2022年初三数学典型例题及习题精选-人教版 .pdf

初三数学：第七章 圆第一节：圆第二节：过三点的圆第三节：垂直于弦的直径第四节：圆心角、弧、弦、弦心第五节：圆周角第六节：圆的内接四边形第七节：直线和圆的位置关系第八节：切线的判定和性质第九节：三角形的内切圆第十节：切线长定理第十一节：弦切角第十二节：和圆有关的比例线段第十三节：圆和圆的位置关系第十四节：两圆的公切线第十五节：相切在作图中的应用第十六节：正多边形和圆第十七节：正多边形的有关计算第十八节：画正多边形第十九节：圆的周长、弧长第二十节：圆、扇形、弓形的面积第二十一节：圆柱和圆锥的侧面展开图第一节：圆典型例题例 1（天津 2002 中考试题）、已知AB、CD是O 的两条直径，则四边形ACBD 一定是 ( ) （A）等腰梯形（B）菱形（C）矩形（D）正方形分析：问题的关键是圆的两条直径具备什么性质，构成特殊四边形的条件. 解：AB 、 CD是O 的两条直径， AB=CD ，且AB 、CD互相平分，ACBD一定是矩形 . 应选（ C）. 说明 ：巩固圆的定义；研究特殊四边形的顶点共圆问题. 是圆与直线形知识的综合. （此题适宜第一课时用）例 2、已知等腰直角三角形ABC （如图），试取斜边AB上的一点为圆心画圆，使点A、B、C 分别在所画的圆内、圆外和圆上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 43 页分析： 确定一个圆有两个条件：圆心和半径，设选取圆心是点O，因为点 C要在所画圆上，所以OC即为所画的圆的半径（此题适宜第一课时用）解： 作中线 CD ，则 AD=BD=CD，且 CD AB 在 AD上任取一点 0，连接 OC 以 0 为圆心， OC为半径画圆，这个0即符合要求这是因为AO AD=CD OC (垂线段最短 ) ，所以点 A在0 内BO=BD+DO=CD+DO CO( 三角形两边之和大于第三边) ，所以点 B在0 外说明： 该题可以激发学生的思维，提高学习兴趣；在画的过程中，复习和巩固知识，培养学生的思维能力. 例 3、判断题（1）直径是弦（）（2）弦是直径（）（3）半圆是弧（）（4）弧是半圆（）（5）长度相等的两段弧是等弧（）（6）等弧的长度相等（）解（略）说明： 通过原命题和逆命题的对比，深刻理解概念. 另外这样的题目很多，这里知识抛砖引玉. （此题适宜第二课时用）例 4、已知：如图，两同心圆的直径AC 、BD相交于 O点. 求证： AB=CD. 分析： 证AOB COD即可 . 证明 ：两同心圆的直径AC 、BD相交于 O点，O 点为两同心圆的圆心， OA=OC，OB=OD ，又AOB= CODAOB COD （ SAS ）AB=CD.说明 ：此题目不难， 但它是以“同心圆”为背景的，所以该题目重点不是证明过程，而是“同心圆”具备什么性质和特征. （此题适宜第二课时用）习题精选习题 1：圆的有关性质（1）（圆的概念、点和圆的位置关系）1、以 2cm 为半径可以画 _个圆，以 O为圆心可以画 _个圆，以 O为圆心，以 2 为半径可以画 _个圆2、已知O的半径为 5 cm，P 为一点，当OP 5 cm 时，点 P在_；当 OP_ 时，点 P在圆内；当OP大于5 cm 时，点 P在_ 3、在ABC中，C=90 ， AC=2cm ，BC=4cm ，CM是中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点在圆外的有 _，在圆上的有 _，在圆内的有 _ 4、已知O的直径是 6 cm，若 P 是O 内部的一点，则OP的长度的取值范围是( ). (A) OP 6cm (B) (C) (D) 5、点 P到圆上的最大距离为8cm，最小距离为6cm ，求O 的半径，并说明如何找最大距离和最小距离. 6、以O 的半径 OA为边作正方形OABC ，求证点 B 在圆外，点 C 在圆上，两对角线的交点M在圆内 . 习题 1 答案1、无数多，无数多，一个；2、圆上；圆外 . 3 、B，M ，A、C.4、C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 43 页5、解：如图，连接 OP ，直线 OP交O 于 A、B ，设 M是O 上异于点 A和点 B的一点 . 连接 OM 和 MP ，则有 PA=OP+OA=OP+OMPM ，PB=OB-OP=OM-OPPM 由此可以得知PA、PB表示点 P到圆上的最大距离和最小距离. 方法一 设O 的半径为 R，解得 R=7，即O 的半径为 7cm. 方法二 设O 的半径为 R，则有 2R 8+6，解得 R=7 ，即O 的半径为 7cm. 