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大学物理第一章质点运动学大学物理第一章质点运动学大学物理（1）授课学时共64学时 演示实验4学时.讲授内容: 经典力学 (力学17章） 波动光学（光学22、23、24章） 狭义相对论基础（力学8章） 和热学（热学9、10章）教务处主页 网络教学平台 可下载课件和考试大纲等当质点在空间运动时，其位置随时间不断变化当质点在空间运动时，其位置随时间不断变化)(trr 或或)()(tyytxx )()(tyytxx )(xfy 称为质点的称为质点的轨道方程轨道方程削去削去t2、质点的运动方程（运动函数）、质点的运动方程（运动函数）它们给出任一时刻质它们给出任一时刻质点的位置点的位置，表示质点表示质点的运动规律的运动规律，称为质称为质点的点的运动方程运动方程。矢量式矢量式分量式分量式即在运动方程中，消去即在运动方程中，消去t t得得y=f(x), ,此方程称此方程称为质点的为质点的轨道方程轨道方程。轨道是直线的称为。轨道是直线的称为直直线运动线运动，轨道是曲线的称为，轨道是曲线的称为曲线运动曲线运动。tytx3sin63cos63622 yx1.2 位移和速度位移和速度一、位移：一、位移：)()(trttrr 0r )(ttr )(trr )()(trttrrrr注意：注意：方向：由方向：由P Q trttrr大小大小 ：PQ间直线距离间直线距离r)(tr Px y z 0Q)(ttr反映反映 t内质点位置的移动内质点位置的移动(大小、方位大小、方位)r路程与位移的区别路程与位移的区别路程是路程是t t内走过的内走过的轨道的长度轨道的长度（ P P1 1，P P2 2间曲间曲线距离），用线距离），用s s表示，表示，为标量为标量)(trr y zQ P 0Sx)(ttrrS 一般一般但但0trddS位移为位移为矢量矢量, ,其大小是质点其大小是质点实际移动的直线距离实际移动的直线距离。2.瞬时速度瞬时速度0limtrvt 1.平均速度平均速度trv方向方向：r 方向方向大小大小：tr 二二、速度速度( (描述质点运动快慢和方向的物理量描述质点运动快慢和方向的物理量) )dtrd)(trr瞬时速度的瞬时速度的方向方向就是就是 t0 时位移时位移的方向。的方向。由图可知，在由图可知，在 t0 的过程中，位移由的过程中，位移由割线割线切线切线。)(ttQ)(tPr o运动路径运动路径( )r t()r tt大小大小：dtrdvr 方向方向：的极限方向，即沿轨道切向并指向前进一方的极限方向，即沿轨道切向并指向前进一方瞬时速度瞬时速度jdtdyidtdxv二维直角系分量式：二维直角系分量式：dtdyvdtdxvyx dtrdvj yi xrjvivvyx22yxvvv 速度大小：速度大小：速度方向速度方向：xyvvtg 为为 与与 轴正向间夹角轴正向间夹角xv3、速率、速率平均速率平均速率tSv )vv瞬时速率瞬时速率dtdStSvt 0limvdtrd 注意注意:平均速率并不等于平均速度的大小平均速率并不等于平均速度的大小 瞬时速率等于瞬时速度的大小瞬时速率等于瞬时速度的大小,(rS1.3 加速度加速度描述速度改变程度的物理量描述速度改变程度的物理量平均加速度平均加速度tva1、加速度定义、加速度定义)()(tvttvvdtvdtvlimat0 P1x y P2 0)(ttr )(tr)(tv)(ttv)(ttv )(tvv 大小大小：dtvda方向方向： 的极限方向，的极限方向， 且指向轨道凹侧且指向轨道凹侧v 瞬时加速度瞬时加速度)(tvv22dtrdjaiajdtdvidtdvayxyx 2、加速度分量式、加速度分量式22xyaaa2222dtyddtdvadtxddtdvayyxx 大小大小：方向方向：xyaatg 轴正向间夹角与为xadtvdajvivvyx小结：描述质点运动的状态参量的特性：小结：描述质点运动的状态参量的特性：（2）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别）瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别 22dtrddtvda dtrdv trr , ),(状态参量包括状态参量包括：（1）矢量性。