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多维随机变量及其概率分多维随机变量及其概率分布布概率论概率论 本章要求本章要求: :1.1.理解理解2.理解理解3.理解理解掌握求掌握求;4.4.; ;5.5.了解两个了解两个本章重点本章重点: :概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 概率论概率论 xyO YX,1x2xy yx ,1 yx ,2:,的性质分布函数yxF ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对对任任意意固固定定的的 YX,概率论概率论 ,0,1,0.2 yFRyyxF对对任任意意固固定定的的且且 .1,0,0, FFxFRx对对任任意意固固定定的的Oxyy YX ,XY .0, 0,.3 yxFyxFyxFyxF yx ,x yx ,x概率论概率论 ,),(ijjipyYxXP或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. ,)(kkpxXPk=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX 的分布律的分布律 , 0kpkkp1k=1,2, 定义定义2的值是有限对或可列无限多对的值是有限对或可列无限多对,是是离散型随机变量离散型随机变量.则称则称 ,X Y设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记记如果二维随机变量如果二维随机变量 ,X Y全部可能取到的不相同全部可能取到的不相同称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分布律分布律, ,X Y3.1.2 二维离散型随机变量二维离散型随机变量概率论概率论 ijijijpjip1, 2 , 1, 0二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律分布律具有性质具有性质 ,X Y概率论概率论 12jyyyXY12ixxx11211ippp12222ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. 概率论概率论 例例把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0YX1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 概率论概率论 一般地，对一般地，对离散型离散型 r.v ( X,Y )，则则 (X,Y) 关于关于X 的边缘分布律的边缘分布律为为X和和Y 的联合分布律的联合分布律为为, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律. ip 概率论概率论 (X,Y) 关于关于 Y 的边缘分布律为的边缘分布律为jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j 概率论概率论 例例 把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0YX1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 概率论概率论 PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3PX=3, Y=1+PX=3, Y=3=1/8. 30,1kP Xk Y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3kP Xk Y 概率论概率论 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8概率论概率论 联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8概率论概率论 连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数1)(dxxf xtdtfxFx0)(xf Rxxf 定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 ,X Y的分布函数的分布函数 ,F x y则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随 ,X Y机变量机变量 , ,fx y函数函数 称为二称为二维维（X,Y )的的概率密度概率密度 ,随机变量随机变量 ,yxF x yf u v dudv 存在非负的函数存在非负的函数 ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或概率论概率论 0),(yxf 1),(dxdyyxf二维连续型随机变量二维连续型随机变量 的的概率密度概率密度具有性质具有性质 ,X Y 2,1Rfx y dxdy 概率论概率论 ;0,.1 yxf 2,1 ;Rfx y dxdy ;,.3dxdyyxfGYXPxOyGG 则则有有平平面面上上的的区区域域是是设设yxyxFyxf),(),(2在在 f (x,y)的连续点的连续点 ,.4 2.,1;fx y dxdy 概率论概率论 例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是(1) 求分布函数求分布函数 (2)2,0,0,0,.xyexyfx y 其其它它 ,;F x y P YX (2) 求概率求概率 .概率论概率论 Ouvy yx ,xOuvy yx ,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 积分区域积分区域区域区域 ,0f u v ,0,0u v uv 解解 (1)概率论概率论 Ouvy yx ,xOuvy yx ,x概率论概率论 211,0,0,0,.xyeexyF x y 其其它它00 xy 或或当当 时时, ,yxF x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee 0,0 xy 当当 时时, ,yxF x yf u v dudv 概率论概率论 2302xxeedx 1.3 (2) P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo概率论概率论 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是 6,02,24,0,.kxyxyfx y 其其它它(1) 确定常数确定常数 ;k 1,3P XY (2) 求概率求概率 .概率论概率论 解解 (1) xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故故1 8.k 2概率论概率论 xyo13242 1,3P XY (2) . 13,dxfx y dy 1302168dxxy dy 101782x dx 38 概率论概率论 对对连续型连续型 r.v ( X,Y ) ，X 和和Y 的联合概率密度为的联合概率密度为则则 ( X,Y ) 关于关于 X 的边缘概率密度的边缘概率密度为为),(yxfdyyxfxfX),()( dyyxfdxxFxFxX,事实上事实上 , ,XXfxFxfx y dy 连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度 x 概率论概率论 ( X,Y )关于关于Y 的边缘概率密度的边缘概率密度为为dx)y, x(f)y(fY y 概率论概率论 例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是其它,xy,x),x(cy)y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。