2022年小学五年级下数学思维训练教材 .pdf

第 1 课时最大公因数和最小公倍数一. 教学重点：1. 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。2. 介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数。3. 最大公因数和最小公倍数的性质。4. 利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。5. 利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题。二、 教学难点：1. 掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别。2. 能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质。3. 利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察。三、 简要知识介绍：最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要。但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算。具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0 为止。那么最后一个除数就是所求的最大公约数。最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。若 a、b 表示两个自然数，则ab=（a，b）a，b 在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算。四.、知识教学：（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。例 1. 求 20、30和 36 的最大公因数和最小公倍数（1）我们先来计算这三个数的最大公因数列举法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页20 的因数有： 1、2、4、5、10、20 30 的因数有： 1、2、3、5、6、10、15、30 36 的因数有： 1、2、3、4、6、9、12、18、36 三个数的最大公因数是2 分解质因数的方法20=225 30=253 36=2233 （20，30，36）=2 短除的方法（20，30，36）=2 （2）我们再来计算它们的最小公倍数列举法20 的倍数有： 20、40、60、8030 的倍数有： 30、60、90、36 的倍数有： 36、72、分解质因数的方法20=225 30=253 36=2233 20，30，36=22353=180 短除的方法（20，30，36）=2 20，30，36=22353=180 （3）对比比较分解质因数的方法20=225 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页30=2 5 3 36=22 33 （20，30，36）=2 20，30，36=22353=180 比较短除的方法（20，30，36）=2 20，30，36=22353=180 （4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止。（二）辗转相除法。1. 方法介绍：辗转相除法是求两个数的最大公约数的一种方法。辗转相除法又叫做欧几里德除法。2. 用辗转相除法计算两个数的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0 为止。那么最后一个除数就是所求的最大公约数（如果最后的余数是1，那么原来的两个数互质） 。例 2. 求 792和 1134的最大公约数。1134792=1,342 792342=2,108 342108=3,18 10818=6 （没有余数）（792，1134）= 18 用辗转相除法在短除计算两个数的最大公约数有困难的时候，效果尤其显著。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页3. 如何用辗转相除法计算两个数的最小公倍数呢？先计算出最大公约数，再用两数之积除以最大公约数，商就是最小公倍数。例 3. 792和 1134的最小公倍数。先用辗转相除法计算出两个数的最大公约数18（方法见上）。792，1134= =49896 （三）最大公约数和最小公倍数的性质。例 4. 求 18 和 24 的最大公约数和最小公倍数（1）用分解质因数的方法独立完成（18，24）=23=6 18，24=23322=72 （2）观察发现： 1824=472 （3）小结：两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的一个重要的性质是：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。若 a、b 表示两个自然数，则ab=（a，b）a，b 例 5. 两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？分析与解答：根据ab=（a，b）a，b 又知 a=42 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 37 页第 2 课时利用最大公因数和最小公倍数解决实际问题。例 1、 有 320 个苹果， 240 个橘子， 200个梨，用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份的礼物中，苹果、橘子和梨各有多少个？分析：根据题目的要求，在分礼物的时候必须正好分尽3 样果品。因此，礼物的份数必须是 320、240 和 200 的公因数，现在还要求最多可以分成多少份同样的礼物，也就是说要求320、240 和 200 的最大公因数。解答：（320，240，200）=2225=40 因此，最多可以分成40 份，每份礼物中有苹果32040=8（个） ，橘子 24040=6（个） ，梨 20040=5（个）例 2、 （1）一堆螺丝钉，按2 个一堆， 3 个一堆， 4 个一堆分，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？2,3,4=12（个）（2）一堆螺丝钉，按 2 个一堆分剩 1 个，3 个一堆分剩 1 个，4 个一堆分剩 1个，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？2,3,4=12（个）12+1=13（个）（3）一堆螺丝钉，按 2 个一堆分少 1 个，3 个一堆分少 1 个，4 个一堆分少 1个，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？2,3,4=12（个）12-1=11（个）（4）一堆螺丝钉，按 2 个一堆分余 1 个，3 个一堆分余 2 个，4 个一堆分余 3个，都能分完。螺丝钉的数量最少有多少个？分析：虽然余数不相同，但是余下的数都在加1 就可以凑成一堆了，或者说总数再加 1 就正好是 2、3、4 的最小公倍数。2,3,4=12（个）12-1=11（个）例 3、 一个三位数，被11除余 10，被 6 除余 4，被 4 除余 2，这个三位数最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页是多少？11，6，4=132+10=142 【练习】1. 