注意矢量和标量的区别。）矢量性。注意矢量和标量的区别。（3）相对性。对不同参照系有不同的描述。）相对性。对不同参照系有不同的描述。ar在直角坐标系中可写成在直角坐标系中可写成：kzj yi xrkjizyxkajaiaazyx(A)xyzoijkkji分别是分别是x、y、z的的方向的单位矢量方向的单位矢量直角坐标系直角坐标系由基本关系式由基本关系式tatrddddvvtztytxzyxddddddvvvtatatazzyyxxddddddvvv有：有：ktjtitaktzjtyitxzyxdddddddddddd比较比较(A)(B)两组式子，有：两组式子，有：(B)xytgyxrr122xyyxtgvvvvvv122xyyxaatgaaaa122jivt4222 求求t=0t=0秒及秒及t=2t=2秒时质点的速度，并求后者的大小秒时质点的速度，并求后者的大小和方向。和方向。解：解：jti tr)(222 例例1 1、用矢量表示二维运动，设、用矢量表示二维运动，设方向：方向：轴正向的夹角与为xv2626324arctanm/s47. 442222 v大小：大小：ivt200 j tidtrdv22 例例2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为已知质点位矢随时间变化的函数形式为jtitr)32(42 求（求（1）质点轨迹）质点轨迹 （2）从）从t=0到到t=1的位移的位移（3）t=0和和t=1两时刻的速度和加速度两时刻的速度和加速度2)3( yx jirrr24)0(1ji tdtrdv28idtvda8例例3.设质点运动方程为：设质点运动方程为：j tRi tRrsincos 式中式中皆为常量皆为常量 、R则质点的则质点的 v dtdvj tRi tRcossin 0 v R0dtvd1.4 直线运动直线运动运动方程运动方程 x=x(t)速度速度 v= v(t) = dx/dt 加速度加速度 a =a(t) =dv/dt 例例4.一质点沿轴一质点沿轴x运动，其坐标运动，其坐标x和时间和时间t的关系为的关系为tx6sin3 求：求：t=6s时质点的位置、速度和加速度时质点的位置、速度和加速度.1.已知运动方程求速度和加速度用微分已知运动方程求速度和加速度用微分Mh1h2xMxxxhhhxM211vhhhvM211例例4 4：灯距地面高度为：灯距地面高度为h h1 1，一个人身高为，一个人身高为h h2 2，在灯下以匀速率在灯下以匀速率v v沿水平直线行走，如图所示，沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子则他的头顶在地上的影子M M点沿地面移动的速点沿地面移动的速度为多少？度为多少？例例5湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率 收收绳，绳不伸长、湖水静止。求：船靠岸的速率？绳，绳不伸长、湖水静止。求：船靠岸的速率？hs0v解：解：l22hls 0lvdsvdts ，0dlvdt 0v2203h vas 2.已知加速度或速度求运动方程用积分已知加速度或速度求运动方程用积分t=0t=0为初始时刻，为初始时刻，t=0t=0时质点所在位置时质点所在位置x0称为初始位置，称为初始位置，质点的速度质点的速度v0 0称为初始速度，初始位置和初始速度通称为初始速度，初始位置和初始速度通常称为质点运动的常称为质点运动的初始条件初始条件(x(x0 0,v,v0 0).).