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大学物理第大学物理第2 2章章- -回顾回顾P.2/42质点动力学质点动力学第2章 质点动力学质点动力学的任务：质点动力学的任务：研究物体之间的相互作用，及研究物体之间的相互作用，及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。amF对时间积累对时间积累ptFI动量定理动量定理对空间积累对空间积累kcosEFsA动能定理动能定理机械能守恒机械能守恒力矩力矩FdM 定轴转动物体的平衡定轴转动物体的平衡角动量定理角动量定理角动量守恒角动量守恒动量守恒动量守恒以以“力力”为中心为中心 以以“能量能量”为为中心中心 P.3/42质点动力学质点动力学P.4/42质点动力学质点动力学P.5/42质点动力学质点动力学P.6/42质点动力学质点动力学P.7/42质点动力学质点动力学P.8/42质点动力学质点动力学P.9/42质点动力学质点动力学amFFAT1f0A1NgmF111NfamFFFFBT2f1f0B1N2NgmFF222Nf由由A式：式：amFgmATA1由由B式：式：amFgmmgmFBTBA2A1)(解得：解得：N2 .13FyxmAg FTFf1 FN1mBg FN1Ff1Ff2 BF T FN2AP.10/42质点动力学质点动力学xy例例2 质量为质量为m的小球最初位于的小球最初位于A点，然后沿半径为点，然后沿半径为R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。圆弧面的作用。mgFN解：tmmgddcosvRmmgF2Nsinv ddddddddRtsstvvvvdcosdRgvvAP.11/42质点动力学质点动力学00dcosdRgvvvsin212Rgvsin2RgvRRgmmgFsin2sinNRmmgF2Nsinvsin3mgxyANFgmP.12/42质点动力学质点动力学例例3 由地面沿铅直方向发射质量为由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计空气阻力及其他作用力，设地球半径为空气阻力及其他作用力，设地球半径为6378000m）解：设地球半径为设地球半径为R，地球表面的重力近似等于引力：，地球表面的重力近似等于引力：mgRmMG22gRGM 宇宙飞船受的引力：宇宙飞船受的引力：222ymgRymMGF运动方程：运动方程：y22ddymgRtmvytyytddddddddvvvv22ddyygR vvvgmP.13/42质点动力学质点动力学两边积分：两边积分：yRyygR22dd0vvvv)11()(212202RygRvv)11(22202yRgR vv飞船脱离地球引力时：飞船脱离地球引力时：令令 v = 0v = 010skm2 .112gRvv,y 0P.14/42质点动力学质点动力学BA例例4 密度为密度为 1的液体，上方悬一长为的液体，上方悬一长为l，密度为，密度为 2的的均质细棒均质细棒AB，棒的，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：棒刚好全部浸入液体时的速度。棒刚好全部浸入液体时的速度。若若 2 m2 ）。求：（）。求：（1）物体）物体相对于电梯的加速度；（相对于电梯的加速度；（2）绳子的张力。）绳子的张力。解：解：ramFamgm1T11ramamgmF222T2121)()(mmagmmar)(22121TagmmmmFaraam1am2消去消去TFTFTFTFgm2gm1P.20/42质点动力学质点动力学2-2-1 动量动量：动量：运动质点的质量与速度的乘积。运动质点的质量与速度的乘积。vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量： iniiniimppv11冲量：冲量：作用力与作用时间的乘积。作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：21d)(ttttFI单位：单位：NsP.21/42质点动力学质点动力学质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。的冲量等于质点动量的增量。000vvmmpptFItt d动量定理的微分式：动量定理的微分式：tFpddppptFtti 00d微分式：微分式：tpFidd注意：注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。系统的内力不能改变整个系统的总动量。 内力的冲量起什么作用？内力的冲量起什么作用？P.22/42质点动力学质点动力学O例例6 质量质量m = 1kg的质点从的质点从O点开始沿半径点开始沿半径R = 2m的的圆周运动。以圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 。试求从。试求从 s到到 s 这段这段时间内质点所受合外力的冲量。时间内质点所受合外力的冲量。25 . 0ts21t22t解：解：22121s211Rs222122s22Rsttsddv11sm2v12sm2v1vm2vmP.23/42质点动力学质点动力学11smkg2vm12smkg2vm)(12vvvmmmI1222221smkg642vvvmmm1smkg69. 76I22tan12vvmm44541vm2vm)( vmP.24/42质点动力学质点动力学例例7 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4 105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t。（。（2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量的冲量I。（。（3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005tFs003. 