广东省东莞市2021-2022高一上学期数学期末试卷及答案.pdf

20212022 学年度第一学期教学质量检查学年度第一学期教学质量检查 高一数学高一数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1. 已知集合2280Ax xx=，则AB =（ ） A. |2x x B. |02xx C. |04xx D. |24xx，则p为（ ） A. (0,)2，tansin B. (0,)2，tansin C. (0,)2，tansin D. (0,)2，tansin 3. 若0 xy，zR，则（ ） A. 33xy B. 11xy C. 22xzyz D. 22xy个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. 56 B. 512 C. 6 D. 12 6. 如图，质点M在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为013( ,)22M，角速度为 2，则点M到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ） .的 A. B. C. D. 7. 对于任意的实数x，定义 x表示不超过x的最大整数，例如6.126=，0.120=， 6.127= ，那么“1xy在区间 ,4t t +上的值域为 ,m M，对任意实数t都有4Mm，则实数a的取值范围是（ ） A 01a B. 1a C. 02a D. 4abc+ 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13. 8tan3等于_. 14. 声强级 L（单位：dB）由公式1210lg10=IL给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）. 声强级为 60dB的声强是声强级为 30dB 的声强的_倍. . 15. 若函数( )f x满足以下三个条件：( )f x定义域为 R且函数图象连续不断；( )f x是偶函数；( )f x恰有 3 个零点. 请写出一个符合要求的函数( )f x =_. 16. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 2，点 M 为线段 CD 的中点. 现把正方形纸按照图 2进行折叠，使点 A与点 M 重合，折痕与 AD交于点 E，与 BC 交于点 F. 记MEF=，则sin()4+=_. 四、解答题四、解答题: 本大题共本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22题各题各 12 分，共分，共 70分分. 解解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效内，超出指定区域的答案无效 17. 已知集合 |,2kAx xk=Z， |,2Bx xnn=+. （1）分别判断元素2，20212与集合 A，B 的关系； （2）判断集合 A与集合 B的关系并说明理由. 18. 已知tan2=，(0,)2. （1）求sincos； （2）若5cos()5+= ，(0,)2，求cos，并计算sin2cos()21tan+. 19. 给定函数2( )2f xxx=，( )2g xx=，xR ，用( )M x表示( )f x，( )g x中的较大者，记为( )max ( ), ( )M xf x g x=. （1）求函数( )yM x=的解析式并画出其图象； （2）对于任意的2,)x+，不等式( )(2)1M xax恒成立，求实数a的取值范围. 20. 已知函数2( )(0)21xf xaa=+的图象在直线1y =的下方且无限接近直线1y =. （1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明） ，并求函数解析式； （2）判断函数的奇偶性并用定义证明； （3）求函数( )f x的值域. 21 已知函数( )2cossin3cos2f xxxx=+，其中0. （1）若函数( )f x的周期为，求函数( )f x在,3 6 上的值域； （2）若( )f x在区间2,36 上为增函数，求的最大值，并探究此时函数2( )lg()yf xx=的零点个数. 22. 如图，已知直线1l/2l，A是直线1l、2l之间的一定点，并且点A到直线1l、2l的距离分别为 1、2，垂足分别为 E、D，B是直线2l上一动点，作ACAB，且使AC与直线1l交于点C. 试选择合适的变量分别表示三角形ABC的直角边和面积 S，并求解下列问题： （1）若ABC为等腰三角形，求CE和BD的长； （2）求ABC面积 S 的最小值. . 20212022 学年度第一学期教学质量检查学年度第一学期教学质量检查 高一数学高一数学 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 40 分分. 