速度速度 v= v(t) = dx/dt加速度加速度 a =a(t) =dv/dt txxdttvxxdx000)( tvvdttavvdv000)( v= v0+at20021attvxx )(02022xxavv 匀加速直线运动匀加速直线运动a= =常量，可有：常量，可有：典型：自由落体典型：自由落体 上抛运动上抛运动例例7.一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其加速度轴作直线运动，其加速度a与时与时间间t的关系为的关系为)2sin1 (ta)2sin2(222tttx求质点的运动方程求质点的运动方程. 其中其中 为常量为常量.设设t=0时,v=0,x=0.、例例8.8.一物体悬挂在弹簧上作竖直运动，其加速度一物体悬挂在弹簧上作竖直运动，其加速度为为a=-ky，式中，式中k为常量，为常量，y是以平衡位置为原点是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标所测得的坐标，假定振动的物体在坐标y0 0处的速处的速度为度为v0 0，试求速度，试求速度v与坐标与坐标y的函数关系式。的函数关系式。提示：dydvvdtdydydvdtdva 习题指导典例习题指导典例5 6 5 6 习作题习作题15151.5 抛体运动抛体运动典型的匀加速运动典型的匀加速运动agxyo0初速度为初速度为0与水平方向夹角为与水平方向夹角为 0vgsincos0000000vvvvyxyx初始条件：取抛出时刻为初始时刻初始条件：取抛出时刻为初始时刻t0质点运动状态量是：质点运动状态量是：20021sincosgttytx速度分量式：速度分量式：gtyxsincos00位矢分量式：位矢分量式：gaayx 0加速度分量式加速度分量式： 2022costanvgxxy 轨迹方程：xyo0gvTsin20gvY2sin220gvX2sin201.运动的独立性与叠加性运动的独立性与叠加性运动的独立性：运动的独立性：如果一个质点同时参与几个如果一个质点同时参与几个分运动，其中任何一个运动都不受到其他运分运动，其中任何一个运动都不受到其他运动的影响，就好像只有自己存在一样。动的影响，就好像只有自己存在一样。运动的叠加性：运动的叠加性：质点的一般运动可以看做由质点的一般运动可以看做由几个相互独立的运动的合成。例如斜抛体运几个相互独立的运动的合成。例如斜抛体运动动讨论讨论一质点在一质点在oxyoxy平面内作二维曲线运动，已知其加速度平面内作二维曲线运动，已知其加速度a ax x=2,a=2,ay y= 36 t= 36 t2 2。设设: : 质点质点 t t0 0 时时 r r0 0=0, v=0, v0 0=0=0。求：求：(1)(1)此质点的运动方程；此质点的运动方程；(2)(2)此质点的轨道方程。此质点的轨道方程。 )(dtdvadtdvayyxxdttdvdtdvyx236 2 tvytvxdttdvdtdvyx0200036 2 12 23tvtvyx 解：解：练习练习1 1dtdyvdtdxvyx jtitrtytx42423 3所以质点的运动方程为：所以质点的运动方程为：dttdytdtdx312 2 tytxdttdytdtdx0300012 2423 tytx jti tv3122 上式中消去上式中消去t,得得 y=3x2 即为即为轨道方程轨道方程可知是抛物线。可知是抛物线。jtitrtytx42423 3( (2)2)轨道方程轨道方程1.6 圆周运动圆周运动)(t一、匀速圆周运动一、匀速圆周运动 向心加速度向心加速度特点：特点：速度大小不变，方向速度大小不变，方向时刻在变。加速度只改变速时刻在变。