若点 P在圆外，如图，设圆的半径为r ，则有 6 十 2r8，r 1，即圆的半径为1 cm. 即O 的半径为 1cm.故此圆的半径为 7cm或 1 cm 6、解：如图，设OA=R ，则 OC=R=AB=BC. 在 RtOAB中，OC=R ，点C在圆上；，点 B 在圆外；正方形对角线交于M ，点 M在圆内习题 2 圆的有关性质（ 2）1、以点 C 为圆心，任意画三个圆，则它们是_圆. 2、一个圆的最大的弦长为10cm ，则此圆的半径为_. 3、如图，则图中有_条直径，有 _条弦，以 A 点为一个端点的优弧有_个，劣弧有 _个. 4、下列说法正确的是（）（A）两个半圆是等弧（B）同圆中优弧与半圆的差必为劣弧（C）同圆中优弧与劣弧的差必为劣弧（D）由弦和弧组成的图形叫弓形5、如图，已知：O中，A、B在圆上， AM=BN 。求证：四边形ABNM 为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 43 页6、求证：直径是圆中最长的弦. 习题 2 答案1、同心 2 、5cm 3 、1，3，4，4 4 、B 5 （略）6、已知：如图， AB 是O 的直径， CD是非直径的任一弦 . 求证： ABCD. 证明：连结OC 、OD 在ODC中， OC+ODCD，又 AB是O 的直径， AB=CO+ODABCD.第二节：过三点的圆典型例题例 1、如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心分析：根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理可作出圆心作法： (1) 在弧上任取三点A、B 、C；(2) 连接 AC 、BC ；(3) 分别作 AC 、BC的中垂线 MN 、PQ ，相交于点 0，点 0 即为所求圆心说明：此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实. 例 2、如图，在 ABC 中， BD 、CE为ABC的中线，延长BD到 F，使 DF=BD. 延长 CE到 G ，EG=CE. 求证：过 A、G 、F 三点不能作圆分析：只要证明点G 、A、F 三点共线即可证明：连接AG 、AF、BG 、CF. AD=DC、 BD=DF ，四边形 ABCF是平行四边形故AF BC.同理 AGBC 是平行四边形，故AG BC.点 G 、A、F 三点在同一直线上过点 G 、A、F不可能作圆说明：此题是小型一个综合题，主要培养学生的思维能力. 例 3、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ， E 、F 分别是 AD 、BC的中点，连结EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 43 页求证：EF AB分析：对反证法思想的理解和基本步骤的掌握是解决本题的关键. 证明： ( 用反证法证明 ) 假设 EF与 AB不平行，作 EG AB 交 BC于 G(如图所示 )，则E 为 AD的中点， CG BG即 G是 BC的中点一条线段只有一个中点，F不是 BC的中点，这与已知条件矛盾因此假设 EF与 AB不平行是错误的， EF AB说明：此题目的是理解和掌握反证法的基本步骤，是初中应用反证法证明的典例之一. 例 4、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论. 已知：在 ABC中， AB=AC. 求证： A 、B为锐角 . 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：(1) 两个底角都是直角； (2) 两个底角都是钝角；(1) 由A= B=90 则A+ B+ C= A+90 +90180，这与三角形内角和定理矛盾，A= B=90 这个假设不成立. (2) 由 90B 180，90C 180，则 A+ B+ C180 ，这与三角形内角和定理矛盾.两个底角都是钝角这个假设也不成立故原命题正确等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角( 小于 90)”的反面有“是直角( 等于 90)”和“是钝角（大于90)”两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确. 此题是对反证法的进一步理解. 习题精选1、下列命题中正确的为（）（A）三点确定一个圆（B）圆有切只有一个内接三角形（C）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点（D）面积相等的三角形的外接圆是等圆2、钝角三角形的外心在（）（A）三角形的内部（B）三角形的外部（C）三角形的钝角所对的边上（D）以上都有可能3、己知命题： (1) 三角形中最少有一个内角不小于60； (2) 三角形的外心到三角形各边的距离都相等. 