， 2 为半径作圆，交 x 轴于A、B 两点，抛物线)0(2acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在P上. (1)求 P上劣弧AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解（ 1）如图，连结PB，过 P 作 PM x 轴，垂足为M. 在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, MPB60 ， APB 120AB的长342180120（2）在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB MA 3. 又 OM=1 ， A（13，0）， B（13， 0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上，则 C(1， 3). 点 A、B、 C 在抛物线上，则A B C O x y P （1，1）A B C O x y P（1，1）M 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 35 页 - - - - - - - - - cbacbacba3)31()31 (0)31 ()31 (022解之得221cba抛物线解析式为222xxy（3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC OD. 又 PCy 轴，点D 在 y 轴上， OD2，即 D（0， 2） . 又点 D（0， 2）在抛物线222xxy上，故存在点D（ 0， 2），使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4.（2004 湖北襄樊） 如图， 在平面直角坐标系内，RtABC 的直角顶点C（ 0，3）在y轴的正半轴上， A、B 是x轴上是两点，且OAOB 31，以 OA、OB 为直径的圆分别交AC于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在 AOC 中，设点M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问：在x轴上是否存在点P，使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 解(1)在 RtABC 中， OCAB， AOC COB. OC2OA OB. OAOB3 1,C(0,3), 2( 3)3.OB OBOB1.OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为2.yaxbxc则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为23233.33yxx(2)EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结O1E、OE、OF. ECF AEO BFO90 , A y x B E F O1Q O O2C B A E F O1Q O O2y x 2 1 3 4 M P C 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 35 页 - - - - - - - - - X O P D C A B Y 四边形 EOFC 为矩形 . QEQO. 1 2. 3 4,2+4 90 ，EF 与 O1相切 . 同理： EF 理 O2相切 . (3)作 MPOA 于 P，设 MNa,由题意可得MPMNa. MNOA, CMN CAO. .MNCNAOCO3.33aa解之，得3 33.2a此时，四边形OPMN 是正方形 . 3 33.2MNOP3 33(,0).2P考虑到四边形PMNO 此时为正方形，点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴 上 存 在 点P使 得 PMN是 一 个 以MN为 一 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 且3 33(,0)2P或(0,0).P5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以 AC 为对角线的矩形 ABCD 内部 (不在各边上 )的个动点，点D 在 y 轴，抛物线yax2+bx+1 以 P 为顶点(1)说明点 A、C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线yax2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由；(3)设抛物线yax2+bx+1 与 x 轴有交点F、G(F 在 G 的左侧 )，GAO 与 FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗 ?若能，请求出 a、b 的值；若不能，请确定a、b 的取值范围(本题图形仅供分析参考用) 解（1） 由题意，A(0， 1)、 C(4， 3)确定的解析式为： y=21x+1. 将点 E 的坐标 E(415，823)代入 y=21x+1 中，左边 =823，右边=21415+1=823，左边 =右边，点E 在直线 y=21x+1 上，即点 A、C、E 在一条直线上 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 35 页 - - - - - - - - - 由方程组y=ax26ax+1 y=21x+1 得： ax2（ 6a+21）x=0 （2）解法一： 由于动点P在矩形 ABCD 内部， 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标， 而点 A与点 P 都在抛物线上，且P为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：抛物线y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为aba442，且 P在矩形 ABCD 内部，1aba4423，由 1 1ab42得ab420， a0，抛物线的开口向下. （3）连接GA 、FA， SGAO SFAO=3 21GOAO21FOAO=3 OA=1，GOFO=6. 设 F（x1,0）、 G（x2,0），则 x1、 x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，且x1 x2，又 a0， x1x2=a10， x10 x2，GO= x2，FO= x1， x2（ x1）=6，即 x2+x1=6， x2+x1= abab=6，b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax26ax+1, 其顶点P 的坐标为（ 3，19a）, 顶点 P 在矩形 ABCD 内部，119a3, 92a0. x=0 或 x=aa216=6+a21. 当 x=0 时，即抛物线与线段AE 交于点 A，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有： 06+a21415，解得：92 a121综合得：92a121 b= 6a，21b346.（2004 湖南长沙） 已知两点 O(0，0)、B(0，2)，A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、C，A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直线 l 与 A 切于点 O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求 A的半径；（2）若抛物线经过O 、C两点，求抛物线的解析式；（3）过l 上一点P 的直线与A 交于C、 E 两点，且PC CE，求点E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于 m 的函数解析式 . 解(1)由弧长之比为31，可得 BAO 90o再由 AB AOr，且 OB2，得 r2 (2)A的切线l过原点，可设l为ykx任取l上一点(b ，kb)，由l与y轴夹角为45o可得：bkb或bkb，得k1或k1，X G F O P D E C A B Y 0 x y 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 35 页 - - - - - - - - - 直线l的解析式为yx或yx 又由r2，易得C(2，0)或C(2，0) 由此可设抛物线解析式为yax(x2)或yax(x2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a1 抛物线为yx22x 或 yx22x6 分(3) 当l的 解 析 式 为y x时 ， 由P在l上 ， 可 设P(m ， m)(m 0) 过P作PP x轴 于P， OP |m| ， PP | m| ， OP 2m2，又 由 切 割 线 定 理 可 得 ： OP2 PC PE, 且PC CE ， 得PC PE m PP 7分 C与P 为 同 一 点 ， 即PEx轴 于C ， m 2 ， E( 2 ， 2)8 分同理，当l 的解析式为y x 时， m 2，E(2， 2) (4) 若C(2， 0)，此时l 为y x， P 与点O 、点C 不重合，m 0 且m 2，当m0时，FC2(2m)，高为|yp|即为m，S22(2)()22mmmm同 理 当0 m 2时 ， S m2 2m ； 当m 2时 ， S m2 2m ；S222 (02)2 (02)mm mmmmm或又若C(2，0)，此时 l 为 y x，同理可得； S222 (20)2( 20)mm mmmmm或7