在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 1. 已知集合2280Ax xx=，则AB =（ ） A. |2x x B. |02xx C. |04xx D. |24xx 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合 A，再由集合的交运算求AB即可. 【详解】由228(2)(4)0 | 24Ax xxxxxx=+= ， |04ABxx=，则p为（ ） A. (0,)2，tansin B. (0,)2，tansin C. (0,)2，tansin D. (0,)2，tansin 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定定义可得. 【详解】根据全称命题的否定，p：(0,)2，tansin. 故选：C. 3. 若0 xy，zR，则（ ） A. 33xy B. 11xy C. 22xzyz D. 22xy 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式的性质判断 A、B、D 的正误，应用特殊值法0z =的情况判断 C的正误. 【详解】由0 xy，则33xy，B错误；22xy，D错误. 当0z =时，22xzyz=，C错误； 故选：A. 4. 已知扇形的面积为16，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（ ） A 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为 ，半径为 r， 则由题意可得21162r= 3232222 2 232rrrrrr+=+=， 当且仅当322rr=时 , 即 4,2r=时取等号， 当扇形的圆心角为 2时 , 扇形的周长取得最小值 32. 故选：B. 5. 若函数( )sin 23f xx=+图象上所有点的横坐标向右平移(0) 个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. 56 B. 512 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 由题设可得()f x=cos(22 )6x， 根据已知对称性及余弦函数的性质可得26k+=，即可求的最小值. 【 详 解 】 由 题 设 ，()sin(22 )cos(22 )cos( 22 )3236f xxxx=+=+=+=cos(22 )6x关于y轴对称， . 26k+=且kZ，则212k=，kZ，又0， 的最小值为512. 故选：B. 6. 如图，质点M在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为013( ,)22M，角速度为 2，则点M到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角速度先求出0d =时，t的值，然后利用单调性进行判断即可 【详解】因为03xOM=， 所以由23t=，得6t=，此时0d =，所以排除 CD， 当06t 时，d越来越小，单调递减，所以排除 B， 故选：A 7. 对于任意的实数x，定义 x表示不超过x的最大整数，例如6.126=，0.120=， 6.127= ，那么“1xy”是“ xy=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要性分别判断即可. 【详解】若 xy=，则可设 xya=，则xab=+，yac=+，其中),0,1b c， xybc =，1xy，即“ xy=”能推出“1xy”； 反之，若1.2x =，2.1y =，满足1xy，但 1x =， 2y =，即“1xy”推不出“ xy=”， 所以“ xy=”是“1xy在区间 ,4t t +上的值域为 ,m M，对任意实数t都有4Mm，则实数a的取值范围是（ ） A. 01a B. 1a C. 02a D. 2a 【答案】D 【解析】 【分析】根据( )f x关于1xa= 对称，讨论1a与 ,4t t +的关系，结合其区间单调性及对应值域求a的范围. 【详解】由题设，11,( )111,faxxaaxaxxxa 时，( )1(4)41f tatmf tataM=+ =+=+ =，则44a ，可得1a ； 当14ta+，0a 讨论a的取值范围，利用排除法解决. 【详解】0a =，( )(0)af xxx xx=+=，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A选项错误；0a 时，由对勾函数的性质可知 B选项正确. 故选：BC. 10. 图中阴影部分的集合表示正确的是（ ） A. ()UNM B. ()UMN C. ()UMNN D. () ()UUMN 【答案】AC 【解析】 【分析】利用韦恩图的意义直接判断即可. 【详解】由已知中阴影部分在集合 N中，而不再集合 M中， 故阴影部分所表示的元素属于 N，不属于 M（属于 M 的补集） ， 即可表示为()UNM 或()UMNN. 