下面判断中正确的是（）（A）命题 (1)(2)都正确（B）命题 (1) 正确， (2) 不正确（C）命题 (1) 不正确， (2) 正确（D）命题 (1)(2)都不正确4、用反证法证明ab 时，应先假设 _. 5、若一个圆经过梯形ABCD 的四个顶点，则这个梯形是_梯形 . 6、已知直线a 和直线外的两点A、B ，经过 A、B 作一圆，使它的圆心在直线a 上. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 43 页7、如右上图，在 ABC 中， D、E 两点分别在 AB和 AC上，求证 CD 、BE不可能互相平分. 参考答案： 1、C；2、B； 3、B； 4 、； 5 、等腰； 6、（略）； 7、提示：应用反证法（略）第三节：垂直于弦的直径典型例题1、如图，已知O的直径 AB和弦 CD相交于点 E ，AE=6cm ，EB=2cm ，BED=30 ，求CD的长. 分析要充分利用条件 BED=30 ，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求得未知量 . 解过 O作 OF CD于 F，连结 CO ，AE=6cm ， EB=2cm ，AB=8cmOA=AB=4cm ，OE=AE-AO=2cm，在 RtOEB中， CEA= BED=30 ，OF=OE=1cm. 在 RtCFO中，OF =1cm，OC OA 4cm ，CF=cm又OF CD CD2CF 2cm答： CD的长为 2cm. 说明：此题是利用垂径定理的计算问题. 在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难. 2、已知： ABC 内接于 O ， AB=AC ，半径 OB=5cm ，圆心 O到 BC的距离为 3cm，求 AB的长分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；利用条件构造垂径定理的基本图形解题解：分两种情况：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 43 页（1）如图，过A作 AD BC 于 D，又AB=AC ，点O在 AD上，OD=3cm连结OB ，在 RtODB中，OB=5cm ，OD=3cm ，由勾股定理，得，在 RtADB中， AD=AO+OD=5+3=8cm，由勾股定理，得，（cm）（2）如图，同理可得：AB=（cm）说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题；作辅助线的能力3、在直径为50cm的O 中，弦 AB=40cm ，弦 CD=48cm ，且 AB CD ，求： AB与 CD之间的距离 . 分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解. 解：（略， 8cm，22cm ）说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题. 4、已知：如图，AB是O 的直径， CD是弦，AE CD 于 E ，BF CD 于 F . 求证： CE=DF ；OE=OF 分析：本题的关键是作OH CD ，构造垂径定理的基本图形解题，另外还用到平行线等分线段定理等. 证明：（一）过O作 OH CD 于 H，AE CD ，BF CDAE OH BFAO = BOEH = HFOH CD 且 O为圆心 CH = HD CH EH = HDHF 即 CE = DF EH = HF ，OH EF OH 是 EF的中垂线 OE = OF . 证明（二）延长EO交 BF于 G ，用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE = OF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 43 页说明：（ 1）此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法；（2）让几何动起来 . 引申：让弦CD动起来，与直径AB不相交，让学生在运动中观察、发现问题，培养学生的探究能力. 5、如图， F 是以 O为圆心， BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点， AD BC 于 D ，求证： AD= BF. 