= 5c/24 ,c =24/5.100(2)xdxcyx dy 解解 (1) 21,Rfx y dxdy 故故yx xy01x 123022cxx dx 概率论概率论 例例 设设 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dyyxfxfX, 00,.Xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy (2)xxy0yx 1xxx 10,0,0.Xxxyf x yfx 或或都都有有故故当当 时时当当 时时,01x 暂时固定暂时固定概率论概率论 ),2(5122xx注意取值范围注意取值范围xdyxy0)2(524综上综上 , .,0,10,25122其其它它xxxxfXxxyx xy01xx 00,.Xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy 当当 时时,01x 概率论概率论 例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解 (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 两个边缘密度两个边缘密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dxyxfyfY, .0,0,01yfyxfxyyY故故都都有有对对时时或或当当 .,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyY时时当当yx yyy11y暂时固定暂时固定0yx概率论概率论 ),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY综上综上 ,注意取值范围注意取值范围概率论概率论 在求连续型在求连续型 r.v 的边缘密度时，往往要求联的边缘密度时，往往要求联合密度在某区域上的积分合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布.概率论概率论 设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A.若二若二维随机变量（维随机变量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度其它, 0),(,1),(GyxAyxf则称则称（X,Y）在）在G上服从均匀分布上服从均匀分布. 向平面上有界区域向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落上任投一质点，若质点落在在G内任一小区域内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，的概率与小区域的面积成正比，而与而与B的形状及位置无关的形状及位置无关. 则质点的坐标则质点的坐标 (X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例注意注意:先看先看P70 10、11概率论概率论 若二维随机变量（若二维随机变量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 则称（则称（ X,Y）服从参数为）服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.,2121其中其中均为常数均为常数 , 且且, 0, 021,21211. 记作（记作（ X,Y） N( ).221212, ,x ,y 212221122122212211(),exp2 121()()()2xfx y xyy 概率论概率论 例例 试求试求二维正态随机变量的边缘概率密度二维正态随机变量的边缘概率密度. ,Xfxfx y dy 解解22122212()()()2yxy 2222111211()yxx 因为因为所以所以 22211222111()2 12212121y x x Xfxeedy 特注：本例只记结果特注：本例只记结果概率论概率论 212211,1yxt 令令则有则有 22121()22112x tXfxeedt 22211222111()2 12212121y x x Xfxeedy 2121()21122x e 2121()2112x e x 概率论概率论 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数并且不依赖于参数 .同理同理 2222()2212y Yfye y 可见可见由边缘分布一般不能确定联合分布由边缘分布一般不能确定联合分布. 也就是说也就是说,对于给定的对于给定的 不同的不同的 对应对应1212, 不同的二维正态分布不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明此例表明概率论概率论 例例 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求( X,Y )关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.概率论概率论 xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解解暂时固定暂时固定当当 时时,0 x 当当 时时,0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx 暂时固定暂时固定概率论概率论 yx xy0 ,Yfyfx y dx 暂时固定暂时固定yyy暂时固定暂时固定当当 时时,0y 当当 时时,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 概率论概率论 两事件两事件 A , B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A , B 独立独立 .设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立 .3.2.1两个随机变量的独立的性两个随机变量的独立的性3.2 随机变量独立性随机变量独立性概率论概率论 )()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立 . 它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立时，它们的联合分布函独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积数等于两个边缘分布函数的乘积 .概率论概率论 ),(yxf其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称 X 和和 Y 相互相互独立独立 .对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v ，则上述独立性的定义，则上述独立性的定义等价于：等价于：这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 .)(),(yfxfYX概率论概率论 若若 (X,Y)是离散型是离散型 r.v ，则上述独立性的定义等，则上述独立性的定义等价于：价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称 X 和和Y 相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有3.2.2 二维离散型随机变量的独立的性二维离散型随机变量的独立的性概率论概率论 例例 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx问问X和和Y是否独立？是否独立？解解0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY,xxe,yex0 y 0概率论概率论 即即其它, 00,)(xxexfxX其它, 00,)(yeyfyY)()(),(yfxfyxfYX可见对一切可见对一切 x, y, 均有：均有：故故 X , Y 独立独立 .概率论概率论 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它,y, yx,)y, x(f01002情况又怎样？情况又怎样？解解),1 (22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，)()(),(yfxfyxfYX故故 X 和和 Y 不独立不独立 . 概率论概率论 例例 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面.如如果甲来到的时间在果甲来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀分布之间是均匀分布. 