故选：AC 11. 已知函数( )sin|cos|f xxx=+，则下列结论正确的是（ ） A. ( )f x为偶函数 B. ( )f x的周期为2 C. ( )f x在,2上单调递减 D. ( ) 1yf x=在,2 2 上有 3个零点 【答案】AD 【解析】 【分析】A 由奇偶性定义判断；B 求(2)fx+的解析式，判断与( )f x是否相等；C 由条件可得( )2sin()4f xx=，结合正弦函数性质判断单调性；D由题设得2cos() 1,042( ) 12sin() 1,042xxyf xxx+= =+， 根据正余弦函数的性质画出图象， 数形结合判断零点个数. 【详解】 A：()sin |cos()| sin|cos|( )fxxxxxf x=+=+=且定义域为 R， 即( )f x为偶函数， 正确； B：sin|cos|,2(2)sin |2|cos(2)|( )sin|cos|,2xxxfxxxf xxxx+ +=+=+ ，错误； C：在,2上( )sin |cos| sincos2sin()4f xxxxxx=+=，又3,444x，故( )f x在,2上不单调，错误； D：在,2 2 上sincos12cos() 1,042( ) 1sincos12sin() 1,042xxxxyf xxxxx+ =+ D. 4abc+ 【答案】BD 【解析】 【分析】为将正数, ,a b c“提取”出来分析，需要进行取对数操作，利用换底公式得到, ,a b c的等量关系从而判断 AB，利用作差法和基本不等式可判断 CD. 【详解】设236abct=，, ,a b c是正数，于是1t ，两边同时取自然底的对数，得到 lnlnln,ln2ln3ln6tttabc=，也即236log,log,logat bt ct=，abc+=不一定成立，A选项错误；111log 2,log 3,log 6tttabc=，111log 2log 3log 6tttabc+=+=，B选项正确；2ln3ln6ln2,3,6ln2ln3ln6tttabc=，故只需比较236,ln2 ln3 ln6的大小即可，而 232ln33ln2ln9ln80ln2ln3ln2ln3ln2ln3=，又ln0t ，于是23ab，C选项错误；1144lnln2ln3ln6abct+=+，而根据基本不等式可得 ()11ln2ln3ln2 ln3ln2ln31 1224ln2ln3ln3ln2ln3 ln2+= + +=，即11ln64ln2ln3+，故1140ln2ln3ln6+，故4abc+，D 选项正确. 故选：BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上 13. 8tan3等于_. 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用诱导公式即可求解. 【详解】由诱导公式得： 8tantan 3tantan33333= = . 故答案为：3. 14. 声强级 L（单位：dB）由公式1210lg10=IL给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）. 声强级为 60dB的声强是声强级为 30dB 的声强的_倍. 【答案】1000 【解析】 【分析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求 60dB、30dB对应的声强，即可得结果. 【详解】由题设，601210lg()6010I=，可得66010I=， 301210lg()3010I=，可得93010I=， 声强级为 60dB的声强是声强级为 30dB 的声强的60301000II=倍. 故答案为：1000. 15. 若函数( )f x满足以下三个条件：( )f x定义域为 R且函数图象连续不断；( )f x是偶函数；( )f x 恰有 3 个零点. 请写出一个符合要求的函数( )f x =_. 【答案】22,0( ),0 xx xf xxx x=+（答案不止一个） 【解析】 【分析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可. 详解】函数22,0( ),0 xx xf xxx x=+时，0 x ，所以有22()()()( )fxxxxxf x= + =， 当0 x ，所以有22()()()( )fxxxxxf x= =+=，因此该函数是偶函数，所以满足 当0 x 时，2( )00f xxxx=，或1x =， 当0 x 时，2( )01f xxxx=+= ，或0 x =舍去，所以该函数有 3个零点，满足， 故答案为：22,0( ),0 xx xf xxx x=+ 16. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 2，点 M 为线段 CD 的中点. 现把正方形纸按照图 2进行折叠，使点 A与点 M 重合，折痕与 AD交于点 E，与 BC 交于点 F. 记MEF=，则sin()4+=_. 