分析：（方法一） 由于 A是的中点， 连结 OA可构造垂径定理的基本图形，BE=BF，ADO BEO ， 得 AD=BE= BF. （方法二）如图，补圆，延长AD交O 于 E，造垂径定理的基本图形，问题即可解决. 证明：（略）说明：此题是垂径定理的应用为过程，培养学生的发散思维. 第四节：圆心角、弧、弦、弦心典型例题例 1、如图，已知：在O中，=2 ，试判断 AOB与COD ， AB与 2CD之间的关系，并说明理由. 分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中. 解：AOB=2 COD ， AB CC ，CC 2CD ，即AB0 ，说明：添加辅助线，构造直角三角形；构成典型的双垂直图形，非常重要例 3、（陕西省， 2002）已知：如图，BC为半圆 O的直径， F 是半圆上异于B、C的一点， A 是的中点， AD BC 于点 D，BF交 AD于点 E（1）求证： BE BF=BD BC ；（2）试比较线段BD与 AE的大小，并说明道理分析：（ 1）连结 FC，证BDE BCF 即可；（ 2）要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断证明：（ 1）连结 FC，则 BF FC 在BDE和BCF中，BEC= EDB=90 ，EBC= EBD ，BDE BCF ，即 BE BF=BD BC 解：（ 2）AEBD ，连结 AC 、AB，则BAC=90 ， = ，1=2又2+ABC=90 ，3+ABD=90 ， 2=3，AE=BE 在 RtEBD中，BEBD ，AEBD 说明：训练学生添加辅助线；第（2）小问是教材P102 中 3 题的拓展例 4、（太原市， 2002）如图，已知BC为O 的直径， AD BC ，垂足为D，BF交 AD于 E，且 AE=BF （1）求证：= ；（2）如果 sin FBC=，AB，求 AD的长解：（ 1）连结 AC BC是O 的直径， BAC=90 ，又 AD BC ，垂足为D，1=3在AEB中， AE=BE ，1=22=3，= （2）设 DE=3x，AD BC ，sin FBC=，BE=5x ， BD=4x AE=BE ，AE=5x ， AD=8x在 RtADB中，ADB=90 ， AB，解这个方程，得 x=1 ，AD=8 说明：此题是教材P102 中 3 题的变形；训练学生求线段长度的方法：直接求和列方程求解习题精选1、O 的弦 AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）（A）30（B）150（C）30或150（D）)60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 43 页2、ABC中，B 90，以BC为直径作圆交AC于 E，若 BC=12 ，AB=12，则的度数为（）（A）60（B）80（C）100（D）)1203、如图， ABC 是O 的内接等边三角形，D是 AB弧上一点， AB 与 CD交于 E 点，则图中 60的角共有 ( )个（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4、如图， ABC 内接于 O ，OBC=25 ，则A的度数为（）（A）70（B）65（C）60（D）)505、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5 ，那么这个三角形内角的度数分别为_6、如图， AB是O 的直径， CD AB 于 D，AD=9cm ，DB=4cm ，求 CD和 AC的长7、 已知： 如图， ABC是O 的内接三角形，O 的直径 BD交 AC于 E， AF BD于 F， 延长 AF交 BC于 G 求证：参考答案和提示：1、C；2、A；3、B；4、B；5、45， 60，75；6、提示：连结BC ，构成双垂直三角形，由ADC ACB ，ADC CDB得比例式，求得CD=6cm ，AC= cm7、提示：连结AD ，可证 C= D= BAG ，ABG CBA即可第六节：圆的内接四边形典型例题例 1、圆内接四边形ABCD 中，A 、B 、C的度数的比是327，求四边形各内角度数解：设 A 、B 、C的度数分别为3x、2x、7xABCD是圆内接四边形 A +C=180 即3x+7x=180，x=18，A=3x=54 ，B=2x=36 ，C=7x=126 ，又B+ D=180 ，D=180 一 36144说明：巩固性质；方程思想的应用例 2、（ 2001 厦门市，教材P101中 17 题）如图，已知AD是ABC的外角 