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返回第 一章 质 点 力 学 名句赏析有花堪折直须折，莫待花落空折枝。 研究质点做机械运动的的物理规律，主要内容包括：质点运动学：速度，加速度等。 质点动力学：牛顿运动定律，功，能及关系；动量，冲量及关系等。oyzxtrptxtz ty 三维运动 txx tzz ktzjtyitxtr tyy 不难看出，知分量式 可得到矢量式。 tztytx,称为运动方程的分量式。称为运动方程的矢量式。点评 能否用 （由参照物到研究物体的线段）来确定物体相对参照物的位置，为什麽?r四 轨道方程0,zyxf矢量和标量 我们经常遇到两类物理量：标量和矢量。标量如质量，动能，功，电流等有大小和单位的物理量；矢量如位移，速度，力，动量，电流密度等不仅有大小和单位，而且有方向。 正确表示路程ms27j yi xrsmV27不正确表示： 教科书中，矢量用粗黑体字，而作业中矢量应加箭头，否则不 对。 j yxirj yxir27V mix36 例 11 如图示，一物体从高台顶部竖直上抛，求其运动方程。V0oy 解：以抛出点为坐标轴的原点，向上为正。运 动方程为ttVyg2021 tyt0此式也为代表 间的位移，而非路程。 若以抛出点的下方某处（距抛出点为 ）为坐标原点，取轴向上为正，则运动方程为y0gttVyy20021此式既不代表 间的路程，也不为此时间间隔内的位移。t0 oy ty 注意：运动方程与过去学过的路程公式，位移公式有本质的区别。运动方程的作用是用数学式表示质点相对参照物的不同时刻的位置。这一表述式不一定（但有时是）是指质点在 间的路程或位移。t0水平面例12 求斜上抛物体运动方程的分量式及矢量式。 解：此为平面运动，以抛出点为坐标系原点，建立直角坐标系如图示。运动方程的分量式为 tVtxcos0 gttVty2021sin运动方程的矢量式为 jtyitxtrjgttVitV20021sincosV0oxy tx ty tr0 xt tx设一质点沿轴 运动，质点的运动方程为 txx ox平均速度txV一 一维运动第二节 速度t txttttx位移 txttxx（为代数式，不必用矢量式）0 xt txttttx令 变小，平均速度也随之变化tttttxttttx 即 dttdxtV 在数学上，即把运动方程对时间求一阶导数。 物理意义： 时刻附近无限小时间内的平均速度。t 0tV 0tV .ConsttV速度沿轴的正方向速度沿轴的反方向速度恒定 在直线运动中，运动方程，位移，速度及加速度等用代数量或代数式表示。速度可以是变量（如时间的函数）或恒量。瞬时速度txlim0t tVyox2 曲线运动（二维）tp tr位矢trQttrtt位移 trttrr为末,初二时刻位矢之差.r一般情况下VV路程s平均速率tSVs 时间内的位移与 之比。tt平均速度trV平均速度的大小trV平均速度 的大小和方向与trtr ,有关。oxy trpt轨道tt ttrQr trpttt ttrQrttrrtt Voxy trptV当 无限小时，即ttrt0lim此平均速度为物体 时刻的速度。t记为dtrdV即位矢的时变率。瞬时速度V方向 沿轨道切线，指向运动方向。 大小 又称为速率。dtdsdtrdV式中的 为元路程。ds在曲线运动中，位置矢量的末端轨迹即轨道，如图示。 tro轨道ttrr位移为 二不同时刻的位矢之差。rrdrdrdrdrn321路程SdsdsdsdsrdrdrdrdSnn321321s则速率VVVVyx22或dtdsV dtdsdtrdV即式中的 为元路程。ds例题jViVjdtdyidtdxdtrdVyxdtdxVxdtdyVy jtyitxtrr速度分量式（1）在直角作标系下的表示oyx轨迹ryx,oyx轨迹r, r运动方程的分量式 ttrr位矢的模（大小）极角轨道方程0,rf位矢（运动方程的矢量式）errrerer：为沿位矢 的单位矢量，方向同rr。(2)在平面极坐标系下的表示运动方程的分量式 txx tyy 速度按定义，有dtedredtdrdterddtrdVrrrdtdrVr式右边第一项反映了矢径大小的时变率，称为径向分速度oyx轨迹 trdttrrdd 1dtteterr terdtter ter是单位矢量，大小不随时间变化， 看第二项的物理意义： ter terdtterdedredr由图得， 与 垂直（因 为无穷小量）， ，则d只是因其方向变化而引起的增量。