【答案】3 1010 【解析】 【分析】设DEx=，则12DMEMEAx=，利用勾股定理求得34x =，进而得出 54EM =，根据正弦函数的定义求出sinDEM，由诱导公式求出sin2，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可. 【详解】设DEx=，则12DMEMEAx=， 【 在RtDEM中，90D=，所以222DEDMEM+=， 即2221(2)xx+=，解得34x =，所以54EM =， 所以在RtDEM中，4sin5DMDEMEM=， 则4sin2sin()sin5DEMDEM=， 又23 5sincos(sincos ) = 12sincos = 1 sin25+=+=， 所以23 10sin()(sincos )4210+=+=. 故答案为：3 1010 四、解答题四、解答题: 本大题共本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，分，18、19、20、21、22题各题各 12 分，共分，共 70分分. 解解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效内，超出指定区域的答案无效 17. 已知集合 |,2kAx xk=Z， |,2Bx xnn=+. （1）分别判断元素2，20212与集合 A，B 的关系； （2）判断集合 A与集合 B的关系并说明理由. 【答案】 （1）2A，2B，20212A，20212B； （2）BA，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据集合的描述，判断是否存在,Zk n使2，20212属于集合 A，B即可. （2）法一：由（1）结论，并判断xB 是否有xA，即知 A与 B 的关系；法二：A=x|x是2的整数倍，B=x|x 是2的奇数倍，即知 A与 B 的关系； 【小问 1 详解】 法一：令22k=，得4k = Z，故2A； 令22n=+，得52n = Z，故2B. 同理，令202122k=，得2021k =Z，故20212A； 令202122n=+，得1010n =Z，故20212B. 法二：由题意得： |,2kAx xk=Z，(21) |,2nBx xn+= 又422=，故2A，2B； 20212A，(2 10101)2B+. 【小问 2 详解】 法一：由（1）得：2A，2B，故AB； 又xB ，00(21)22nxn+=+=， 由0n Z，得021kn=+ Z，故xA， 所以xB ，都有xA，即BA，又AB， 所以BA. 法二：由题意得 |,2kAx xk=Z=x|x是2的整数倍， (21) |,2nBx xn+=x|x 是2的奇数倍， 因为奇数集是整数集的真子集， 所以集合 B是集合 A 的真子集，即BA. 18. 已知tan2=，(0,)2. （1）求sincos； （2）若5cos()5+= ，(0,)2，求cos，并计算sin2cos()21tan+. 【答案】 （1）25 （2）3cos5=，1225 【解析】 【分析】 （1）利用同角三角函数的关系可得. （2）将写成()+，再用两角差的余弦求解；由cos可求sin,tan，先化简再代入求解. 【小问 1 详解】 22sintan2cossincos1=+=，且(0,)2， 解得2 5sin5=，5cos5=， 所以2 552sincos555=. 【小问 2 详解】 因(0,)2，(0,)2，所以(0, )+， 所以22 5sin1co)5)s (+=+=， 所以coscos()cos()cossin()sin=+=+ 552 52 5355555= +=. 因为3cos5=，(0,)2，所以4sin5=，4tan3=， 所以sin2cos()21tan+2sincossin1tan= 43421255542513= . 19. 给定函数2( )2f xxx=，( )2g xx=，xR ，用( )M x表示( )f x，( )g x中的较大者，记为( )max ( ), ( )M xf x g x=. （1）求函数( )yM x=的解析式并画出其图象； （2）对于任意的2,)x+，不等式( )(2)1M xax恒成立，求实数a的取值范围. 为 【答案】 （1）22,12,( )2 ,(,12,).xxM xxx=+，作图见解析； （2）(5, 2. 【解析】 【分析】 （1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可； （2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可. 【小问 1 详解】 当222xxx即12x时，( )( )f xg x，则( )2M xx=， 当222xxx即1x 或2x 时，( )( )g xf x，则2( )2M xxx=， 故22,12,( )2 ,(,12,).xxM xxx即4a 时，2( )1h xxax=+在2,2a上单调递减，在,)2a+上单调递增， 则( )2min124aah xh= ，由4a 时，2104a+的图象在直线1y =的下方且无限接近直线1y =. （1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明） ，并求函数解析式； （2）判断函数的奇偶性并用定义证明； （3）求函数( )f x的值域. 