计算下面各组数据的最大公因数和最小公倍数（1）35、98、112 （2）70、102、462 2. 用辗转相除的方法计算下面两组数的最大公因数（1）315 和 735 （2）4811和 1981 3. 两个数的最大公约数是2，最小公倍数是 1344，如果其中的一个数是42，那么另一个数是多少？4. 把 24 个本，36 个文具盒和 42 支笔平均分给尽可能多的小朋友，能分给多少人？5. 一批书不到 700 本，若按 24 本包一捆，最后一捆差2 本，若按 28本包一捆，最后一捆还是差 2 本，按 32 本包一捆，最后一捆也差2 本，这批图书有多少本？6. 一个数除以 32、36、48 时都余 15，求出这个数最小是谁？7. 求一个最小的自然数，这个数除3 余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4。第 3 课时立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例 1:图 1 所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点 G 分别与哪个点重合 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 37 页【分析与解答】 为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将 l 作为底面，那么 4 就是后面， 5 为右面， 6 为前面， 2 则是左面， 3 就是上面， (如图 2)。从图中不难看出点F与点 N，重合，点 G 与点 S 重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧! 例 2:一只小虫从图 l 所示的长方体上的A 点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达 P 点。请你为它设计一条最短的爬行路线。【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图 2)。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短” ，所以连接 AP，则线段 AP 为小虫爬行的最短路线。练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点 D 分别与哪个点重合 ? 2.如图所示的是一个棱长3 厘米的正方体木块， 一只蚂蚁从 A 点沿表面爬向 B 点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。 问：这样的路线共有几条 ? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l 厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米? 4.一块长方形的铁皮，长28 厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4 厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是 960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则 A、B、c处填的数各是多少 ? 6.如图所示的 10 个展开图中，哪些可以做成完整的正方体? 7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。8.如图所示的是一个长方体， 四边形 APQC、是长方体的一个截面 (即过长方体上 4点 A、P、Q、C 的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q 分别为棱 A1B1、B1C1，的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页第 4 课时 长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。例题选讲例 1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88 平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88 平方厘米，也就是长高 +长 x 宽=88，即长 (高+宽)=88 因为长、宽、高都是质数，我们把88 分解质因数得 88=1l222，依题意，11 不能分成两个质数和， 经试验，有两种情况符合条件， (1)ll(3+5)： 88 (2)2(41+3)一 88，因此长方体的表面积可以有两种情况。解：88112X22，222：3+5，112241+3。长方体的表面积：(1)(113+1l5+53)2=206(平方厘米 )(2)(23+2x4l+413)2422(平方厘米) 例 2:如图，将 3 个表面积都是24 平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3 个正方体块粘成 1 个长方体，共有 2 个粘接处，每一处都有2 个面粘在一起，两处共粘去4 个面，因此粘成的长方体的表面积等于(634)个面的面积，即246(6 x34)=56(平方厘米)。例 3:如图所示的是用 19 个棱长为 1 厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少? 【分析与解答】 仔细观察图形， 虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的， 所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面 +左面)2，即(10+9+8)2=54(平方厘米 )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。2.将两个长都是 8 厘米，6 厘米，高都是 5 厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米? 3.如图所示的是由 17 个边长是 1 厘米的小正方体拼成的立体图形， 求它的表面积。4.有一个长方体 ,长是 8 厘米,宽是 4 厘米，高是 6 厘米，把它截成棱长是2 厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米 ? 5.如图，正方体木块的表面积是36 平方分米，把它沿虚线截成体积相等的 8 个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米? 6.如图，有一个边长是 5 厘米的立方体， 如果它的左上方截去一个边长分别是 5 厘米， 3 厘米 2 厘米的长方体。那么，它的表面积减少多少平方厘米? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页7.如图，有一个长 4 厘米：宽和高都是3 厘米的长方体，以 A 为底打一个上下直穿的长方体洞，以B 为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少? 8.如图，有一个棱长是1 米的正方体木块。沿水平方向锯2 次，竖直锯 3 次，再横着锯 4 次，共得到大大小小的长方体小木块60 块，求这 60 块长方体表面积的和。9.