乙乙独立地到达独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀之间是均匀分布分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX概率论概率论 所求为所求为P( |X-Y | 5) ,其它, 0600,601)(xyfY其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过超过5分钟的概率分钟的概率P(XY)概率论概率论 解一解一 45155x5xdxdy18001P( | X-Y| 5 ) xy015451060405yx5yx=P( -5 X -Y 5)xy01545106040yx P(XY) 451560 xdxdy180011 2. 1 6. 概率论概率论 解二解二5| yx |dxdy18001P(X Y)1 6. P( | X-Y| 5 ) 概率论概率论 类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率.概率论概率论 盒内有盒内有 个白球个白球 , 个黑球个黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 两次两次.nm设设1,0,X 第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球1,0,Y 第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求 ,X Y(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律;,XY(2) 判断判断 的相互独立性的相互独立性;(3) 若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.概率论概率论 YX01 222mnmnnmn jp ip 222mmnmnmn 01m mnn mn n mn m mn ,X Y(1) 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示 :(2) 由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j ,XY故故 的相互独立的相互独立.概率论概率论 ,X Y(3) 的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下表所示表所示 :YX01jp ip 01nmn mmn 11m mmnmn mmn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 概率论概率论 ,XY故故 不是相互独立不是相互独立.由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mP XYmnmn 0,mP Xmn 0.mP Ymn 可见可见 (0,0)00 .P XYP XP Y 概率论概率论 练习练习 1. 设随机变量设随机变量 (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 1,01,0,yxxfx y 其其它它. .问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立? 2. 证明证明 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量 (X,Y) , X 和和 Y 相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数 . 0 概率论概率论 在第二章中，我们讨论了一维随机变在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论量函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何求出它的联合分布已知时，如何求出它们的函数们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布的分布?3.3 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布概率论概率论 例例 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.解解 )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性r=0,1,2, 的分布的分布 ,ZXY ZXY 3.3.1离散型随机变量的函数分布离散型随机变量的函数分布看看P80例例3-24概率论概率论 例例 设设 (X、Y)的分布律为的分布律为求求 Z=X+Y 的的分布律分布律.YX011201/41/61/81/41/121/8ZP0 1 2 31/4 5/12 1/4 1/12概率论概率论 解解 依题意依题意 riirYiXPrZP0),()( 例例 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.概率论概率论 riirYiXPrZP0),()(ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.12 看看P81例例3-26概率论概率论 例例 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度. Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域 D=(x, y): x+y z解解Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: ZFzP Zz P XYz 它它是直线是直线 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzxy03.3.2 两个独立连续型随机变量之和的概率分布两个独立连续型随机变量之和的概率分布概率论概率论 化成累次积分化成累次积分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序xyzxy0y概率论概率论 由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率密度为密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()(概率论概率论 特别地特别地，当，当 X 和和 Y 独立，设独立，设 (X,Y) 关于关于 X , Y 的边的边缘密度分别为缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 卷积公式卷积公式概率论概率论 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为 0 的区域的区域 例例 若若 X 和和Y 独立独立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110概率论概率论 zx zxOz1zx211zz1z 暂时固定暂时固定 0.Zfz 故故 当当 或或 时时 ,0z 2z 0zZfzdx 当当 时时 ,01z 12z当当 时时 ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它dxxzfxfzfYXZ)()()(概率论概率论 例例 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷积公式由卷积公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 概率论概率论 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 Zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).概率论概率论 用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论请自行写出结论. 若若X和和Y 独立独立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2). 概率论概率论 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.更一般地更一般地, 可以证明可以证明:练习练习设设 相互独立相互独立(3,4),(1,1),(0,1), ,XNYNZNX Y Z求求23XYZ的分布的分布22112211,nnnniiiiiiXa Xa Xa XNaa则则5,17N结果结果12,nXXX2,1,2,iiiXNin 相互独立相互独立,且且即即特注平方特注平方概率论概率论 请欣赏请欣赏概率论概率论 精品课件资料分享 SL出品