加速度只改变速度的方向，而且永远指向圆度的方向，而且永远指向圆心心-向心加速度：向心加速度：tat0limRvan2方向：永远指向圆心方向：永远指向圆心-向心加速度向心加速度-速度方向的变化率速度方向的变化率oR)(t)(ttcv二、变速圆周运动二、变速圆周运动 切向加速度切向加速度 法向加速度法向加速度)()(ttttttvvtntvttv)()(tat0limttttnt00limlim速度三角形速度三角形oR)(tt)(tnt)(t)(tt速度三角形速度三角形tat0limttttnt00limlimtnaa法向法向切向切向oR)(tt)(t)(t)(ttnt1）法向加速度意义法向加速度意义反映速度方向的变化反映速度方向的变化Ran2瞬时性瞬时性( (大小、方向大小、方向) )正值正值Ran21Ran222 2）切向加速度的意义）切向加速度的意义ttvattdd0lim瞬时性瞬时性可正可负可正可负vtvttvvt)()(大小大小 等于速率的变化率等于速率的变化率方向方向 轨道的切线方向轨道的切线方向0ta0ta表示速率随时间增大表示速率随时间增大 与与 同方向同方向 tav表示速率随时间减小表示速率随时间减小 与与 反方向反方向vta反映速度大小的变化反映速度大小的变化用自然坐标系分析变速圆周运动用自然坐标系分析变速圆周运动三、自然坐标系三、自然坐标系 natural coordinates切向切向 ：质点前进的方向即：质点前进的方向即该该点速度方向点速度方向( (切向切向) )的单位矢量的单位矢量n 法向法向 ：与切向垂直，指向：与切向垂直，指向曲线凹的一面。曲线凹的一面。规定依赖质点的单位矢量规定依赖质点的单位矢量n 如质点作圆周运动如质点作圆周运动 t时刻，运动到时刻，运动到P点点,速度方向如图示。速度方向如图示。Pn法向方向指向圆周的圆心，法向方向指向圆周的圆心，该点运动的加速度是该点运动的加速度是ttanaatn 的夹角与为 arctan 22aaaaaann 圆周运动的加速度是：圆周运动的加速度是：tnanaataRatndd2减速圆周运动减速圆周运动 90 atana anata 加速圆周运动加速圆周运动a、 夹角夹角 90 *一般平面曲线运动一般平面曲线运动R为曲率半径为曲率半径dtdvatntRtanaatn Rvan2注意：注意：各量的不同。各量的不同。dtvdadtvdaadtdva adtdvdtvdaa22tnaadtvdvO1a2a3a4a思考：思考： 左图中左图中分别是什么情形？分别是什么情形？ 的情的情形是否能存在？形是否能存在？321aaa,4a1a2a3a4aa平均角速度平均角速度瞬时角速度瞬时角速度四、圆周运动的角量描述四、圆周运动的角量描述角运动方程角运动方程)(t t Rx0 r* 角位移角位移* 角坐标角坐标 dtd lim0tt匀速圆周运动周期匀速圆周运动周期2T20021ttt0)(02022 质点作质点作匀变速圆周运动匀变速圆周运动（即（即 不变）不变）时，其角量的时，其角量的变化规律与匀变速直线运动中线量的规律相似，表变化规律与匀变速直线运动中线量的规律相似，表示如下：示如下：dtdtlimt 0瞬时角加速度瞬时角加速度平均角加速度平均角加速度 t 2/srad圆周运动的角量和线量的关系圆周运动的角量和线量的关系RS RdtdRdtRdRdtdRdtRd)(22)(RRR参考方向参考方向o)(tP)(ttQttddddSRdtdsv dtdvatRvan2dSRd例例. .一质点沿半径为一质点沿半径为0.10.1m的圆周运动，其角位移的圆周运动，其角位移随时间随时间t 的变化规律是的变化规律是 (SI)(SI)在在t=2s=2s时，它的法向加速度时，它的法向加速度an= = ；切向加速度切向加速度at= = . .242t25.6m/s20.8m/s2如图所示，质点如图所示，质点P P在水平面内沿一半径为在水平面内沿一半径为R=2mR=2m的的圆轨道转动。转动的角速度圆轨道转动。转动的角速度与时间与时间t t的函数关的函数关系为系为=kt=kt2 2（k k为常量）。已知为常量）。已知t=2st=2s时，质点的时，质点的速度值为速度值为32m/s32m/s。试求。试求t=1st=1s时，质点时，质点P P的速度与加的速度与加速度的大小。速度的大小。