edrddedr1大小 rdtdrdtedrVr称为横向向分速度。ererdtrdVre为沿横向的单位矢量。eer速率VVVr22 例1-8 已知 ，为恒量，求轨道方程 bterat,ba,.VVVr,解：略VrVr dtrdV即速率可表示为dtrdV 在曲线运动中，质点的速度既为 ，因而有 dtdrV ，此表述是错误的，解释如下：，该式的模即dtdrV ，故可推知，速度大小，而 1 第一种解释，受 影响，以为 ，这种理解是错误的。须知，从数学来理解， 是位矢 微分的大小，或 位矢 增量的大小，是包括了 大小和方向的总的增量的大小，即rr drrdrdrrr trdttrrdrddrrr仅仅是 大小 的增量，位矢 大小的微分，即 trdttrrddrr故drrdrd速率只能为，而不是dtrdVdtdrV coscosVdtrddtdr2 第二种解释，从图示看，是元位移 在位矢drrdr方向上的投影（或分量），coscosdsrddr速率dtrdV，而不是dtdrV 而 trdttr轨迹ord大小的增量rdrV元位移 ，沿位矢方向的速度分量，称为径向速度，方向与 共线，是 的大小 的时变率。rrr3 第三种解释，以二维运动为例，速度大小即速率为jViVdtjdydtidxdtjdyidxdtrdVyx而yxyyxxdtyxddtj yi xddtrddtdr2222rj yjVri xiVyxyVxVyxyx.22VVyx22rVrrVrj yi xjViVyx0.式中 为沿位矢 的单位矢量。r0r可见，dtdrV 由以上得cos.0VrVdtdr式中的 为速度矢量 与位置矢量 的夹角， 为速度矢量在位矢方向的投影。可见，质点在曲线运动中， 不是质点的瞬时速率，即速度的大小，而是速度矢量在位置矢量方向上的投影（或称分量) ，又称径向速度，记位 cosVVrdtdrdtdrVr0dtdrVrrVVr轨迹当 与 同向时Vrr反之0dtdrVr选择题但是 ，瞬时速率为dsrd dtdsdtrdtVtttp1p1如图，一物体沿曲线运动，则：t内的平均速率为S路程tSVt内平均速度的大小为rtr二者不同。注意，rS，一曲一直。学习指导学习指导 叠加原理是物理中的一条重要原理。是建立在物理规律是用线性方程来描述的。因而，许多物理量具有叠加性。如电磁学量：电场强度，电势，磁感应强度等。力学量：位移，速度，加速度，力 等。 第三节 加 速 度一 直线运动速度增量 tVttVV平均加速度tVaxotVttVtttVtt瞬时加速度dtdVa 或dtxda22 0ta 0ta沿轴的正方向。沿轴的反方向。以上各量为代数式 SIttx2332 例13 已知一质点的运动规律为 ，求该质点的瞬时速度和加速度。 解：SIttdtdxV622 SItdtdVa12 SIttx323例 14 已知运动方程为。求：的位移，路程和瞬时速度，以及瞬时加速度和最大速度。st40t到解：位移和路程略 。瞬时速度瞬时加速度 SIttdtdxV362 SItdtdVa66最大速度令066tdtdVast1得出 ，代入速度的表达式smV3max 2 曲线运动 trtV平均加速度tVa瞬时加速度dtVda或dtrda22aozyxttVttrtVttVV速度增量 tVttVV方向 ： 与 有一定夹角，不沿轨道切线。大小：dtVdaaaV（否则为直线运动）瞬时加速度 分量式（1）直角坐标系下jaiayxaaycos方向aaaxy22大小aaxcos 显然，如果知到了沿轴上的分量 ，则可求出加速度 的大小和方向。 aayx,ajdtdVidtdVjViVdtddtVdayyxxjViVVyxaayx,为代数量。加速度矢量acos,cos方向余旋。例 15 求斜上抛体运动的加速度。jgtViVVsincos00jga解：gaa加速度矢量加速度大小式中负号的意义。例1-6 已知质点的运动方为 SIjttittr326432求：瞬时速度和瞬时速率,径向分速度及瞬时加速度。解：SIjttitdtrdV212832瞬时速度瞬时速率tttdtrdVV21283222而径向速度分量为yxyyxxdtyxddtdrVr2222或yxyyxxyxj yi xjyixrrVVr2222.SIjtidtVda4128瞬时加速度SIta412822大小（2）自然轴系及加速度的分量式 由以上知，在曲线运动中，加速度的方向与速度（或轨道的切线）成一定夹角，因而，还可以把加速度沿轨道的切线和法线进行正交分解。若知此二分量，则加速度可得出。如何求二加速度分量呢?