EAC的平分线， AD与三角形 ABC的外接圆相交于 D求证： DB=DC 分析：要证DB=DC ，只要证 BCD= CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决证明： AD 平分EAC ，EAD = DA C，EAD为圆内接四边形ABCD的外角， BCD= EAD ，又CBD= DAC ，BCD= CBD ，DB=DC说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁例 3、 如图，ABC是等边三角形， D是上任一点，求证：DB+DC=DA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 43 页分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明证明：延长 DB至点 E，使 BE=DC ，连 AE 在AEB和ADC中，BE=DC ABC是等边三角形 AB=AC 四边形 ABDC 是O 的内接四边形，ABE= ACD AEB ADC AEB= ADC= ABC ADE= ACB ，又 ABC= ACB 60，AEB= ADE=60 AED是等边三角形， AD=DE=DB+BEBE=DC ，DB+DC=DA说明：本例利用“截长”和“补短”法证明培养学生“角相等的灵活转换”能力在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视习题精选1、已知 ABCD是圆内接四边形，若A与C 的度数之比是12，则A的度数是 _度2、若 A，B，C，D 四点共圆，且 ACD为 36，则所对的圆心角的度数是_度3、圆内接四边形相邻三个内角的比是217，则这个四边形的最大角的度数为_度4、圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形5、四边形 ABCD 内接于圆，则 A 、B 、C 、D的度数比可以是 ( ) （A）1234（B）75108（C）131517（D）13246、若 ABCD 为圆内接四边形， AE CD 于 E，ABC=130 ，则 DAE 为（）（A）50（B）40（C）30（D）207、如图，圆内接四边形ABCD 的一组对边AD 、BC的延长线相交于P，对角线 AC和 BD相交于点 Q，则图中共有相似的三角形 ( ) （A）4 对（B）3 对（C）2 对（D）1 对8、如图，已知：ABCD 为圆内接四边形， （1）若 DB CE ， 求证：AD BC=CDBE ； （2）若 AD BC=CDBE ， 求证：DB CE 9、已知：O中，直径 AB垂直弦 CD于 H，E是 CD延长线上一点， AE 交O 于 F求证： AFC= DFE 参考答案： 1、60；2、72；3、160；4、A；5、C；6、B；7、A；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 43 页8、提示：连结AC ，证明 ADC CBE 即可；9、（略）第七节：直线和圆的位置关系典型例题例 1、在 RtABC中，C=90 ， AB=4cm ，BC=2cm ，以 C为圆心， r 为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=1cm；（ 2）r= cm；（3）r=2.5cm 分析如图，欲判定C与直线 AB的关系，只需先求出圆心C 到直线 AB的距离 CD的长，然后再与r 比较即可解：过 C 点作 CD AB 于 D，在 RtABC中，C=90 ， AB=4 ，BC=2 ，AC=2，AB CD=ACBC ，（1）当 r =1cm 时 CDr ，圆 C与 AB相离；（2）当 r= cm 时，CD=r，圆 C 与 AB相切；（3）当 r=2.5cm 时，CD r ，圆 C与 AB相交说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系例 2、在 RtABC中，C=90 ， AB=4cm ，BC=2cm ，以 C为圆心， r 为半径的圆，若直线AB与C ，（ 1）相交；（ 2）相切；（ 3）相离求半径r 的取值解：过 C 点作 CD AB 于 D，在 RtABC中，C=90 ， AB=4 ，BC=2 ，AC=2，AB CD=ACBC ，（1）直线 AB与C 相离，0 rCD，即 0rCD ，即r说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径例 3、如图，在直角梯形ABCD中，AD BC ，C= D=90 ，若AB=6 ，AD=4 ，BC=2 ，试问： DC上是否存在点P，使RtPBC RtAPD ？