010440035t（2）sN6 . 032104400d3104400d003. 0025003. 005tttttFI（3）0vmIg2kg002. 0kg3006 . 0vImP.25/42质点动力学质点动力学 如图用传送带如图用传送带A输送煤粉，料斗口在输送煤粉，料斗口在A上方高上方高h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在处，煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连上。设料斗口连续卸煤的流量为续卸煤的流量为q=40kgs-1，A以以v = 2.0ms-1的水平速的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A的作用的作用力的大小和方向。力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤粉质量不计相对传送带静止的煤粉质量) hAvP.26/42质点动力学质点动力学 解：解：煤粉对煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的平均冲力。这个的平均冲力。这个大小等于煤粉大小等于煤粉，方向与煤粉动量改变量的方向相反，方向与煤粉动量改变量的方向相反。如何求煤粉动量的改变量？如何求煤粉动量的改变量？ghmmppmppyx2)(00012vv设设 时间内落下的煤时间内落下的煤粉质量为粉质量为 则有则有tm由动量定理由动量定理ptFtFItt21dxy1p初动量初动量2p末动量末动量ppp12P.27/42质点动力学质点动力学可得煤粉所受的平均冲力为可得煤粉所受的平均冲力为)N(2 .1252)N(80ghqtpFqtmtpFyyxxvv(N)14922yxFFF4 .57802 .125arctgarctgxyFFx轴轴的的夹夹角角与与1pxy2pppp12FOF 煤粉给传送带的平均冲力为煤粉给传送带的平均冲力为6 .1224 .57180轴轴的的夹夹角角为为与与xN149FP.28/42质点动力学质点动力学系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。常矢量iimpv条件：条件： 0iFP.29/42质点动力学质点动力学说明： 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。（3） 若系统所受外力的矢量和若系统所受外力的矢量和0 0，但合外力在某个坐，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。（4） 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。动量守恒定律在微观高速范围仍适用。（5） 动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。（2 2）系统动量守恒的条件：）系统动量守恒的条件： 系统不受外力；系统不受外力； 合外力合外力=0=0； 内力内力外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，内力时间极短的过程中，内力外力，可略去外力。外力，可略去外力。（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。P.30/42质点动力学质点动力学例例9 火箭以火箭以2.5 103m/s的速率水平飞行，由控制器的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均相对于火箭的平均速率为速率为103 m/s 。火箭容器仓质量火箭容器仓质量m2=200 kg。求容器求容器仓和头部仓相对于地面的速率。仓和头部仓相对于地面的速率。解：解：v= 2.5103 m/svr= 103 m/s 头部仓速率为头部仓速率为v1 1，容器仓速率为，容器仓速率为v2 2 2r1vvv22r21221121)()(vvvvvvmmmmmm1321r12sm1017. 2mmm vvv13r21sm1017. 3vvvP.31/42质点动力学质点动力学例例10 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为 。如果质量为如果质量为mo的飞船以初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为积为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m动量守恒：动量守恒：vvmm00质量增量：质量增量：tSmddvvv00mm tSmmddd200vvvvmvP.32/42质点动力学质点动力学ttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv00002vvvmtSmtmSdd003vvvP.33/42质点动力学质点动力学mxyzrLpO设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢r质点的动量质点的动量vm运动质点相对于参考原运动质点相对于参考原点点O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL单位：单位：kg m2s-12-3-1 质点的角动量P.34/42质点动力学质点动力学sinsinvmrrpL 位位矢矢 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向vmr如果质点绕参考点如果质点绕参考点O 做圆周运动做圆周运动rpOrmprLv角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关。的位置有关。 P.35/42质点动力学质点动力学质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点投影，称为质点对轴线的角动量对轴线的角动量。 