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大学物理实验基础知识大学物理实验基础知识802大学物理实验基础理论大学物理实验基础理论第一章第一章 物理实验的认识物理实验的认识第二章第二章 误差与不确定度误差与不确定度第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识要点：要点：物理实验的概念、分类和物理实验课程的任务及程序要点：要点：测量、误差、不确定度的概念测量结果的评价方法要点：要点：有效数字、列表、作图、插值和逐差、最小二乘法92-1 测测 量量10第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识直接测量直接测量：用标准量与待测量进行比较。例如：用标准量与待测量进行比较。例如用直尺测量长度等。用直尺测量长度等。(包括单次直接测量、多次直包括单次直接测量、多次直接测量）接测量）间接测量间接测量：通过测量与待测量有函数关系的其：通过测量与待测量有函数关系的其它量，再经过运算得到待测量值的测量方法。例如它量，再经过运算得到待测量值的测量方法。例如用直尺测量桌子的面积、通过测圆拄体的直径和高用直尺测量桌子的面积、通过测圆拄体的直径和高求体积、通过测圆拄体的体积和质量求密度等。求体积、通过测圆拄体的体积和质量求密度等。测量可以分为测量可以分为直接测量直接测量和和间接测量间接测量两种。两种。11第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识误差误差=测量值测量值-真实值真实值zxx 普遍存在的普遍存在的不可知不可知可正可负取值不定的可正可负取值不定的2-2 2-2 误误 差差1 1、定义、定义 ：121314 是标准偏差是标准偏差,其数值标志误差的离散程度。其数值标志误差的离散程度。,15置信区间和置信概率置信区间和置信概率%3 .68)(1dfP222%5 ,95)(dfP333%7 .99)( dfp,2 ,23 ,3置信概率置信概率置信区间置信区间16)1(12)(nnxxSnijx)1(12)(nxxSnijx)1(12)(nnxxnSSnijxP10 标准偏差标准偏差算术平均值的标准偏差算术平均值的标准偏差 是是x 的的算术平均值算术平均值x171819 由由n=10, n=10, 从表查得从表查得Gn=2.18Gn=2.18经计算知数据经计算知数据98.9798.97在此范围之外，应剔除。在此范围之外，应剔除。例：测得一组长度值例：测得一组长度值 （单位：（单位：cmcm）98.28 98.26 98.24 98.29 98.21 98.30 98.97 98.25 98.23 98.25计算出计算出: : x)(xS=98.257cm, S=0.029cm, 0.010cm除去后还剩九个数据，再计算除去后还剩九个数据，再计算S=0.227cmS=0.227cm,328.98cmx 20不确定度是对测量结果不确定范围的标度不确定度是对测量结果不确定范围的标度uc（x）。)(0 xcuxx相对不确定度：相对不确定度： 测量的不确定度也可以理解为测量的不确定度也可以理解为测量误差可能出现的范围测量误差可能出现的范围，标示着，标示着测量结果的可靠程度。如果不确定度越大，则测量结果可靠性差，测量结果的可靠程度。如果不确定度越大，则测量结果可靠性差，应用价值低，反之，则测量结果的可靠性好，应用价值大。应用价值低，反之，则测量结果的可靠性好，应用价值大。国家技术监督局国家技术监督局1994年建议，置信概率通常取年建议，置信概率通常取0.95，因此当，因此当P=0.95时，不必注明时，不必注明P值。多数的工业和商业用途上所用的约定概值。多数的工业和商业用途上所用的约定概率为率为0.95。第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识（不确定度）（不确定度）0)(cruu 2-3 2-3 不确定度不确定度 1、定义、定义：212、不确定度的分类、不确定度的分类2223合成不确定度合成不确定度-第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识（不确定度）（不确定度）2)(2)()(BAcuuu3、不确定度的相关表述、不确定度的相关表述2422)(BAxcuuu3 3 不确定度的计算（不确定度的计算（重点重点）1.1.直接测量直接测量时的不确定度时的不确定度25计算计算A类不确定度类不确定度：）单次直接测量的）单次直接测量的一般取仪器最小分度的一半，一般取仪器最小分度的一半，也可根据仪器本身给出的级别来计算也可根据仪器本身给出的级别来计算）若对待测量量）若对待测量量x ，测测 n 次得次得 x1，x2xn，则则12)(nniuxxxA第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识（不确定度）（不确定度）x2627282.2.