分析：若 RtPBC RtAPD ，则APD+ BPC=90 ，可知 APB=90 ，所以P点为以 AB为直径的圆O与 DC的交点，由条件可知为O与 DC相切，所以存在一点P，使 RtPBC RtAPD 解：设以 AB为直径的圆为 O ，OP DC ，则：OP为直角梯形ABCD 的中位线，OP= （ AD+BC ） /2=（4+2）/2=3 ，又OA=OB=AB/2=3，OP=OA，O与 DC相切，APB=90 ， APD+ BPC=90 又 PBC+ BPC=90 ，APD= PBC ，又 C= D=90 ，RtPBC RtAPD 因此， DC 上存在点 P，使 RtPBC RtAPD 说明：直线与圆位置关系的应用；此题目可以变动数值，使DC与O 相交、相离习题精选（一）习题精选填空题：1、已知O的直径为 12cm （1）若圆心 O到直线l的距离为 12cm ，则直线l与O 的位置关系为_；（2）若圆心 O到直线l的距离为 6cm，则直线l与O 的位置关系为_；（3）若圆心 O到直线l的距离为 3cm，则直线l与O 的位置关系为_2、已知O的直径为 10cm （1）若直线l与O 相交，则圆心O到直线l的距离为 _；（2）若直线l与O 相切，则圆心O到直线l的距离为 _；（3）若直线l与O 相离，则圆心O到直线l的距离为 _3、两个同心圆，大圆半径R3 cm，小圆半径r2 cm，d 是圆心到直线l的距离，当d=2 cm ，l与小圆的交点个数为_， l与大圆的交点个数为_；当 d=2.5cm，l与小圆的交点个数为 _， l与大圆的交点个数为_4、过圆上点可以作圆的_条切线， 过圆外一点可以作圆的_条切线， 过_点，不存在圆的切线解答题：5、已知O中的最长的弦为8，当圆心到直线l的距离 d 为何值时，直线l与O 相切、相离、相交? 6、在 RtABC中，C=90 ， AB=8cm ，BC=4cm ，以点 C为圆心，半径分别为2cm和 4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系 ?当半径多长时，AB与O 相切 ? 7、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ，C= D=90 ，切AD+BC=AB，AB 为O 的直径，求证：O与 CD相切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 43 页参考答案： 1、相离，相切，相交；2、大于 0 小于 5，等于 5，大于 5；3、一个，两个；没有，两个；4、一条，两条，圆内；5、当 d =4 时，相切；当d 4 时，相离；当0 d 4时，相交6、提示：过点C作 CF AB 于 F，CF=2当 r =2cm时 CFr ，圆与 AB相离；当 r=4cm 时， CFr ，圆与 AB相交；当 r=CF=2时，圆与 AB相切7、提示：过点O作 OE CD于 E ，利用梯形中位线可知，OE= （AD+BC ）/2=AB/2=OA，O 与 CD相切切点个数为6当 r 9 时，O 与ABC不能相切，即切点个数为0第八节：切线的判定和性质典型例题例 1、如图， ABC 内接于大 O ，B C ，小O与 AB相切于点 D求证： AC是小圆的切线分析 AC 与小O 的公共点没有确定，故应过O作 AC的垂线段 OE 再证明 OE等于小圆半径，用“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”来判定AC是小圆的切线证明连结 OD ，作 OE AC 于 E BC ，AB=AC 又 AB与O 小相切于 D，OD AB OE AC ，OD=OE即小O 的圆心 O到 AC的距离等于半径，所以AC是小圆的切线说明 ：（1）本题为证明切线的两个常见方法（连半径证垂直；作垂直证半径）之一；（2）本题为基本题型，但应用到切线的性质和判定；（3）本题为教材110 页例 4 的变形题例 2、（大连市， l 999 ）阅读：“如图 ABC 内接于 O ，CAE= B 求证： AE与O 相切于点 A证明：作直径AF，连结 FC，则ACF 90 AFC+ CAF 90B AFC B+ CAF 90又 CAE= B ， CAE+ CAF 90即 AE与O 相切于点 A问题：通过阅读所得到的启示证明下题( 阅读题中的结论可以直接应用) 如图，已知 ABC 内接于 O P是 CB延长线上一点，连结AP 且 PA2PB PC 求证： PA是O 的切线证明： PA2PB PC ，又 P= P ，PAB