让我们先直观的分析一下。 以圆周运动为例：大家知道，在匀速率圆周运动中，速度大小不变，仅方向变化，由速度方向变化产生的加速度指向圆心，并与速度垂直。且RVa2 可见，与速度垂直，且指向圆心的加速度反映速度方向的变化。 在变速率圆周运动中，速度的大小和方向同时变化，哪麽，与速度垂直的加速度分量也一定是反映速度的方向变化，形式也应为上述形式。RVa2V只不过此处的 为瞬时速率。 自然，与速度共线（沿轨道切线）的加速度分量只反映速度大小随时间的变化，因而，沿轨道切线的加速度分量应为速度大小随时间的变化，即速率对时间求导。故该加速度分量应表示为dtdVat下面由理论证明变速率圆周运动加速度的两个分量的表述式：（听懂推导过程，而不要求掌握）（2）自然轴(自然坐标)系沿质点的轨道切线方向和法线方向研究运动. 由以上知，在曲线运动中，加速度的方向与速度（或轨道的切线）成一定夹角，因而，还可以把加速度沿轨道的切线和法线进行正交分解。若知此二分量，则加速度可得出。如何求二加速度分量呢?让我们先直观的分析一下。Ro tVttVr ttVtVV tVttVVnVtABCD tVABADVVVtn按加速度定义tVtVtVattnttlimlimlim000设一质点做变速圆周运动速率V tVVnVtABCDRo tVttVrtVntlim0讨论第一分量aRVRVdtrdRVtrtVntnt200limlim大小：RVrVn方向 ：沿法线指向圆心，故称为法向加速度。 tVntlim0由几何关系，有则大小可为：注意： 为速率 的变化（增量） ，而不是速度增量的大小 )。tVttlim0 方向：沿轨道切线，与速度共线故称为切向加速度。另一分量VtVVV数值：adtdVtVtVttttlimlim00ttVV tVVnVtABCDRVan2dtdVat切向加速度法向加速度以上二式中的 为瞬时速率。V可见，而加速度分量式为 （2）速率 恒正， 。当 ，表示速率正增加中，加速度与速度成锐角，故切向加速度与速度 同向；而 ，表示速率减小中，加速度与速度成钝角，切向加速度和速度 的方向相反；而 ，则为匀速率圆周运动。 V0V0dtdVV0dtdV0dtdVoVRanataoVRatana加速运动减速运动几点讨论：1 切向加速度的理解（1）切向加速度是速率（速度大小）的时变率。dtdVatVat是代数量。 故切向加速度应理解为加速度在速度方向的投影更为确切。可表为式中 为速度矢量 的单位矢量；而 为加速度与速度间的夹角。0Vcos0aaatR0aatanV2 加速度大小方向矢量式nRVdtdVaaant020式中的 为指向圆心的单位矢量。n0aatgtnaaant22 tV dttdV或令 tVtV为沿速度方向的单位矢量。 dtdtVdttdVdttVda显然， 即切向分量。R第一项加速度分量沿轨道切线。o选讲dtdddRrddRRdrd1第二项的意义。R二者垂直且大小不变。RVRdtdrdtd1因此，另一分量的大小为RV2，方向与轨道切线垂直，指向圆心。anata 在很多情形下，物体沿任意曲线匀速，加速，或减速运动，此时，物体的法向与切向加速度如何表述呢?tV加速运动轨迹tV减速运动轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径anata0瞬时曲率圆tV轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径anatadtdVatVan2 在轨道的任何点上，物体的表现同圆运动，只是对应不同的曲率圆而已，故二分量的表述同圆运动时的情形。大小方向aatgtnaaant22 解:分析：物体运动中，加速度恒定，但与速度的夹角不断变化，因而，其切向与法向的加速度分量也不断变化，是时间的函数。如何求，关键求出速率的表达式。 例 17 求斜上抛物体的 的表达式。,aantV0 xyotgtV dtgtVVddtVVdyxsincos020222dtdVat速率为则切向加速度为 gtVVVVVyxsincos002222gtggtVVgtV220200sin2sin或VVjViVjaiaVVaayxyxyxt22gtVVgtVgVVVayxyysincossin0022022tggtVVgVagatn22020022cos2cos法向加速度可否用Van2，为什么?而曲率半径为agVVagVaVtyxtn22222222anatV0 xotgtVy 例 18 求下列图中二时刻的 。