间接测量的不确定度间接测量的不确定度2930第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识（不确定度）（不确定度）将上式写成全增量，由于偏差可正可负，直接相加可能互相抵消，考虑最不利情况应把各项取绝对值再相加。即得算术平均绝对算术平均绝对误差传递公式误差传递公式和算术平均相对误差传递公式（见表算术平均相对误差传递公式（见表1-3-3）：nnnnxxfxxfxxfyyxxfxxfxxfylnlnln22112211理论上可以证明当直接测量量相互独立时其间接测量量的标准偏差的传递公式为标准偏差的传递公式为:31xxxkfy21,若若称为称为平均值的平均值的标准误差传递公式标准误差传递公式第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识（不确定度）（不确定度）若为直接测量量的标准偏差则结果叫标准偏差标准偏差iix)1(12)(nnxxunjjx)(12)(2)().(xixiixiyuxyuxyu32结果表示为：结果表示为：（单位）)( ycuyy%100)(yuUycr第二章第二章 误差和不确定度基础知识误差和不确定度基础知识（不确定度）（不确定度）)(yCu则则y的合成标准不确定度为的合成标准不确定度为mixixxiuxyuxyuxy12)(22)(222)(21.)(.)(.)(21=.)ln(.)ln(2)(222)(21)(21xxyCruxyuxyyuUy的相对不确定度的相对不确定度33当计算公式中含有乘、后计算相对误差较方便误差加减运算时先计算绝对中只含、（当间接测量的计算公式按误差传递公式计算。、;,.)21xxFYuxy除、乘方或开方运算时，先计算相对误差，后计算绝对误差较方便3 3、间接测量结果不确定度评定的步骤、间接测量结果不确定度评定的步骤;)(),(),(zuyuxu1、计算);,(xyxfN 2、计算);(),(NENu3、计算单位)(NuNN%100)()(NNuNEP4、最后结果-“四要素”34P133536第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识有效数字是测量结果的可靠位数加上一位可疑位；如用米尺量一物体测得其长度为如用游标卡尺测为如用千分尺测为mmL)5 . 03 .36(mmL)02. 030.36(mmL)002. 0300.36(注意：1.有效数字的个数? (小数点前不能算,小数点后不能丢)2.十进单位制用科学计数法; 非十进单位制用相应误差3.有效数字的个数越多, 相对误差就越小,精确度则越高有效数字有效数字3.有效数字及其运算（自阅）有效数字及其运算（自阅）37第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识有效数字的运算有效数字的运算1.尾数舍入规则: “四舍六入奇配偶”法2.加减结果保留到与绝对误差最大(小数位数最少)的那个数相同3.乘除结果的有效数字位数(除特殊外)与有效数字最少的相同4.乘方、开方结果的有效数字与其底的有效数字位数相同5.取对数前后有效数字应相同, 故n位有效数字至少用n位对数表6.不确定度不确定度的值通常只取一位(首位是1可取两位有效数字)。国际上规定，测量结果的修约间隔与其不确定度的修约修约各间隔相等。即不确定度给到了哪一位，测量结果也应给出到这一位。例如，用单摆测得某地重力加速度为 g=(9.8120.018)cm/s2不确定度取2位，测量值的有效数字的末位是8和不确定度末位2是同一位的。 (简称“尾数对齐”；一般中间过程可多取一位）38第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识71.3+6.262-0.753+271 71.3+6.3-0.8+271 347.8 34843.7+8.42443.7+8.4252.1252.1 237.50.10= 2.4103 D= 10100100010100020050001000103010331630180050.运用有效数字规则计算下列各式：运用有效数字规则计算下列各式：2241373. 144. 812.98022142. 34137. 144. 81 .980872. 94293. 144. 81 .98049.3910070. 14271特殊情况比最少者多（少）一位。特殊情况比最少者多（少）一位。39用长度为用长度为2000mm的钢卷尺测量讲桌的面积，长的钢卷尺测量讲桌的面积，长为为120.01cm，宽为宽为67.46cm，请正确表示各测量值。请正确表示各测量值。解：由于是单次测量，对钢卷尺的仪器极限误差解：由于是单次测量，对钢卷尺的仪器极限误差 j= 仪仪=1mmmmuB6 . 03/ 13/仪23106.809mmDLS对于面积为对于面积为利用间接测量的不确定度传播公式得到利用间接测量的不确定度传播公式得到s的不确定度为的不确定度为第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识（一般也可取仪器最小分度的一半）（一般也可取仪器最小分度的一半）4.实例分析实例分析例例1：4023222222108 . 0mmuDuLuxfuLDxisi所以测量结果为所以测量结果为mmL6 . 