2022年全国各地中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特殊角 .pdf

学习必备欢迎下载锐角三角函数与特殊角一选择题1 （2013 兰州， 9，3 分）ABC 中， a、b、c 分别是 AB、C 的对边， 如果 a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）AcsinA=aBbcosB=cCatanA=bD ctanB=b考点 ：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义分析： 由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到ABC 是直角三角形，且C=90 ，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项解答： 解： a2+b2=c2， ABC 是直角三角形，且C=90 AsinA=，则 csinA=a故本选项正确；BcosB=，则 cosBc=a故本选项错误；CtanA=，则=b故本选项错误；DtanB=，则 atanB=b故本选项错误故选 A点评： 本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可2 （ 2013 湖北孝感， 8， 3 分） 式子的值是（）AB0CD2考点 ： 特 殊角的三角函数值分析：将 特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案解答：解：原式 =2 1（1）=1+1 =0故选 B点评：本 题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容3 . 2013 湖南邵阳，9， 3 分 在ABC 中， 若sinA - 12+(cosB - 12)2=0， 则 C 的度数是 ( ) A30B45C60D90知识考点： 特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载审题要津： 根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0 可分别求出 A、B的角度数，从而求出C 的度数 .满分解答：解： 由题意知sinA - 12=0，cosB - 12=0， 解得 sinA=12，cosB=12. 所以 A=45，B= 45. 故 C= 180 - A- B= 180 -45- 45=90 . 故选 C.名师点评： 本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键. 4 （ 2013?东营， 5，3 分） 将等腰直角三角形AOB 按如图所示放置，然后绕点O 逆时针旋转 90 至A OB的位置，点B 的横坐标为2，则点A的坐标为（）A(1，1) B(2,2) C(1，1) D(2,2) 答案： C 解析：在Rt AOB中，2OB，45AOB，OAAOBOB，所以2cos222OAOBAOB，所以2OA，过A作A Cy轴于点 C，在Rt A OC，45A OC，2OA，sinA CA OCA O，2sin212A CA OA OC，又因为 O1AC，且点A在第二象限，所以点A的坐标为（ 1， 1） 5.（2013 杭州 3 分）在 Rt ABC 中，C=90 ，若 AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）ABCD【解析】根据题意画出图形，如图所示，在 Rt ABC 中， AB=4，sinA=，BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC=3.2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载SABC=AC?BC=AB? CD，CD=【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6. （2013?衢州 3 分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度她站在B 处仰望树顶，测得仰角为 30 ，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60 ，已知小敏同学身高（AB）为 1.6m，则这棵树的高度为（） （结果精确到0.1m， 1.73） A3.5m B3.6m C4.3m D5.1m 【答案】 D【解析】设CD=x ，在 RtACD 中， CD=x ， CAD=30 ，则 AD=x，在 RtCED 中， CD=x ， CED=60 ，则 ED=x，由题意得， AD ED=xx=4，解得： x=2，则这棵树的高度=2+1.6 5.1m【方法指导】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度7.（2013 四川乐山， 6，3 分） 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2yx上，第二象限的点 B 在反比例函数kyx上，且 OAOB，3cosA=3，则 k 的值为【】A 3B 6C 4D2 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载8 （ 2013 重庆市， 6， 4分） 计算 6tan45 2cos60 的结果是（）A 4 3B4 C 5 3D5 【答案】 D【解析】 6tan45 2cos60 612125【方法指导】 本题考查特殊锐角三角函数值熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提9. (2013 湖南邵阳 ,9,3分) 在ABC 中，若0)21(cos21sin2BA,则 C 的度数是( ) A30B45C60D90【答案】：D【解析】：0)21(cos21sin2BA，21cos;21sinBA; A=30 ， B=60 ，则 C=180 30 60 =90 故选 D【方法指导】 ：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容根据绝对值及完全平方的非负性，可求出Asin、Bcos的值，继而得出A、 B 的度数，利用三角形的内角和定理，可求出C的度数10 （2013 重庆， 9，4 分）如图，在ABC 中， A=45 ， B=30 ，CDAB，垂足为D，CD=1，则 AB 的长为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载A2 B32C133D13【答案】 D 【解析】在Rt ACD 中， ADC=90 ， A=45 ， ACD=A=45 ， AD= CD=1在 RtBCD 中，BDC=90 ， B=30 ， BD=330tan1tan BCD， AB=AD+BD=31，故选 D【方法指导】 本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：caAsin，则 ac sinA，cAasin；cbAcos，则bc cosA，cAbcos；baAtan，则 abtanA；Aabtan11 (2013 湖北荆门 ， 11， 3 分)如图，在半径为 1 的 O 中， AOB45 ， 则 sinC 的值为 ( ) A22B222C222D24【答案】 B 【解析】 如图 2，过点 B 作 BDAC 于 D，OB1，AOB 45，BDOD22AD122在 Rt ABD 中， AB22ADBD2222(1)()2222sinCABAC222故选 BA D B C （第 9 题图）ABCO45(第 11 题) ABCO45图 2 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载【方法指导】AOB2C， C22.5 此题说明sin22.5 222不难得出cos22.5 222，tan22.5 22222112.