anatV0V01斜抛运动 解：本题的特点是：已知各点加速度及与速度间的夹角，此时，沿轨道的切向与法向分解加速度即可。atganatang1cos0gancos.0aaataVn202cos1gansin1gataVn20式中的 为沿速度的单位矢量, 是速度矢量与加速度矢量的夹角。90cos0aatsin0g说明“”物理意义。100,VV已知.文字运算 用物理量的专用符号表示物理量，按物理规律组成方程式。按问题在几个方程式间联立，进行运算，中间不带入数据，称为文字运算。最后代入数据。大学物理和科技均要求此方法。克服步步代数据的方法。例题例题例题aVn2轨道的曲率半径为如何求路程dydxds22dydxdss22不要求做。 例 19 一质点的运动规律为taxcostbysin其中,ba皆为恒量。求 1 轨道方程；2 位置矢量；3速度与加速度； 4 切向加速度； 5 法向加速度； 6 轨道的曲率半径。解：1 12222byaxtaxcostbysin消去时间 ， t为轨道方程-椭圆。2 位置矢量j tbi taj yi xrsincos3速度与加速度j tbj tajdtdyidtdxdtrdVcossindttbtaddtVVddtdVayxtcossin2222aaaaaatyxtn22222aVVaVnyxn22245（略去计算过程)。rjtbitadtVda222sincos6或VVaaat0jtbitasincos22VVj tbj tayx22cossin dtVda，而可用 表示dtVda 在曲线运动中，质点的加速度既为 ，因而有 dtdVa，此表述是错误的，解释如下：，该式的模即dtdVa ，故推知，加速度大小 1 第一种解释，受 影响，以为 ，这种理解是错误的。须知，从数学来理解， 是位矢 微分的大小，或 位矢 增量的大小，是包括了 大小和方向的总的增量的大小，即VV dVVdVdVV tVdttVVdVddVVV仅仅是 大小 的增量，即 大小的微分 tVdttVVddVVV故dVVdVd加速度大小只能为，而不是dtVdadtdVa coscosadtVddtdV2 第二种解释，从图示看，是速度增量 在速度dV方向上的投影（或分量），cosVddV加速度大小为dtVda而不是dtdVa 而 ，沿加速度在速度方向的分量，称为切向加速度，方向与 共线，是 的大小 的时变率。V tVdttV tVd tdVtVd tVVV 2 第三种解释，在曲线运动中，质点的加速度大小为VjVjaViViaVaVVaVyyxxyyxx.dtjViVddtVddtdVyxVVaVaVdtVVdyxyyxxyx2222式中的 是沿速度 方向的单位矢量。0VaajaiadtjdVidVdtVdayxyxyx22而0.aVVaVjViVjaiayxyx由以上得cos.0aadtdV式中， 为加速度矢量与速度矢量间得夹角，而 为加速度矢量在速度矢量 方向上的投影（或分量) ，故 不是曲线运动中，质点加速度的大小（只是形似而已) ，可见 。cosadtdVdtdVdtdVatdtdVa 是加速度沿轨道切向的分量，记为轨迹oVarat当切向分量沿速度方向时0dtdVat（速率增加)反之0dtdVat（速率减小)单位制和量纲分析 1 物理量表示一具体的定义量，除特殊量外，均有单位。现规定用国际单位制，即SI制。如速度电场强度smCN或mV2 量纲分析 基本量TLM,导出量速度加速度力LT1LT2MLT2称为量纲式，或量纲。在任何物理的方程式中，等号两边的量纲必须相等。btats221otss 例 110 一质点沿半径为 的圆周按规律 运动，式中 为常数。求速率，切向和法向加速度和加速度。ba,R 解：该式为物体沿圆周的运动规律，类似于直线运动的运动方程。btadtdsVbdtdVatRbtaRVan22nRbtabnaaant00002大小aaant22三 运动学的逆问题1 正问题一维（直线运动） dtdVadtdxVtxx二维（平面曲线运动） dtVdadtrdVtrr数学方法：求导2 逆问题一维（直线运动）xVa运动方程二维（平面曲线运动）rVa运动方程数学方法：积分 例1-11 一质点沿 轴正方向运动，加速度为 。当 时质点静止于 处，求速度的表达式及运动方程。xSIta40tmx10tadtdV4解 因，则有tdtdV4积分VtdVtdt004，得 SItV22（分离变量法）又tVdtdx22，则有dttdx22积分txdttdx02102得运动方程SItx10323*也可用不定积分。