2011年全国高考2卷理科数学试题及其规范标准答案.doc

*-2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1.复数，为z的共轭复数，则 (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i 2. 函数的反函数为 (A) (B) (C) (D) 3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 (A) (B) (C) (D) 4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 (A) (B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于 (A) (B) (C) (D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 (A) (B) (C) (D) 19.设是周期为2的奇函数，当时，则 (A) (B) (C) (D) 10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则 (A) (B) (C) (D) 11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为 (A) (B) (C) (D) 12. 设向量满足，则的最大值等于 (A) 2 (B) (C) (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .14. 已知，则 .15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则 .16. 已知点E、F分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C 18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。 （）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1. （）证明：; （）求AB与平面SBC所成的角的大小。20.（本小题满分12分）设数列满足 （）求的通项公式； （）设，记，证明：。21.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足 （）证明：点P在C上； （）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。22.（本小题满分12分） （）设函数，证明：当时， （）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学试题参考答案（不是标准答案）一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分1B2B3A4D5C6C7B8D9A10D 11. D 12. A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分20分13 0 14 156 16三、解答题：本大题共6小题，共70分17.（本小题满分10分）解：由，得故，由，故，又显然，故，再由，解得：，于是18.（本小题满分12分）解：（）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3故，所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为 （）由（）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为显然，X服从二项分布，即,所以X的期望为2019.（本小题满分12分）（）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ，易算得：，又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，所以,于是,所以（）设点A到平面SBC的距离为d，因为，所以,从而,因而可以算得：，又，故又因为,所以点C到平面SAB的距离为另外，显然，所以得：设AB与平面SBC所成的角为，则，即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）20.（本小题满分12分）解：（）由得：数列是等差数列，首项为故，从而 （）所以21.（本小题满分12分）（）证明：易知：，故：，代入椭圆方程得：，设，则，因为所以，将此坐标代入椭圆：，所以点P在C上。（）由（）：及，得，因为，所以于是可以算得：，,于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。22 .（本小题满分12分） 证明：（）时，于是在上单调增，所以（） （共有对数相乘）由（），时，也有，故在上单调增，所以即即，两边同时取的对数得：综上所述：