最新大学微积分课件第六章PPT课件.ppt

大学微积分课件第六章大学微积分课件第六章2abxo一、定积分概念和性质一、定积分概念和性质时，时，若当若当 n的的选选择择，则则称称此此极极限限限限不不依依赖赖于于和和式式极极限限存存在在，且且此此极极i ,)(上上定义在定义在设函数设函数baxf，等等分分区区间间用用分分点点,baxi,210bxxxxan ,1nabxxxiii 令令任取任取,1iiixx i，作和式作和式iniixf 1)( )(xf为为在区间在区间,ba上的上的定积分定积分,（简称（简称积分积分）1xix1ix baxxfd)(即即 baxxfd)(nabfxfniininiin 11)(lim)(lim 此时称此时称 f ( x ) 在在 a , b 上上可积可积 .记作记作9 xadttfx)()(称称 为为变上限积分变上限积分 1 1、变上限积分函数及其导数、变上限积分函数及其导数 二、定积分的计算二、定积分的计算 函数函数或或积分上限函数积分上限函数变上限变上限积分积分函数的性质：函数的性质：10注注1.此定理表明连续函数取变上限定积分再对此定理表明连续函数取变上限定积分再对上限自变量上限自变量 x求导，其结果就等于被积求导，其结果就等于被积函数在上限自变量函数在上限自变量x处的函数值。处的函数值。2. bxttfxd)(dd)(xf d)(dd xbttfx xbttfxd)(dd3. )()()(d)(ddxaaxaxafttfx )()(d)(ddxbxattfx )()()()(xaxafxbxbf d)(d)(dd)(0)(0 xaxbttfttfxd)(d)(dd0)()(0ttfttfxxaxb 4.5.0d)(dd baxxfx112 2、定理、定理（微积分基本公式）（微积分基本公式）注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.12定理定理6.5 设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，作代换上连续，作代换 满足下列条件：满足下列条件：，ba )(,)( )(tx 上述公式称为定积分的上述公式称为定积分的换元积分公式换元积分公式，简称，简称换元公式换元公式.(2)当当t在在与与之间变化时，之间变化时， 单调变化，且单调变化，且 .d)()(d)( tttfxxfba)(t；上有连续导数上有连续导数在某一闭区间在某一闭区间）（)(,)(1tt 则：则：3、 定积分的换元法定积分的换元法13说明说明：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即相应的变换，即“换元必换限换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能新变元的积分限可能，也可能，也可能，但一定要，但一定要求满足求满足，ba )(,)( t即即；对应于对应于ax t. bx 对对应应于于 .d)()(d)( tttfxxfba（4）换元积分法常用来证明定积分的等式）换元积分法常用来证明定积分的等式144、 定积分的分部积分法定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 bababauvuvvud|d151.1.求平面图形的面积求平面图形的面积三三. .定积分的应用定积分的应用（1 1）. .以以x轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积16ab)( xfxy0； baxxfAxfd)(,0)(ab)(xfxy0； baxxfAxfd)(,0)(17若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d)( baxxfA)(xfy xyoab18； bayyAyd)(,0)( ab)(yx xy0； bayyAyd)(,0)( .d)(A bayy （2 2）. .以以y轴为底边的曲边梯形的面积轴为底边的曲边梯形的面积b)(yx xy0a)(yx yxb a 19特别，特别， 时时,)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(20围成的平面图形的面积，围成的平面图形的面积，, )()(yy 如如果果.d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx 21abox y)(xfy 旋转体的体积为旋转体的体积为 babaxyxxfVdd)(22 （1 1）以）以x轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕x轴旋转轴旋转x2 2、旋转体的体积、旋转体的体积22xyo)(yx cd dcdcyxyyVdd)(22 （2 2）以）以y轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转轴旋转（3 3）以）以x轴为底边的曲边梯形绕轴为底边的曲边梯形绕y轴旋转轴旋转 bayxxxfVd)(2 23 adxxf)( babdxxf)(lim1 1、无穷区间上的广义积分、无穷区间上的广义积分 四、广义积分四、广义积分 axxfd)( axF)( bxxfd)(bxF )()()(limaFxFx )(lim)(xFbFx 24 bxxfd)( aaxxfxxfxxfd)(d)(d)( axxfd)( axF)(bxF )( axF)(axF )()()(limaFxFx )(lim)(xFbFx 25 badxxf)( badxxf )(lim0 2 2、无界函数的广义积分、无界函数的广义积分 badxxf)(baxF)( )(lim)(xFbFax badxxf)(baxF)( )()(limaFxFbx badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(26例 题例例：设：设f(x)是连续函数，是连续函数， 10d)(2)(ttfxxf，求，求f(x).P57.二二.5 10d)(ttfA设设解解：A2)( xxf则则两边取定积分得：两边取定积分得： dxxA 10A2,d)(10 xxf102)22(Axx A221 ,21 A. 1)( xxf27例 题例例： 求求P57.二二.6解解：.tansinlim1cos02xxdtextx 2cos102limxdtextx 原式原式xxexx2)(coslim2)(cos0 xxexx2sinlim2)(cos0 2lim2)(cos0 xxe .21 e28例 题例例：.d)(0有有关关与与积积分分 tsxtxftIP56.一一.14解解： tsxtxftI0d)(tuxutx du1)(tufts0 suf0du)(s29例 题例例：.d)()( aaxxfxfxP56.一一.16解解：0)()()(xfxfxxF 设设)()()(xfxfxxF 则则)(xF 是奇函数是奇函数)(xF30 2242dcos1sin xxxxM例 题例例：,dcos1sin2242 xxxxMP56.一一.17解解：,d)cos(sin2243 xxxN.,d)cossin(22432则则 xxxxP0 2243d)cos(sin xxxN 224dcos xx 22432d)cossin( xxxxP 224dcos xx0 0 NMP 31例例 02dexxx . . 解解2 02dexxx 02dexx 002de2exxxxxxxx elim2xxxelim2 xxxe2lim xxe2lim 0 0de2xx 0e2x 00de2e2xxxx.2 例 题32求求 5ln0d3e1eexxxx. . 例例解解令令 tx 1e， , )1ln(2tx 20222d124)1(tttttt原式原式 2022d42ttt 2022d4442ttt20)2arctan2(2tt .4 例 题33例例 10dlnxx1ln10 xx11lnlim0 xxx)ln(lim10 xxx 1 例 题34求求由由xyxy 2,及及 x 轴轴所所围围成成的的图图形形的的面面积积及及它它绕绕 y 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积 解解例例65d)2(10 yyyS 611d)(d)2(102102 yyyyVyxy xyoxy 2)1, 1(例 题65d)2(d21102 xxxxS或或 611)d-(22d221102 xxxxxxVy或或35设设)(),(xgxf在在区区间间)0(, aaa上上连连续续, )(xg为为偶偶函函数数,且且)(xf满满足足 例例证证AAxfxf( ,)()( 为为常常数数) 证证明明 aaaxxgAxxgxf0d)(d)()(. ,d)()(d)()(d)()(00 aaaaxxgxfxxgxfxxgxf 0d)()(axxgxf)d()()(0 attgtf,d)()(0 axxgxf aaaaxxgxfxxgxfxxgxf00d)()(d)()(d)()( .d)(0 axxgA axxgxfxf0d)()()( xt attgtf0d)()(36已已知知21)(xxxf ，则则)(xf在在2 , 0上上的的平平均均 值值为为 . . 4 4、解解215 202d1xxx 2022d1121xx2021x ,15 所以平均值为所以平均值为215