RoPK=4 v=Rw=4Rt2=8m/sat=R=8Rt=16m/s2an=R2=32m/st=1s时4 .631632arctanarctanaan2ntsm /.aaa83522 tanRx 22secsec69.8/dvRRm sdt例例: : 质点作平面曲线运动，其运动方程为质点作平面曲线运动，其运动方程为j titrcos22（SI）求求 (1) t=1s (1) t=1s时，切向及法向加速度时，切向及法向加速度; ; (2) t=1s (2) t=1s时，质点所在点的曲率半径时，质点所在点的曲率半径. .解解: 1.: 1. j ti trdtdvsin4)(sin16222ttvvj tidtvdacos42)(cos1624taav2)1(sm4 ta2222)1(sm tnaaa22)1()1(sm;sm4 nav216mR)(sin16cossin23221ddv2223ttttttat 4.正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即即 ，式中，式中 为常数，试求电艇关闭为常数，试求电艇关闭发动机后行驶发动机后行驶x距离时的速度。已知发动机关闭时距离时的速度。已知发动机关闭时电艇的速度为电艇的速度为v0。2kvdtdvk2dvdv dxkvdtdx dt kxevv0典例典例6.一粒子沿抛物线轨道运动，且一粒子沿抛物线轨道运动，且知。试求粒子在处的速度和知。试求粒子在处的速度和加速度。加速度。2xy smvx/3mx32jiv43 ja18典例典例5 ：一质点沿：一质点沿 x 轴运动轴运动,其加速度其加速度 a 与位与位置坐标的关系为置坐标的关系为 a=3+6x2 (SI),如果质点在原如果质点在原点处的速度为零点处的速度为零,试求其在任意位置处的速度。试求其在任意位置处的速度。vx 处的速度为解：设质点在dtdxdxdvdtdva,)63(002dxxvdvvxdxdvvx263)4(631/2xxv1.7 1.7 相对运动相对运动运动的描述是相对的。运动的描述是相对的。参考系参考系SS相对参考系相对参考系S S平动平动研究的问题研究的问题: : 同一同一物体在物体在不同不同的参考系中各自测量的参考系中各自测量 的状态参量之间的关系的状态参量之间的关系实验室参照系（实验室参照系（S S ） 相对观察者固定相对观察者固定运动参照系（运动参照系（SS） 相对上述参照系运动相对上述参照系运动u平动速度为平动速度为研究的问题是：研究的问题是：t 时刻质点运动到时刻质点运动到P点点两个相对平动两个相对平动坐标系如图坐标系如图S系描述的物理量是系描述的物理量是:arS系描述的物理量是系描述的物理量是:arxxyyoouS系系S系系rr tPxxyyoouS系系S系系rr引入矢量引入矢量SSr由图得由图得P点在两个相点在两个相对平动的参考系中对平动的参考系中SSrrrSSr位矢关系：位矢关系： tP位移关系：位移关系：SSrrrtrtrtrss两边除两边除 t t，得速度关系得速度关系:uvvtrtrtrtttss000limlimlim取极限取极限称为称为伽利略速度变换伽利略速度变换例：可用速度关系解释：例：可用速度关系解释：雨天骑车，人只雨天骑车，人只在胸前铺一块塑料布即可遮雨。在胸前铺一块塑料布即可遮雨。 雨对地雨对地= 雨对人雨对人+u人对地人对地(骑车骑车)（ ） （ ） （u ） 雨对地雨对地u人对地人对地(骑车骑车) 雨对人雨对人加速度关系：加速度关系： 在在SS相对于相对于S S平动的条件下平动的条件下SSaaa .constu若若则则0SStuaddaa加速度关系变为加速度关系变为udtuddtvddtvd在相对作匀速直在相对作匀速直线运动的参考系线运动的参考系中观察同一质点中观察同一质点的运动时，所测的运动时，所测的加速度是相同的加速度是相同的的位移关系：位移关系：SSrrr速度关系：速度关系： uSSrrr位矢关系：位矢关系：ssaaa加速度关系加速度关系1）以上结论是在）以上结论是在绝对时空观绝对时空观下得出的下得出的讨论讨论 只有只有假定假定“长度的测量不依赖于参考系长度的测量不依赖于参考系” （空间的绝对性），（空间的绝对性），才能给出：才能给出：SSrrrSSrrr和和 只有只有再假定再假定“时间的测量不依赖于参考系时间的测量不依赖于参考系” （时间的绝对性），（时间的绝对性），才能给出：才能给出：aau和和绝对时空观只在绝对时空观只在 u c 时才成立。