x 例1-12一质点沿 轴正方向运动，加速度为 ，质点在 时的速度为 。求速度与位置的关系。 mxa620 xmsV1010 xadtdV62解因，如何找 的关系，xV,xdxVdVdxdxdtdVdtdV62xVdxxVdV01062分离变量，并积分得SIxxV106422*也可用不定积分。 引入运动方程的物理意义：运动方程是以代数式或矢量式的形式定量地确定（表示）一物体在任一时刻相对参照物的位置。然而，其深层的作用为：用二不同时刻的运动方程表示的具体的量的差表示此间的位移，因而实现了位移的准确的数学表示；运动方程的微分为一元位移，其大小为一元路程；把运动方程对时间求导数，可得速度和加速度的表达式，这样得出的速度或加速度的矢量性一目了然。因而，运动方程的引入使物理规律得以用数学的语言描述。 例 114一质点沿半径为 的圆周运动，加速度与速度的夹角 保持不变， 时的初速度为 ，求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。R0tV0ROVaanat解：由图示知，dtdVRVaan2sin解：由图示知，dtdVRVaatgtn2 用分离变量法可求速率与时间的关系。再积分可求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。（略)正确的表述为RVdtdVRVaan2222sin或第 四 节 相对运动 在本章一开始，我们就谈到运动的相对性。物体做机械运动时，机械运动的描述是相对的（举例略）。 对不同的参照物，其运动方程，位矢，位移，速度，速率，加速度，轨道方程等可能是不同的。r甲对乙甲（被研究客体）乙（被选参照物）相对轨迹相对速度V相对加速度a（相对位矢）运动的相对性r甲对地r甲对乙r乙对地=+或r甲对地r乙对地r甲对乙=VVV乙对地甲对乙甲对地则速度矢量关系为aaa乙对地甲对乙甲对地地球甲r甲对地r乙对地乙r甲对乙 设想有三个客体：地球，甲和乙。相对位矢如图，则有矢量间关系式则加速度矢量关系为或VVV乙对地甲对地甲对乙VVV地对乙甲对地甲对乙aaa乙对地甲对地甲对乙aaa地对乙甲对地甲对乙r甲对地r地对乙+=VVV地对乙甲对地甲对乙aaa地对乙甲对地甲对乙归纳有如下关系注意下标的循环关系，熟记可有利求解此类问题。 例 1-11 风相对地面由正东南吹来，速度为 ，一人相对地面向东跑去，速度为 ，则人感到风从何方吹来?风速多大?其中V1V2msV1011msV512解：VVV地对人风对地风对人画出各速度间的矢量关系图V风对地V人对地V风对人北南东西V地对人45用矢量图可求 的大小和方向（略）。V风对人VV人对地地对人注意到推广：若有甲，乙和丙三客体，之间存在着相对运动，则有VVV丙对乙甲对丙甲对乙aaa丙对乙甲对丙甲对乙VV乙对丙丙对乙aa乙对丙丙对乙例题点评 实验与理论表明，光速是绝对的，在相对运动的惯性系内，测得光在真空中的速度相同。称为光速不变原理，由此产生了近代物理之一：相对论。 * 注意：位矢，轨迹，位移，路程，速度，速率，加速度等相对性。及动力学中的功；动能，动能定理；动量，动量定理等也具有相对性。 质点运动学小结 1 运动方程：质点相对参考物位置的数学描述，为时间的函数。由此可求位移，元位移，路程，元路程，平均速度，平均速率，瞬时速度，瞬时速率，加速度等。 2 速度相对性，矢量性，瞬时性，迭加性。速度（曲线运动中）：dtrdV位矢的时变率速率（曲线运动中）：dtdsdtrddtrdVVVVyx22dtdr不代表速率，而是速度的径向分量。3 速度 相对性，矢量性，瞬时性，迭加性。曲线运动中dtVdadtVdadtdVat 4 在讨论质点运动学过程中，我们引入矢量并通过矢量的微分，矢量求导等定义或表述物理概念和规律。这种研讨方法，是从一般（一泛泛过程)到特殊（即例题，习题）的研学。大学物理较之高中物理，更具普适性和广延性，其魅力也在于此。然而，此方法也较抽象，为学生的学习也带来困难。学者应尽快地适应大学物理的研讨法。对矢量及表达式，不仅从数学方面理解，更重要应体会出其物理内含，举一例供参考。 例如，从 中，你理解了什麽?它告诉了哪些物理新息。dtrdV式中， 是位矢，而 是 内的元位移，是位矢 的增量或变化量，在曲线运动中，二者不共线， 是位矢末端在轨迹上划出的小的有向线段。 的大小 ，是元路程。 即是一瞬时量，又是一平均量， ，还有，该式有相对性。 有相对性，与它们联系的物rrddtrrdrddsrddtrd, rr 但，,drrdVVdsrdr,理规律也必有相对性，等。