用 10 个长 7 厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少? 第 5 课时 长方体和正方体的体积前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。例题选讲例 1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2 厘米和 3 厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为 5 厘米的长方体每个侧面积是100425(平方厘米 )，那么长方体底面正方形的边 长就 是 255=5(厘米 )， 所以原长方体的体积是：55(2+5+3)=250(立方厘米 )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页例 2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96 厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有122=24(条)。当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了42=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于248=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为 9616=6(厘米)，则每块正方体木块的体积是：666=216(立方厘米 )。例 3:如图，正方体的棱长为4 厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长 1 厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：114=4(立方厘米 )，共凿小长方体3 个，即 43=12(立方厘米 )，而实际上由于正中间相交，重复凿去了2 个 1 立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是 44412+12=54(立方厘米 )。练习与思考把一个长方体的长平均分成4 段，每段长 6 厘米，表面积增加24 平方厘米，求原长方体的体积。用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是80 厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米? 3如图，在一个棱长为20 厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为 4 厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页5一个表面积是 36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米? 6.一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190 平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240 平方厘米，求原来长方体的体积。7.一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24 平方厘米，求这个长方体的体积。8现有一张长 4 厘米、宽 2。厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5 厘米的长方体无盖铁皮盒 (焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好)。请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米? 9一个长、宽、高分别是2l 厘米、 15 厘米、 12 厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页第 6 课时水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。例题选讲例 1:在一个长 25 分米，宽 20 分米的长方体容器中，有15 分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。解：50 厘米一 5 分米5(25X20)+15 =O25+15 =1525(分米) 答：容器中水深1525分米。例 2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50 厘米的正方形。水箱里直立着一个高10 分米，底面边长是 25 厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6 分米。现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米 ? 【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20 厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。而下降部分水的体积就等于提起的20 厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20 厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。解：252520(5050)+20 =5+20 =25(厘米) 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页例 3:把一个长 9 厘米，宽 7 厘米，高 3 厘米的长方体铁块和一个棱长5 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20 平方厘米的长方体，求这个长方体的高。【分析与解答】将一个小长方体铁块和一个小正方体铁块熔铸成一个大长方体，形状虽然变了，但体积和没有发生变化，因此大长方体铁块的体积就等于小长方体铁块与小正方体铁块的体积和。然后根据体积除以底面积求出高。解：(973+5。)20 =31420 =157(厘米) 答：这个长方体的高是157 厘米。练习与思考1在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有20 分米深的水。现在在水中沉入一个棱长 15 分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米? 2一个长方体容器，长 90 厘米，宽 40 厘米。容器里直立着一个高1 米，底面边长是 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深05 米。3一个棱长 6 分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长12 分米，宽 6 分米，高 5 分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。4现在把铁块轻轻向上提起24 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米 ? 5一个长方体水箱，从里面量长8 分米，宽 6 分米。