时才成立。 2）不可混淆不可混淆“运动的合成分解运动的合成分解” ” 和和 “伽利略速度变换关系伽利略速度变换关系” ” 运动的合成运动的合成是在是在一个一个参考系中，参考系中，总能成立；总能成立；伽利略速度变换伽利略速度变换则应用于则应用于两个两个参考系之间，参考系之间，只在只在u c时才成立。时才成立。第第1章结束章结束例：当一列火车以当一列火车以 36km/h 的速率向东行驶时的速率向东行驶时,相对与地面匀速竖直下落雨滴相对与地面匀速竖直下落雨滴 ,在列车的窗子在列车的窗子上形成的雨迹与竖直方向成上形成的雨迹与竖直方向成 30角。角。(1) 雨滴雨滴相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的相对于地面的水平分速有多大？相对于列车的水平分速有多大？水平分速有多大？(2) 雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车雨滴相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？的速率如何？v雨对车v雨对地v车对地30解：解：(1)vvv车对地雨对车雨对地根据竖直向下，雨对地v其水平分量为零。(2)的水平分量的大小为雨对车vm/s10/36hkmv车对地由图：30ctgvv车对地雨对地30sin/vv车对地雨对车m/s3.17m/s20例例1.一粒子沿抛物线轨道运动，且一粒子沿抛物线轨道运动，且知。试求粒子在处的速度和知。试求粒子在处的速度和加速度。加速度。2xy smvx/3mx32jiv43 ja18练习练习2 ：一质点沿：一质点沿 x 轴运动轴运动,其加速度其加速度 a 与位与位置坐标的关系为置坐标的关系为 a=3+6x2 (SI),如果质点在原如果质点在原点处的速度为零点处的速度为零,试求其在任意位置处的速度。试求其在任意位置处的速度。vx 处的速度为解：设质点在dtdxdxdvdtdva,)63(002dxxvdvvxdxdvvx263)4(631/2xxv练习3： 一质点在一质点在 oxy 平面内作曲线运动，其加速度平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。已知是时间的函数。已知 ax= 2, ay= 36 t2。 设设: 质点质点 t0 时时 r0=0, v0= 0。求：。求：(1)此质点的运动方程；此质点的运动方程；(2)此质点的轨道方程。此质点的轨道方程。(3)此质点的切向加速度此质点的切向加速度解：解： )(dtdvadtdvayyxxdttdvdtdvyx236 2 tvytvxdttdvdtdvyx0200036 2 12 23tvtvyx jti tv3122 dtdyvdtdxvyx jtitrtytx42423 3所以质点的运动方程为：所以质点的运动方程为：dttdytdtdx312 2 tytxdttdytdtdx0300012 2423 tytx (2)上式中消去上式中消去t,得得 y=3x2 即为即为轨道方程轨道方程可知是抛物线。可知是抛物线。4262636121621444864821ttttttdtdva 622231444 12 2 )3(ttvvvtvtvyxyx 练习练习3： 某质点的运动方程为某质点的运动方程为 x =2t 7t3+3（SI）,则该质点作则该质点作 D (A)匀加速直线运动匀加速直线运动,加速度沿加速度沿 x 轴正方向轴正方向;(B)匀加速直线运动匀加速直线运动,加速度沿加速度沿 x 轴负方向轴负方向;(C)变加速直线运动变加速直线运动.加速度沿加速度沿 x 轴正方向轴正方向;(D)变加速直线运动变加速直线运动,加速度沿加速度沿 x 轴负方向。轴负方向。ta42