01 .1200%05. 0%1001 .12006 . 0LUmmD6 . 06 .674%09.0%1006 .6746 .0DU2310)8 . 06 .809(mmS%1 . 0sU第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识41例例3 已知金属环的外径D2=（3.6000.004）cm，内径D1=(2.8800.004)cm,高度h=(2.5750.004)cm, 求环的体积V和不确定度U(v)。解： 环的体积 HDDV)(42122575. 2)882. 2600. 3(422 =9.436cm3环体积的对数及其微分为：HDDVln)ln(4lnln21222122222lnDDDDV2122112lnDDDDVHHV1lnP1442代入方和根合成式（代入方和根合成式（1-3-11）有）有22212212212222)()()2()2(12HHDDuDDDuDVuDDv2222222)575. 2004. 0()880. 2600. 3004. 0880. 22()880. 2600. 2004. 0600. 32(610)40. 24 .2418. 3(6109 .64216)109 .64(VuV=0.0081=0.81%3)(08. 00081. 0436. 9cmVuVuVV因此体积为因此体积为 V=9.440.08cm3 43*例例4：用量程为：用量程为50mA、1级的电流表测量电流得级的电流表测量电流得29.8mA，请正确表示测量结果。请正确表示测量结果。解：对电流表的仪器极限误差可根据下式确定解：对电流表的仪器极限误差可根据下式确定100级别电表量程由于是单次测量，所以由于是单次测量，所以3 u代入数据计算得：代入数据计算得：mA3 . 03100150第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识44最后结果为：最后结果为：mAI3 . 08 .29%1%100测量值E以上计算对电压表等也是适用的，大家可以参照以上计算对电压表等也是适用的，大家可以参照进行其它项目计算。进行其它项目计算。第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识45*例例5：用：用0.1级标准电阻箱提供级标准电阻箱提供100的的电阻，请正确表示结果。电阻，请正确表示结果。解：电阻箱面板如图所示解：电阻箱面板如图所示根据题意，提供根据题意，提供100 电阻必须电阻必须使用使用099999.9两接线柱，再根两接线柱，再根据表据表3-8得：得：查阅教材查阅教材36页，电阻箱的仪器页，电阻箱的仪器误差表示为：误差表示为：%RRmba仪1.006.0310010042.01.01003仪第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识46最后结果为：最后结果为：1 . 00 .100R%1 . 0%100电阻值E第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识47第三章第三章 数据处理基本知识数据处理基本知识 5. 常用数据处理方法常用数据处理方法列表法列表法 ：把实验数据按一定形式和循序对应表格列出作图法作图法：把实验数据间的关系用几何图形表示出来，形象、直观地反映数据之间的变化规律和函授关系。作图法是实验技能中的一项基本功。种类有求直线的斜率和截距法、 曲线改直法（如单摆法测量重力加速度 校正曲线（如电表改装实验中的“电表校正曲线”）逐差法逐差法：把自变量等间距变化的测量数据分成两组，然后将对应项分别相减再求平均值。此法计算简便并能及时发现数据差错和数据规律，同时也具有减小误差的效果。如“牛顿环测透镜的曲率半径”)4;22gkkTL48线性拟合法线性拟合法(最小二乘法最小二乘法或线性回归法 ）：利用一组实验数据描绘的图线寻求最佳的拟合曲线, 求得变量之间的函授关系 由实验测得一组x、y的数据为Xi ,Yi (i=1, 2, .n),根据最小二乘法原理（即令从直线上的一点到测得的数据点，对同一Xi其数值的偏差是平方和为最小）和统计理论，可求出上式中参数分别为 222)()()()(iiiiiiiXXnYXXXYa22)()()()(iiiiiiXXnYXYXb相关系数 )()()()()()(2222iiiiiiiiYYnXXnYXYXn49a为拟合直线为拟合直线y=a+bx的的y轴截距，轴截距，b为拟合直线的斜率为拟合直线的斜率，相关系数 表示各数据点靠近拟合直线的程度。值在-1到+1之间， 值接近1，各数据点就越靠近拟合直线。采用最小二乘法计算，计算工作量较大，随着计算工具的不断发展，目前许多小型计算器（如fx-3600P，fx-180等） 已具有这方面的功能，在没有具有数据拟合功能的计算器时，为避免计算过程出错，可通过列表的方式来进行表1-3-4 直线拟合参数和r计算因素2iX2iY测量次数iXi Yi XiYi 1 2 3 n nXiyiXi2Yi2XiYi2iX2iY50又可证明a 、b 的标准偏差Sa 、Sb为bnSb. )21(2biaSnXS.2