【答案】 （1）函数2( )2 +1xf xa=在R上单调递增，2( )12 +1xf x = （2）奇函数，证明见解析 （3）( 1,1) 【解析】 【分析】 （1）根据函数的单调性情况直接判断； （2）根据奇偶性的定义直接判断； （3）由奇偶性直接判断值域. 【小问 1 详解】 因为随着x增大，22 +1x减小，即22 +1x增大，故( )f x随x增大而增大，所以函数2( )2 +1xf xa=在R上单调递增. 由( )f x的图象在直线1y =下方，且无限接近直线1y =，得1a =， 所以函数的解析式2( )12 +1xf x = . 【小问 2 详解】 由（1）得2( )12 +1xf x = ，整理得21( )2 +1xxf x=， 函数( )f x定义域R关于原点对称，211 221()( )211221xxxxxxfxf x= = +， 所以函数( )f x是奇函数. 小问 3 详解】 方法一：由（1）知( )1f x ， 所以函数( )f x的值域为( 1,1). 方法二：由xR，得20 x，得211x+ ，得10121x+，得22021x +，得21 1121x +. （1）若函数( )f x的周期为，求函数( )f x在,3 6 上的值域； （2）若( )f x在区间2,36 上为增函数，求的最大值，并探究此时函数2( )lg()yf xx=的零点个数. 【答案】 （1）3,2 （2）最大值为12，6个 【解析】 【分析】(1)根据正弦的二倍角公式和辅助角公式可得( )f x2sin(2)3x=+，利用2T=求出，进而求出( )f x，结合三角函数的性质即可得出结果； (2)利用三角函数的性质求出( )f x的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出；将问题转化为函数sin()3yx=+与lg|yx=的图象交点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案. 【小问 1 详解】 由( )2cossin+ 3cos2f xxxx=sin2+ 3cos2xx=2sin(2)3x=+， 由( )f x周期为且0，得22=，解得1=，即( )2sin(2)3f xx=+， 由36x，得22333x+， 故32sin(2)26x+， 【 所以函数( )f x在,3 6 上的值域为3,2. 【小问 2 详解】 因为sinyx在区间2,2()22kkk+Z上单调递增， 故( )2sin(2)3f xx=+在区间5,()1212kkk+Z上为单调递增 由题知，存在kZ使得25,361212kk +成立，则必有0k = 则52123612 ，解得5812，故12，所以的最大值为12. 当12=时，函数22sin()lg()3yxx=+的零点个数转化为函数sin()3yx=+与lg|yx=的图象的公共点的个数. 画图得： 由图知sin()3yx=+与lg|yx=的图象的公共点的个数共 6 个， 即22sin()lg()3yxx=+的零点个数为 6个. 22. 如图，已知直线1l/2l，A是直线1l、2l之间的一定点，并且点A到直线1l、2l的距离分别为 1、2，垂足分别为 E、D，B是直线2l上一动点，作ACAB，且使AC与直线1l交于点C. 试选择合适的变量分别表示三角形ABC的直角边和面积 S，并求解下列问题： （1）若ABC为等腰三角形，求CE和BD的长； （2）求ABC面积 S最小值. 【答案】 （1）1BD =，2CE =； （2）2. 【解析】 【分析】 （1）根据相似三角形的判定定理和性质定理，结合等腰三角形的性质、勾股定理进行求解即可； （2）根据直角三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【小问 1 详解】 由点A到直线1l、2l的距离分别为 1、2，得 AE=1、AD=2， 由ACAB，得2BAC=，则2EACDAB+ =， 由题意得，在RtDBA中，2DABDBA+ =，从而EACDBA= ， 由EACDBA= 和2AECBDA= =，得EAC DBA，则AECEBDAD=， 即1 22BD CEAE AD= =， 在RtEAC中，2221ACAECECE=+=+， 在RtDBA中，2224ABADBDBD=+=+， 由ABC为等腰三角形，得ACAB=， 则2241BDCE+=+且2BD CE=，故1BD =，2CE =. 【小问 2 详解】 由2BD CE=，21ACCE=+，24ABBD=+，得在Rt ABC中， 222211121414()222SAC ABCEBDCECE=+=+ 22221414444824222CECECECE=+=， 当且仅当2244CECE=即1CE =时等号成立， 故ABC面积 S的最小值为 2. 的