PCA PAB= C 由阅读题的结论可知，PA是O 的切线说明 ：（ 1）此题的阅读材料来源于教材第117 页 B 组第 1 题；（ 2）应用“连半径证垂直”证明切线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 43 页例 3、（西宁， 1999）已知：如图， RtABC 中，C=90 ，以AB为直径的O交斜边 AB于 E，OD AB 求证：（ 1）ED是O 的切线；（ 2）2 DE2BE OD证明：（ 1）连结 OE 、CE ，则 CE AB 在 RtABC中，OA=OC，OD AB ，D 为 BC的中点， DE=CD，又OC=OE， OD=OD，COD EOD ，OED= OCD=90 ，ED是O 的切线（2）在 RtABC中，CE AB ，CBE ABC ，CB2BE AB ，OD为ABC的中位线， AB=2OD， BC=2ED ，（ 2ED ）2BE 2OD即 2DE2BE OD说明： 此题为综合题，主要应用切线的性质定理、判定定理、射影定理、中位线定理等知识习题精选1、下列说法正确的是（D ）（A）若直线与圆有一个交点则直线是圆的切线（B）经过半径的外端的直线是圆的切线（C）和半径垂直的直线是圆的切线（D）经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点2、若 CD是O 的切线，要判定AB CD ，还需要添加的条件是（C ）（A）AB经过圆心O （B）AB 是直径（C）AB是直径， B 是切点（D）AB是直线， B是切点3、下列直线，是圆的切线是（ D ）（A）经过半径外端的直线（B）垂直于半径的直线（C）与圆有一个公共点的直线（D）圆心到它的距离等于这个圆的半径长的直线4、两个同心圆的半径分别为3cm和 5cm，大圆的弦AB与小圆相切，则AB= _8_cm5、半圆圆心在RtABC的斜边 BC上，且半圆分别切AB 、AC于 D、 E，AB=4cm ， AC=5cm ，则半圆的半径为 _20/9_cm 解答题：6、如图 AB是O 的直径，点P在 BA的延长线上，弦CD AB ，垂足为E且 PC2PE PO 求证： PC是O 的切线（提示：连结CO ，证PCO PEC ，即可）7、已知：如图，AB是O 的直径， AC l ，BD l ，C 、D是垂足，且AC+BD=AB求证： DC是O 的切线（提示：作OE CD ，证OE=1/2AB即可）8、已知： AB是半O 的直径， EF切半圆于 C点，AE EF 于 E，BF EF 于 F 求证： EF2=4AE BF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 43 页证明：连 CA ，CB ，OC EF 是切线， C 为切点， OC EF 是直径AE EF ，BF EF ，AE OC BFOA=OB ，CE=CFAB 是直径，ACB=90 1+2=90， 1+3=90， 2=3F=E=90 ， EAC FCB =，AE BF=CF EC ，CF=CE= EF， EF2=AE BF ，EF2=4AE BF第九节：三角形的内切圆典型例题例 1、如图， ABC 的内心为 I ，外心为 O ，且BIC=115 ，求 BOC 的度数解：I 为ABC的内心，IBC=ABC ，ICB=ACB IBC+ICB=180 - BIC=180 - 115=65ABC+ ACB=130 A=180 - （ABC+ ACB ）=50又 O是ABC的外心， BOC=2 A=100 说明： （1）此题为基本题型；（2）此题可得： BIC=90 +A ；BOC=4 BIC- 360例 2、已知，在RtABC中，C=90 ， AB=5 ，AC=4 ，求直角三角形内切圆的半径的长分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解解：由勾股定理得：连结 OA 、OB 、OC ，设O 的半径为 r ，则：，又，答：直角三角形内切圆的半径为1说明 ：（ 1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度例 3、（陕西省， 2001）如图，点I 是ABC的内心， AI 的延长线交边BC于 D，交ABC的外接圆于点E（1）求证： IE=BE；（2）若 IE=4 ，AE=8 ，求 DE的长证明：（ 1）连结 BI ，BIE=BAI+ABI=（BAC+ ABC ），IBE=IBC+EBC=ABC+ EAC=（ABC+ BAC ），精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 43 