1、判断下列写法是否正确？（1）dtdva （2）dtvdat（3）dtvdat（4）dtdrv （5）vdtdsdtrd2、在质点的下列运动中，说法正确的是（ ）（A）匀加速运动必定是直线运动（B）在曲线运动过程中，加速度的法向分量恒为零（C）在直线运动中，加速度为负，质点必做减速运动（D）在圆周运动中，加速度方向总是指向圆心（E）在曲线运动过程中，法向加速度总是指向圆心3、下列各种情况中，说法错误的是（ ）（A）一物体具有恒定的速率但仍有变化的速度（B）一物体具有恒定的速度但仍有变化的速率（C）一物体具有加速度而其速度可以零（D）一物体速率减小但加速度增大（E）一物体速率增大，而法向加速度的大小不变4、一质点在xOy平面内运动，已知质点位置矢量的表达式为 （其中a，b为常量），则该质点做（）jbtiatr22（A）匀速直线运动 （B）变速直线运动（C）抛物线运动 （D）一般曲线运动 5 、一质点的运动规律为taxcostbysin其中,ba皆为恒量。求 1 轨道方程；2 位置矢量；3速度与加速度； 4 切向加速度； 5 法向加速度； 6 轨道的曲率半径。解：1 12222byaxtaxcostbysin消去时间 ， t为轨道方程-椭圆。2 位置矢量j tbi taj yi xrsincos3速度与加速度j tbj tajdtdyidtdxdtrdVcossindttbtaddtVVddtdVayxtcossin2222aaaaaatyxtn22222aVVaVnyxn22245（略去计算过程)。rjtbitadtVda222sincos6或VVaaat0jtbitasincos22VVj tbj tayx22cossin6、一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度与速度的方向相反，大小与速度的平方成正比，即dv/dt=-Kv2，式中K为常数，试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为v=v0e-Kx（v0是发动机关闭时的速度）证明：因2Kvdxdvvdxdxdtdvdtdv所以KxvvKdxdvvxvv00ln,10从而Kxevv07、某人以4km/h的速度向东前进时，感觉风从正北吹来；如人的前进速度增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。试求风相对于地面的速度？第四节 牛顿运动定律 牛顿运动定律是经典力学的核心，它定量地描述了运动和作用的关系，从更深的层次上揭示了经典力学的本质，它是确定性的理论。根据已经掌握的概念和规律，在此仅作概括叙述。 一 牛顿运动定律1 第一定律01niiiF例题1-8 如图,求两条绳内的拉力.mgmT1T2解: 1 分析物体受力,画出受力图.例题1-9 如图,求斜面和档板对物体的作用力.m解 1 分析物体受力,画出受力图.gmN1N2N1N2gmcos1mgN mgtgN 2021NNgm2 因 ,故三个力矢量构成封闭三角形.2 第二定律特点：矢量性，瞬时性，相对性。amFniii1两种分量式 （1）若采用在直角坐标系下用牛二律求解问题，分量式为maFxniix1maFyniiy1 为一组代数式，式中各量为代数量，是牛二律矢量式中的矢量在选定的 轴 上的投影(或分量)。一般是把一个轴的正方向选在沿物体的运动方向，而另一轴与运动方向垂直。: x: yyx,dtdVmmaFtniit1VmmaFnniin21: t: n （2）若采用在自然轴系下用牛二律求解问题，分量式为 为一组代数式，一般在曲线运动时采用。式中各量为代数量，是牛二律矢量式中的矢量在物体的运动方向（速度方向）上和指向曲率中心方向上的投影。力的切向分量方向与速度方向一致时,该分量取正,反之取负;力的法向分量指向曲率中心,该分量取正,反之取负.3 第三定律（略）作用力与反作用力间FF2112 大学物理中，有一些物理量用矢量表示，如速度，加速度等；而有些物理规律用矢量式表示，如牛二律等。在很多情形下，往往用到其投影量或投影示求解，应学会据问题的性质和特点，建立坐标系，把涉及到的矢量（方向可设定，非真正的方向）投影，注意投影的正，负符号选取。多实践，多练习。此后，还遇到此类问题。四种力：1 万有引力：源于 引力场-引力子-引力波(星体间，潮汐)2 电磁力：源于 电磁场-光子宏观的表现力有：弹性力，压力，张力，拉力，摩擦力，浮力3 强力：存在中子，质子及强子间，源于介子场-色力-色子（胶子）。 