LOALAcosLLA设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(质点系的角动量质点系的角动量LP.36/42质点动力学质点动力学质点的角动量质点的角动量 随时随时间的变化率为间的变化率为 L1力对参考点的力矩力对参考点的力矩FrtLdd定义：定义：外力 对参考点O的力矩：FxyzrOMFFrMO力矩的方向由右手螺旋力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于关系确定，垂直于 和和确定的平面。确定的平面。rFmN单位：单位：P.37/42质点动力学质点动力学设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点相对于参考点作用点相对于参考点O的位矢分别为：的位矢分别为： nrrr,21相对于参考点相对于参考点O的合力的合力矩为：矩为：iiOFrMOxyz1rir2r1F2FiFP.38/42质点动力学质点动力学2力对轴的矩力对轴的矩OAAMOM力力 对轴的力矩：对轴的力矩： F力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。FOMcosOAMMAOrFF/FMFrFrM/力力 对轴对轴OA的力矩：的力矩： FFrMP.39/42质点动力学质点动力学tLMOdd12d21LLtMttO质点的角动量定理：质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。合外力对同一参考点的力矩。 角动量定理的积分式：角动量定理的积分式：21dttOtM称为称为“冲量矩冲量矩”tLFrMiidd质点系角动量定理：质点系角动量定理： P.40/42质点动力学质点动力学质点系对质点系对z 轴的角动量定理：轴的角动量定理： tLMzzdd质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式： 2112dttLLtM质点系对质点系对z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律： 系统所受外力对系统所受外力对z z 轴力矩的代数和等于零，则轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。质点系对该轴的角动量守恒。 质点或质点系的角动量守恒定律：质点或质点系的角动量守恒定律： 当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。 P.41/42质点动力学质点动力学证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等等时间内扫过的椭圆面积相等 。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量tSdd有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证毕证毕 证：证：P.42/42质点动力学质点动力学2-4-1 功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它反映了力功是度量能量转换的基本物理量，它反映了力对空间的累积作用。对空间的累积作用。xyzO1rrFFrFrFWcos单位：焦耳（J ）P.43/42质点动力学质点动力学abFrd 质点由质点由a点沿曲线运动点沿曲线运动到到b点的过程中，变力点的过程中，变力 所所做的功做的功 。F元功：rFWddbabarFrFWdcosd在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 zFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxbadddddddP.44/42质点动力学质点动力学 假设物体沿假设物体沿 x 轴运动，外力轴运动，外力在该方向的分力所做的功可用在该方向的分力所做的功可用右图中曲线下面的面积表示右图中曲线下面的面积表示OxFaxbxxFWd：rFsFAWbababaddcosdbazyxzFyFxFdddabOFrdsdrr示功图示功图 (dWFcossabO力力 位移位移曲线下的面积表示力曲线下的面积表示力F所作的功的大小所作的功的大小 P.45/42质点动力学质点动力学合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21n21WWWW结论：合力对质点所做的功等于每个分力对质点合力对质点所做的功等于每个分力对质点做功之代数和做功之代数和。P.46/42质点动力学质点动力学 功是标量功是标量(代数量代数量)W 0 力对物体做功力对物体做功W m1, 则则v1 = - v10, v2 = 0P.77/42质点动力学质点动力学2完全完全非非弹性碰撞弹性碰撞 21202101mmmmvvv由动量守恒定律由动量守恒定律完全非弹性碰撞中完全非弹性碰撞中动动能的损失能的损失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvvP.78/42质点动力学质点动力学牛顿的牛顿的碰撞定律碰撞定律：在一维对心碰撞在一维对心碰撞中，中，碰撞碰撞后两物后两物体的分离速度体的分离速度 v2 2- - v1 1 与与碰撞碰撞前两物体的接近速度前两物体的接近速度 v1010- - v2020 成正比成正比，比值由两物体的材料比值由两物体的材料性质性质决定决定。 3非非弹性碰撞弹性碰撞201012vvvve e 为恢复系数为恢复系数 e = 0，则则v2 = v1，为，为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。 e =1，则分离速度等于接近速度则分离速度等于接近速度，为，为完全弹性碰撞完全弹性碰撞。 一般一般非弹性碰撞非弹性碰撞：0 e 1