页BIE=IBEIE=BE解：（ 2）I 是ABC的内心， BAE= CAE ，又DBE= CAE ，BAE= DBE ，又E为公共角，ABE BDE ，说明 ：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材 117 页 12 题和 B 组第 3 题的变形与结合；（3）本题为中档题习题精选选择题：1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形2、如图，菱形ABCD 中，周长为40，ABC=120 ，则内切圆的半径为（）（A）（B）（C）（D）3、如图，O 是ABC的内切圆， D、E、F 是切点， A=50 ，C=60 ，则 DOE= （）（A）70（B）110（C）120（D）1304、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）（A）1（B）12（C）12（D）1235、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形解答题：6、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆7、（山西省， 1998）如图，已知点I 为ABC的内心，射线AI 交ABC的外接圆于点D， 交BC边于点 E(1) 求证： ID=BD ；(2) 设ABC外接圆半径 R=3，ID=2，AD=x ，DE=y ，当点 A在优弧上运动时，求函数y 与自变量 x 间的函数关系式，并指出自变量的取值范围提示：（ 1）与典型例题2 一样；（ 2）由，BDAD 2R，自变量 x 的取值范围是20 ，CO=7 （ cm ）答：O 半径为 7cm说明：相交弦定理的简单应用；作辅助线构成基本图形例 3、已知：如图，在 ABC 中，C=90 ， BE是角平分线， DE BE 交 AB于 D ，O 是BDE的外接圆。（1）求证 AC是O 的切线；（2）若 AD=6 ，AE=6，求 DE的长。证明（ 1）：连结 OE BE 是ABC的平分线， 1=2，又BED= C=90 ， BCE BED ，4=3，又OE=OB，1=5，4+5=1+3=90，OE AC ，AC 是O 的切线（2）AE 是O 的切线， AE=6，AD=6 ，BD=AB -AD=12-6=6 AED= ABE ，A= A ，AED ABE ，设 DE=，BE=2x ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 43 页得（负的舍去），说明： 此题主要应用：切线的判定定理，切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形；此题是与切割线定理有关的计算综合问题例 4、 如图，PA切O 于 A ， 割线 PBC交O 于 B、 C两点，D为 PC的中点，连 AD并延长交 O 于 E， 已知：求证：（ 1）PA=PD ；（2）分析：（ 1）易证 PAD= PDA ；（2）关键在于利用线段之间的关系、等式性质，证出PB=BD 证明： (1) 连结 AB 在DBE和B AE中 ，即，又BED= AEB ，DBE BAE2=3PA 切O 于 A，1=E又PAD= 1+2，PDA= 3+E PAD= PDA ，PA=PD (2) 由切割线定理知，又 PA=PD ，PD=DC ，PB=BD 又 ( 相交弦定理 ) ，DC=2PB ，BD=PB ，说明： 本题应用的知识点有：切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形，利用等式性质证明线段的中点习题精选1、在O 中，弦 AB与 CD相交于 E，AB=8 ，BE=6 ，DE=3 ，则 CE=_ 4_2、如图， AB是半圆 O的直径， CB切半圆于点B，AC交半圆于 D，若 CD=1 ，AD=3 ，则O 的半径的长为（）3、 如图，BC是O 的直径， P是 CB延长线上一点， PA切O 于点 A，如果 PA=，PB=1，那么 APC =_30_4、已知O的两条弦 AD和 BC相交于点 E，AB和 CD的延长线交于点P(1) 写出图中所有的相似三角形(2) 写出图中所有的成比例线段(3) 下列结论是否成立? PC DC PB BA ；DE CE BE AE ；DE DA BE BC ；PD PC PB PA ；DE EA EB EC 说明：通过此练习，强化学生对相交弦定理和割线定理的理解，熟悉基本图形的性质解答题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 43