4 弱力：存在中子，质子及强子间，如 衰变中，由粒子ZWW0,传递。* 超统一理论简介。 * 扬-李与弱相互作用不守恒。5 第五种力20世纪80年代提出，正验证中。大统一理论超统一理论规范场宇宙现时的宇宙现时的宇宙人眼可视的星体： 颗2000银河系：星体 颗。1011太阳系到银河系中心距离： 光年1034银河系之外还有 个星系。大的星系有 个恒星10111013目前发现距我们最远的星体：104 . 110光年宇宙的形成宇宙的形成宇宙的年令： 亿年，即 秒 15070 宇宙的形成：大爆炸初时，宇宙的密度无限大，温度无限高爆炸半小时后，温度降为 ，基本粒子产生k108宇宙在膨胀1017宇宙的线度m1026星系图该星系与银河系类似。由星体 个组成。成扁盘状，中心亮。整个星系绕垂直于盘面的轴转动。太阳为星系中的一个星体。绕星系的转动速度约 ，转动的周期为 年。按引力理论的计算结果与观测的结果不附。有人提出暗物质的存在。计算时没有考虑暗物质所致，据估算，宇宙中暗物质约占90%。但暗物质至今尚未被发现。暗物质 （dark matter）1011skm220104 . 28地面二 惯性系与非惯性系 惯性力 当车在水平地面上沿直线匀速运动时，车顶悬挂的物体随车匀速运动，物体水平方向不受力;悬线沿竖直方向.VmVa 当车相对地面向右加速运动时，木块随车一起相对地面加速运动，悬线倾斜;沿水平提供力. 以地面为参照系，或站在地面上的观察者认为，在绳子张力 和物体重力 的合力作用下，物体向右加速运动，据牛二律，有gmNamgmN物对地Ngm即以地面为参照系，牛顿定律成立。惯性系惯性系:使牛顿(第一,二)定律成立的参照系。 一般（不准确情况下）把地球视为惯性系。相对地球静止或做匀速直线运动的系统均为惯性系。地面VmVaNgm 以车为参照物，即相对车静止的观察者，物体受力状况不变，合力依然不为零，但物体对车无加速度。amgmN物对车 可见，牛顿运动定律对相对惯性系做加速运动的系统不成立，即物体受的合力不等于物体的质量与物体对该参照系的加速度之积。该参照系称为非惯性系，在非惯性系不能用牛顿运动定律。此处0a物对车非惯性系:使牛顿(第一,二)定律不成立的参照系。非惯性系相对地面做直线加速(或减速)运动的参照系均为非惯性系。0gmNamamFgmNri物对车附加力为amFi车对地称为惯性力。 回到刚才的问题：对非惯性系，物体所受合力 不为零，但物体相对于非惯性系静止, ，车上的观察者如何来解释这一物理现象呢?他设想，该物体除了受到力 和 之外，还多受到一个附加力 ，它与 和 之合力大小相等，而方向相反，因而，其相对非惯性系的加速度必为零。如例图示。Ngm0argmNNgmFi0aar物对车 在非惯性系内物体受力图Fi附加力(想象的力)应为amNgmFi0amFi0即为对非惯性系而言,有amFi非惯系对惯系即考虑了此力后,对非惯性系,牛顿定律仍然成立.a非惯系对惯系F惯amFi0 可见，在非惯性系内，必须多考虑一个力 ，此力称为惯性力。它与其它力的矢量和构成的合力等于研究物的质量 与该物相对非惯性系的加速度 的积，mar对地面（惯性系）的牛二律形式为aamamFrnjj01地a0mar地面引入惯性力的另一种方法：a0 如图所示，车相对地面的加速度为 ，而物体相对车的加速度为 ，则物体对地面的加速度为aaar0地ar对车（非惯性系）的牛二律形式为amamFrnjj01amFFrinjj1或 上述的结论具有普遍的意义：在任何相对惯性系作加速直线运动的参照系中研究动力学问题（包括平衡问题），在考虑了惯性力后，仍可用牛顿定律。各量物理意义解释： 为研究物体的质量， 为非惯性系相对惯性系的加速度，负号表明惯性力的方向与 的方向相反。 在非惯性系下的牛二律形式amFFrij其中amFFi0惯m a0a0 惯性力与其它力一起，作用在物体上，决定物体相对非惯性系的规律。 1 惯性力是由于非惯性系相对惯性系加速运动引起的，它不是物体间的相互作用，因而，无反作用力，也无施力的物体。常被称为想象的力或虚拟力.2 惯性力影响物体对非惯性系的运动。 * 举例 由车辆中的乘客在车加速，减速；电梯的加减速；等。3 非惯性系中惯性力的确定。 惯性力：惯性力看似抽象，实则具体而现实。例如，当我们处在变速运动的交通工具中时，会直接感受到此的存在力。当火车沿路轨加速运动时，相对地面静止的房屋，树木等在乘客看来是向着火车运动的反方向加速运动，从动力学讲，既然有加速度，一定有力的作用，此力为惯性力。