（2013 深圳， 11，3 分） 已知二次函数2(1)ya xc的图像如图2 所示，则一次函数yaxc的大致图像可能是（）【答案】 A【解析】 由二次函数图像知，抛物线开口向上，则0a ，因抛物线的顶点(1,)c在第四象限，则0c；据此，一次函数yaxc中，因0a，则图像自左向右是“ 上升 ”的，先排除C、D。又0c，则一次函数的图像与y轴的正半轴相交，故B 错误，A 正确。【方法指导】 考查一次函数数、 二次函数的系数与图像间的关系，函数相关系数的几何意义，考查学生数形结合的能力和转化思想、观察判断能力， 综合考查一次函数和二次函数的相关性质， 虽说难度不是太大，但也具有一定的综合性，需要全面仔细的考虑，对相关知识熟练无误。二填空题1 （ 2013 贵州安顺， 14，4 分）在 RtABC 中， C=90 ，BC=8，则 ABC 的面积为考点 ：解直角三角形专题 ：计算题分析： 根据 tanA 的值及 BC 的长度可求出AC 的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答： 解： tanA=，AC=6 ， ABC 的面积为 6 8=24故答案为： 24点评： 本题考查解直角三角形的知识，比较简单， 关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积图 2 xyOxyOxyOxyOxyOA B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载2 （ 2013 湖北孝感， 15，3 分） 如图，两建筑物的水平距离BC 为 18m，从 A 点测得 D 点的俯角 为 30 ，测得 C 点的俯角 为 60 则建筑物CD 的高度为12m（结果不作近似计算）考点 ： 解 直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首 先过点 D 作 DE AB 于点 E，可得四边形BCDE 是矩形，然后分别在Rt ABC 与Rt ADE 中，利用正切函数的知识，求得AB 与 AE 的长，继而可求得答案解答：解 ：过点 D 作 DE AB 于点 E，则四边形BCDE 是矩形，根据题意得：ACB= =60 ， ADE= =30 ， BC=18m， DE=BC=18m ，CD=BE ，在 Rt ABC 中， AB=BC ?tanACB=18 tan60 =18（m） ，在 Rt ADE 中， AE=DE ?tanADE=18 tan30 =6（m） ， DE=BE=AB AE=186=12（ m） 故答案为： 12点评：本 题考查俯角的知识此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用3 （ 2013鞍山， 13，2 分） ABC 中， C90 ，AB 8，cosA，则 BC 的长考点：锐角三角函数的定义；勾股定理分析：首先利用余弦函数的定义求得AC 的长，然后利用勾股定理即可求得BC 的长解答：解： cosA， AC AB ?cosA8 6， BC 2故答案是： 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边4. 2013 杭州 4 分 ） 在 RtABC 中， C=90 ， AB=2BC， 现给出下列结论： sinA=； cosB=；tanA=； tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号【答案】【解析】如图所示：在RtABC 中， C=90 ，AB=2BC，sinA=，故 错误； A=30 ， B=60 ，cosB=cos60 =，故 正确； A=30 ，tanA=tan30 =，故 正确； B=60 ，tanB=tan60 =，故 正确【方法指导】 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键5（2013 四川内江， 22，6 分） 在ABC 中，已知 C=90 ，sinA+sinB= ，则 sinAsinB= 考点 ：互余两角三角函数的关系分析： 根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB 平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA 代入求出 2sinAcosA 的值，代入即可求解解答： 解： （sinA+sinB ）2=（）2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载sinB=cosA ，sin2A+cos2A+2sinAcosA=，2sinAcosA=1=，则（ sinAsinB）2=sin2A+cos2A 2sinAcosA=1 =，sinAsinB= 故答案为： 点评： 本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键6. （2013 浙江台州， 14，5 分）如图，在O 中，过直径AB 延长线上的点C 作 O 的一条切线，切点为D，若 AC=7 ，AB=4 ，则 sinC 的值为【答案】：52【解析】连结OD ， AB=4 ，则 OA=OB=OC=2，OC=5 ，由于 CD为 O 的切线，则 ODC=90，sinC=25ODOC。【方法指导】 本题考查切线的性质、三角函数的计算等知识点，其中连结半径OD 是解决切线问题中的常用辅助线，从而构造直角三角形，解决三角函数问题。7 (2013 浙江湖州 ,12,4分)如图，已知在RtACB中，C90，AB13，AC12， 则c o s B的值为 _A B O C D 第 14 题A B O C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载【答案】513【解析】在RtACB中， C90，所以BC=222213125ABAC，所以5cos13BCBAB，故填513。【方法指导】本题考查了勾股定理和锐角三角函数。先利用勾股定理求出BC的长度，然后再根据余弦的定义求出cosB的值。8. （2013 四川南充， 12， 4 分） 如图，正方形ABCD 的边长为2 2，过点 A 作 AEAC，AE=1，连接 BE，则 tanE=【答案】：23【解析】设AD 与 BE 交于点M，AC 与 BE 交于点N，易知 MAN BCN，进而得到ANAMCNCB，再过 E 作 EFBA 交 BA 的延长线于F，可得 EF=AF= 22，再根据 BMA BEF 得MABAEFBF，即2 2222 222MA，解得 MA= 225，所以ANCN= 2 21552 2，由题知 AC=4，则145ANAN，解得 AN= 23，因此 tanE=23. 【方法指导】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义.准确的找出相似三角形及其对应线段是本题的突破口，也是难点，难度较大. 