先倒入 165升水，再浸入一块棱长 3 分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1 分米。问：这个水箱的容积是多少? 6在一个长 15 分米，宽 12 分米的长方体容器中，水深10 分米。如果在水中浸精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页入一个棱长是 30 厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米? 7有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们底面的边长分别是5 米、3 米、2米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高6 厘米和 4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？8一个长方体容器里面装有水，一块棱长24 厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18 厘米；如果将一个长18 厘米，宽 16 厘米，高 12 厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米? 9现在有大、中、小三个铁球，一个装满水的长方体容器。第一次把小球浸入水中；第二次把小球取出，把中球浸入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起浸入水中。已知每次从容器中溢出水量的情况是：第二次是第一次的3 倍，第三次是第一次的 25 倍。问：大球体积是小球的多少倍? 10现有空的长方体容器A 和水深 24 厘米的长方体容器B(如图)，要将容器 B 的水倒一部分给 A，使两容器水的高度相同，那么这时的水深是几厘米? 11棱长为 1 米的 2100 个正方体围成一个实心的长方体，它的高为10 米，长和宽都大于高。问：它的长和宽各为多少米? 12在一个长方体蓄水池里放进一块长和宽都是5 厘米的长方体铁块，如果把它全部放入水里，池里水面就上升9 厘米，如果把水中的铁块露出8 厘米，这时池精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页里的水面就下降 4 厘米。问：这个铁块的体积是多少立方厘米? 第 7 课时列方程解题有数量关系比较复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比较困难，如果列方程解答，通过设未知数，把未知数当作已知数来考虑量关系，抓住数量之间的相等关系，列出方程式解答就比较容易了。例题选讲例 1：御苑小学五 (3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出 8元，就多 84 元，如果每人出6 元，那么就少 12元，御苑小学五 (3)班有多少名学生 ? 【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出8 元表示的总价与每人出6 元表示的总价相等，可以列出以下方程式解答。解：设御苑小学五 (3)班有 x 名学生。8x-84=6x+12 8x 一 6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑小学五 (3)班有 48名学生。例 2：胜利大队粮库里的大米是面粉的2 倍，现在用卡车运走，每辆卡车装4 吨大米和 3 吨面粉，当面粉运完时，还剩2 0 吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页【分析与解答】这道题的未知数量比较多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为x 比较合适呢 ?我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有x 吨，则大米有 2x 吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x 一 20)4=x3 再进一步分析已知条件，可以看出另一个等量关系，即大米的重量等于面粉重量的2 倍。我们设有 x 辆卡车，根据等量关系可列出方程： 4x+20=3x2 比较两种方法， 发现后一种方法列出的方程式比较容易解答。解：设有 x 辆卡车。4x+203z2 4x+20=6x x=10 (4+3)10+20=90(吨) 答：粮库里原来有大米和面粉共90吨。练习与思考1爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O 瓶就剩下 4 元，如果买 12 瓶同样的酸奶则差 5.2 元。问：每瓶酸奶多少元 ?爸爸带了多少钱？2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3 倍。体育课上，每班借 8 只篮球、5 只足球，足球借完时还有 84 只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。 如果每车坐 60人，则有 20 人没有座位；如果每车多坐 5 人，则有一辆车空出45 个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有多少人? 4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8 小时，已知这船在静水中的速度是每小时， 20 千米，水流速度是每小时5 千米。请问：甲、乙两港之间的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页距离是多少千米 ? 5.4 个人的年龄之和是77岁，最小的是 10 岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。问：年龄最大的人是多少岁? 6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的15 倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。7.甲每分钟走 50米，乙每分钟走 60米，丙每分钟走 70米，甲、乙从 A 地出发，丙从 B 地出发，丙遇到乙以后2 分钟又遇到甲，求A、B 两地的距离。8.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000 册，乙书店购入 1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。问：甲、乙两书店原来共存书多少册? 9.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75 分，乙队的平均分为 73 分，两队全体同学的平均分为 735 分，并且乙队比甲队多6 人，那么乙队有多少人 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页10.如图所示的是由九个正三角形拼成的六边形，其中最小的正三角形(图中有阴影的小三角形 )的边长为 1，求此六边形的周长。第 8 课时假设法解题“假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。例题选讲例 1:有 5 元和 10 元的邮票共 20 张，总面值 125 元。问： 5 元的和 10 元的邮票各多少张 ?