如a车对地F惯F惯 摆无论在车上还是在地面，所受惯性力相同。一个相对车（非惯）静止，而另一个相对车（非惯）加速运动。a* 惯性力与等效原理-广义相对论（略描述）。F惯ma车对地m 再如，光滑的斜面上有一木块，二同样斜面，一个固定在地面，而另一个固定在车上。从非惯性系研究二木块：地上者车上者amgmNF木对车惯1a木对车a木对地gmgmN1N2F惯amgmNF木对车惯2aam地对车木对地a地对车Na地对车a木对地a木对车然而，二木块（地面与车上者)对斜面的压力 不同。N因amamF地对车车对地惯amgmNF木对车惯2aam地对车木对地故在地上者可计为amgmN木对地2 这表明，由地面惯性系和车的非惯性系来研究同一木块，其动力学方程不同，运动规律（运动方程，速度及加速度等)也各异，但物体间的作用力是相同的。为惯性系的动力学方程。 在车加速时，欲保持人相对车静止，车上的人同时受到惯性力和地面对脚下的作用力 ，而 的存在的真实性，使车中人感到了惯性力 真实存在， 。而地上人对车有加速度，该惯性力对车存在，引其人对车有加速度，但没有“真实”的力存在，此惯性力是虚拟力，人无法感觉到它的存在。FFF惯0 FF惯 还有一个问题：如图，为什麽车上的人感觉到了惯性力的存在，而地上的人感觉不到?a车对地F惯F惯F人人 1 在转动参照系（非惯性系）内物体也受到惯性力，即惯性离心力。分析如下：物体随盘一起匀速转动物体随盘一起转动。rmF2rF* 另外两种惯性力简介（了解）从惯性系（地面）看来Fi从非惯性系（盘）看来，物静，0FFi0arFi沿 向外，故称惯性力为惯性离心力。rrmFi2则必须为附加力，为Fi*举例（略） 在环绕地球飞行的宇宙飞船内，物体的惯性离心力与向心力即重力平衡。因而船内的所有物体包括宇航员都处于失重的状态。在太空舱内，宇航员成为一个飘忽不定的人。他可以好不费力握住一个东西，但转体等动作确十分困难。图象中所呈现的宇航员手舞足蹈，是为了自己前进或转体。 * 太空站内的微重力仅是地面上的百万分之一。比如，一个硬币下落1.8m，在太空站内用600s,而在地面上用0.6s。 * 微重力环境对晶体生长，化学反应，种子发育，植物生长，药物治疗，动物的心理和生理等产生显著和微妙的影响。 * 十六国在2005年建立大国际空间站，站内空间约为 ，飞行高度为 ,速度为 ，绕地球一周约90分钟，从船上可看到地球 面积。m13003km350hm1410816. 2%85* 离心力对重力的影响c物体离心力方向地球地球自转重力方向引力方向重力随纬度的变化规律,经计算为cos0035012FF引力重力离心力对重力的影响很小,约千分之几. 2 在匀速转动的参照系中运动的物体，除了上述受的惯性离心力之外，还受到另一惯性力：科里奥利力，简述如下。质点对盘（非惯性系）的相对速度圆盘omVrRV地Vr质点对地（惯性系）的速度则RVVr地对地有RVmF2地合力对盘有RmmVRVmRRVmRVmFr22222地合力地RmmVFRmRVmFrr2222合合惯性离心力科里奥利力mVFr2科此时的科氏力方向同惯性离心力方向，沿Vr方向。科氏力的矢量式VmFr2科例如圆盘omVrF科圆盘omVrF科科里奥利力 (选自Kane Sternhein Physics 04 K162)ABVr 如图所示，盘面光滑，一人站在 点，沿一半径向外的 点以速度 抛一球，则球经一定时间，定会到达 点。ABBVr 如图所示，盘面光滑，一人站在 点，相对匀速转动的盘，以速度 向外的 点抛一球，则球经一定时间，球是否还能会到达 远处的 点呢?为什麽?VrBABABVr 球相对地的速度 应是 与在 点的横向速度 之矢量和，即VVrV 因盘面光滑，对地而言，在与 垂直的方向无外力作用在球上。故球沿直线运动，经一定时间，球由点 运动到点 。CAAV1rV01VV1Vr其中AB对地的轨迹cr0我们先来看一下球相对地面参照系的运动。ABAB对地的轨迹c 注意到盘同时沿逆时针方向转动中，当球到达点 时，抛出点 已相对地转到了点 ，同时盘上的点 也相对地面转到了点 ， 在以转动的盘为参照系看来，球是由点 沿曲线运动到了点 。AABcBAcVr 球相对转动的盘的轨迹如同平抛运动，故在与 垂直的横向有力，此力为惯性力，称为科里奥利力。对盘的轨迹为曲线在看一下球相对转动的盘面是如何运动的。 注意： 和 相对盘面是同一点；而 和 相对盘面是同一点； A ABB 物体受科氏力的方向：在盘上沿盘面的半径向盘缘抛出的物体偏向