三解答题1 （ 2013 贵州安顺， 19，6 分）计算： 2sin60 +2120130 |1| 考点 ：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值专题 ：计算题分析： 本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等四个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载解答： 解：原式 =2+ 1（1）=点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、负指数幂等考点的运算2. 2013?新疆 8 分）如图所示，一条自西向东的观光大道l 上有 A、B 两个景点， A、B 相距2km，在 A 处测得另一景点C 位于点 A 的北偏东60 方向，在 B 处测得景点C 位于景点B的北偏东45 方向，求景点C 到观光大道l 的距离（结果精确到0.1km）【 思 路 分 析 】 过 点C 作CDl于 点D ， 设CD=xkm 先 解 直 角 ACD ， 得 出AD=CD=xkm，再解直角 BCD ，得出 BD=CD=xkm ，然后根据ADBD=AB ，列出关于 x 的方程，解方程即可【解析】解：如图，过点C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm 在ACD 中， ADC=90 ，CAD=30 ，AD=CD=xkm在BCD 中， BDC=90 ， CBD=45 ，BD=CD=xkm AD BD=AB ，xx=2，x=+1 2.7（km） 故景点 C 到观光大道l 的距离约为2.7km【方法指导】 本题考查三角形知识的实际运用，难度适中， 通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键3. 2013 浙江丽水6 分）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=3m，斜面坡角为30 ，求木箱端点E 距地面 AC 的高度 EF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载4. （2013?宁波 7 分）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹如图，从位于天封塔的观测点 C 测得两建筑物底部A， B 的俯角分别为45 和 60 ， 若此观测点离地面的高度为51 米，A，B 两点在 CD 的两侧，且点A，D，B 在同一水平直线上，求A，B 之间的距离（结果保留根号）【思路分析】 在 RtACD 和 RtCDB 中分别求出AD，BD 的长度， 然后根据 AB=AD+BD即可求出 AB 的值【解析】由题意得，EAC=45 ， FCB=60 ，EFAB， CAD= ECA=45 ， CBD= FCB=60 ， ACD= CAD=90 ，在 RtCDB 中， tanCBD=，BD=17米，AD=CD=51 米，AB=AD+BD=51+17答： A，B 之间的距离为（51+17）米【方法指导】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形5 （ 2013 贵州省六盘水，22，10 分）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（）=sin coscosasin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载tan（）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值例： tan15 =tan（45 30 ）=根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题（1）计算： sin15 ；（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1） ，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图 2，小华站在离塔底A 距离 7 米的 C 处，测得塔顶的仰角为75 ，小华的眼睛离地面的距离 DC 为 1.62 米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度（精确到0.1 米，参考数据，）考点 ： 解 直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：（1）把 15 化为 45 30 以后，再利用公式sin（）=sin coscosasin计算，即可求出 sin15 的值；（ 2）先根据锐角三角函数的定义求出BE 的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论解答：解： （1）sin15 =sin（45 30 ）=sin45 cos30 cos45 sin30 = =；（ 2）在 RtBDE 中， BED=90 ， BDE=75 ， DE=AC=7 米， BE=DE ?tanBDE=DE ?tan75 tan75 =tan（45 +30 ） =2+， BE=7（2+）=14+7，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载 AB=AE+BE=1.62+14+7 27.7（米） 答：乌蒙铁塔的高度约为27.7 米点评：本 题考查了：（ 1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解（ 2）解直角三角形的应用仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE 的长是解题的关键6. (2013山东烟台， 20,6 分)如图一艘海上巡逻船在A 地巡航，这时接到B 地海上指挥中心紧急通知： 在指挥中心北偏西60o方向的 C 地有一艘渔船遇险，要求马上前去救援.此时 C地位于 A 地北偏西30方向上 A 地位于 B 地北偏调西75方向上 AB 两地之间的距离为 12 海里求AC 两地之间的距离. (参考数据：2l. 41，31.73，6245.结果精确到0.1) 【思路分析】ABC 不是直角三角形，可过点B 作 BDCA 交 CA 的延长线于点D，构造双直角三角形RtBCD 和 RtABD. 根据已知条件可求出ACB， DAB 的度数，然后利用 AB=12 分别求出AD、CD 的长度即可求解.【解】如图，过点B 作 BDCA，交 CA 的延长线于点D，由题意，得 ACB=60 30=30.ABC=75 60 =15 DAB =DBA =45在 RtADB 中.AB=12 BAD =45，BD=AD=2645cosAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载在 RtBCD 中，6630tanBDCD2.62666AC（海里）答： AC 两地之间的距离约为6.2 海里【方法指导】本题考查利用解直角三角形解决实际问题中的方位角问题.解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形. 同时，解题过程中应注意方程思想的运用.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页