【分析与解答】假设20 张邮票都是10 元的，总面值应该是1020 一200(元)，而实际上只有125 元，实际比假设少20012575(元)，仔细分析一下为什么比假设少 75元呢?原因就是把 5元的邮票当作 10元算的、 ， 每张就多算 10-5= 5(元)，因此可以求出5 元的邮票张数755=15(张)则 10 元的邮票张数为2015=5(张)。解：(1020125)(10 一 5) =755=15(张),5 元的邮票张数20-15=5(张),10 元的邮票张数答：5 元的邮票 15 张，10元的邮票 5 张。请同学想想如果假设2张邮票都是 5 元的应该如何解答呢 ? 例 2:中央百货公司委托搬运公司送1000 只茶杯，双方签订合同每只运费是O.3 元如果打破 1 只，不但不付运费，而且还要照价赔偿15 元。结果搬运公司共得运费 291 元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯? 【分析与解答】假设在搬运过程中没有茶杯被打破，那么应该得运费O3 x 1000=300(元)，而实际上却少得了运费 (300291)=9(元)，原因是打破了几只茶杯，每打破 1 只不但拿不到运费， 还要赔偿，所以打破 1 只就损失：0 3+1 5=1 8(元)，因此在搬运过程中打破了918=5(只)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页解：(O3X1000291)(O3+15) =918 =5(只) 答：在搬运过程中打破了5只茶杯。练习与思考1笼中共有鸡兔100只，鸡兔共有 280 只脚。问：鸡兔各有多少只? 2某搬运站为某商店运800 只花瓶，运费为每只3 元，如果损坏一只，不但不给运费还要照价赔偿5 元，结果搬运站共得运费2352 元。问：搬运公司在搬运过程中打破几只花瓶 ? 3松鼠爸爸采松子 ,晴天可以采 30 个,雨天只能采 20 个，它一连几天共采了240个松子，平均每天采24 个。问：这几天当中有几个晴天?几个雨天 ? 4甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记10 分，脱靶一次扣6 分，两人各投 l0 次，共得 152分，其中甲比乙多16分。问：甲、乙两人各投中几次？5蜘蛛有 8 只脚，没有翅膀， 蜻蜓有 6 只脚和 2 对翅膀，蝉有 6 只脚和 1 对翅膀，现在这三种小动物共78 只脚，13 对翅膀。问：每种小动物各有几只? 6甲仓库存粮是乙仓库的2 倍，甲仓库每天运出40 吨，乙仓库每天运出30 吨，若干天后，乙仓库的粮食运完了，甲仓库还有80 吨。问：甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页7一堆硬币：面值为1 分、2 分、5 分三种，其中 1 分的个数是 2 分的 ll 倍，如果这堆硬币共 1 元，那么 5分硬币有多少个 ? 8某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50 道。评分标准是：答对l 题给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。9紫金小学买来单价分别是3 元、4 元、 5 元的奖品共 200 份，共花去 780 元，其中 4 元和 5 元的奖品份数相同。问：三种奖品各买了多少份? 10有一筐苹果，把它们三等分后还剩2 个，取出其中两份，将它们三等分后还剩 2 个，再取出两份，将这两份三等分后还剩2 个。问：这筐苹果至少有几个? 第 9 课时代换法解题在一些较复杂的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未知量，从而使复杂的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。例题选讲例 1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮球加一个排球和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格? 【分析与解答】这道题条件比较多，我们把条件摘录如下，列出等式：1 个足球：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页2 个篮球，1 个足球 =3 个排球，一个足球 =1 个篮球 +1个排球 +1 个垒球，由此可以推出 2 个篮球 =3 个排球，即 1 个篮球： 15 个排球，又 1 个篮球： 1 个排球 +1 个垒球，所以 1 个垒球一 O5 个排球，即 2 个垒球 =1 个排球，因此1 个足球=23=6(个)垒球。例 2:5 只同样的红球和18 只同样的绿球共重396 克，已知 1 只红球和 3 只绿球的重量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克? 【分析与解答】摘录条件：(1)5 只红球 +18 只绿球 =396，(2)1 只红球 =3 只绿球，由(2）可得 5 只红球 =15 只绿球，因此用15 只绿球代替（ 1）中 5 只红球可得 15只绿球 +18 只绿球 =396，即 33 只绿球 =396，所以每只绿球 =396(15+18)=12(克)，每只红球的重量 =123=36(克)。同学们想一想用几只同样的红球可以代换18 只绿球，又如何计算呢 ? 例 3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的2 倍大 3 岁，乙的年龄比丙的2 倍小 2 岁，三人年龄之和是 109 岁。问：三人各几岁 ? 【分析与解答】摘录条件 (1)甲=2 乙+3，(2)乙=2 丙-2，由(2)可得 2 乙=4 丙-4，又根据(1)可得甲 =4 丙=1，如果甲正好是丙的4 倍，乙正好是丙的2 倍，那么年龄和应是(109+l+2)=112(岁)， 也就相当于丙的 (4+2+1)倍， 因此丙的年龄 =1127=16(岁)。乙的年龄： 16X22=30(岁)，甲的年龄 =302+3=63(岁)。练习与思考1.2 只红球与 4 只蓝球的重量相等， 3 只蓝球的重量等于1 只红球加 1 只黑球的重量，那么几只黑球的重量等于3 只红球加 4 只蓝球的重量 ? 2.百货商店运来 400 双球鞋，分别装在2 个木箱和 6 个纸箱中，如果 2 个纸箱同 1个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋? 3.有红、黄、蓝三色笔共94 枝，已知红色笔比黄色笔的2 倍少 2 枝，黄色笔比蓝色笔的 2 倍多 4 枝，求三色笔各多少枝 ? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 37 页4.一批货物，如果用大号集装箱要20 只箱子，如果用小号集装箱装， 要 25 只箱子，已知大号箱比小号箱可多装货物200 千克，求这批货物重多少千克? 5.学校图书馆购买 5 本科技书和 3 本文学书共用去1475 元，如果用 1 本文学书换回 2 本科技书，那么还要用去73 元。问：科技书和文学书每本的价格各是多少元? 6.甲、乙、丙、丁四个数的和是325，如果甲加上 lO，乙减去 5，丙乘以 2，丁除以 3，那么四个数恰好相等，求丁数。7.甲、乙两数之差是1782，如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲、乙两数分别是多少 ? 8.用两台抽永机抽水， 甲抽水机抽 6 小时，乙抽水机抽 8小时，共抽水 624 立方米。已知甲抽水机5 小时的抽水量等于乙抽水机2 小时的抽