2022年高三数学第二轮专题复习系列三角函数 .pdf

学习好资料欢迎下载高三数学第二轮专题复习系列(4)-三角函数一、本章知识结构：二、高考要求一理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。二掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）三能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。四会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin( + )的简图、理解A、 、的物理意义。五 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinxarccosxarctanx 表示角。三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大， 从 1993 年至 20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题； （4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧） ，分析综合（由因导果或执果索因），实现转化 .解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议应用同 角 三 角 函数 的 基 本 关任 意 角的概念任 意 角的 三 角诱 导公式三 角 函 数的 图 象 与计算与化简证明恒等式已 知 三 角函 数 值 求和角公式倍角公式差角公式弧长与扇形面积公角 度 制与 弧 度应用应用应用应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页学习好资料欢迎下载本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1) 首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。(2) 对公式要抓住其特点进行记忆。有的公式运用一些顺口溜进行记忆。(3) 三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习。如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。(4) 由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。（20XX 年高考应用题源于此）5.重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、 排除法等 .另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用ysinx 的对称轴为xk （kZ） ，对称中心为（k ，0） ， （ kZ）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征 .在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果. 6.加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20 题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际， 故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目. 8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理.解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，从1996 年和 1998 年的高考试题就可看出，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关 . 9.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考. 在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页学习好资料欢迎下载另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。五、典型例题两角和与差的三角函数【例 1】已知3,34，求 2的范围。解：设 2=)()(BA， （A、B 为待定的系数） ，则2=)()(BABA比较系数232112BABABA 2=)(23)(21从而可得：62【例 2】设,23|,10| ,35|ZkkBZkkkA，求BA的解的终边相同的角的集合。解：先写出A 与 B 的交，再写出终边相同的角的集合。设BA0，则BA00且；所以201023,35kk212335kk，即21109kk，由于Zkk11,10|10,02k；因此15,0BA因此所有与BA的角的终边相同的角的集合为Zk,2k,2|或k【例 3】已 知2222s i n21s i nsi n2s i n2s i n346，试求，的 最值。解：46-22sin21，21sin021sin20223222sinsinsin03212sinsin即1sin310sin1sin3201sin2sin30sin2sin322或1sin320sin31或y=41)21(sinsin21)sin2sin3(21sin21sin22222当 sin 32，1时函数 y 递增，当sina=23时 ymin=92；当 sin (31， 0)时，函数 y 递减，当sin =0 时， ymin=21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页学习好资料欢迎下载故当)sin21(sin,92)sin21(sin32sin22min22时，无最大值。【例 4】求值10cos110tg60tg110cos40cos2解：25cos25cos45cos225cos250cos40cos25cos21060cos240cos25cos210sin2310cos21240cos25cos210sin310cos40cos2原式【例 5】已知2 43,cos( )=1312,sin(+)=53,求 sin2 的值_. 解法一：243, 0 4. + 43, sin()=.54)(sin1)cos(,135)(cos122sin2=sin( )+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+) .6556)53(1312)54(135解法二： sin( )=135,cos(+)=54, sin2+sin2 =2sin(+)cos()=6572sin2sin2=2cos(+)sin( )=6540sin2=6556)65406572(21【例 6】不查表求 sin220+cos280+3cos20cos80的值 . 解法一： sin220+cos280+3sin220cos80=21(1cos40)+21(1+cos160)+3sin20cos80=121cos40+21cos160+3sin20cos(60+20 ) =121cos40+21(cos120cos40 sin120sin40) +3sin20(cos60cos20 sin60sin20 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页学习好资料欢迎下载=121cos4041cos4043sin40+43sin4023sin220=143cos4043(1 cos40)=41解法二：设x=sin220+cos280+3sin20cos80y=cos220+sin2803cos20 sin80，则x+y=1+13sin60=21，xy=cos40+cos160+3sin100=2sin100sin60+3sin100 =0 x=y=41，即 x=sin220+cos280+3sin20cos80=41. 【例 7】设关于 x 的函数 y=2cos2x2acosx(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=21的 a 值，并对此时的a 值求 y 的最大值 . 解：由 y=2(cosx2a)22242aa及 cosx 1，1得：f(a)2(41)22(122)2(12aaaaaaf(a)=21,1 4a=21a=812,+)故22a2a1=21，解得： a=1，此时，y=2(cosx+21)2+21，当 cosx=1 时，即 x=2k，kZ，ymax=5. 【例 8】求值：80cot40csc10sin20tan10cos20sin2. 解： 原式的分子20cos10sin20sin20cos10cos20sin220cos10cos20sin220cos10cos40sin320cos20cos60sin220cos80sin40sin，原式的分母80sin80cos40cos280sin80cos40sin180sin80cos40cos40cos80sin20cos60cos240cos310cos10cos30cos280sin20cos40cos，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页学习好资料欢迎下载所以，原式【例 9】已知54sincos,53cossin，求sincos的值解 1：令2，则原题等价于：已知54coscos,53sinsin，求coscos的值两式分别和差化积并相除得：432tan，所以2572tan12tan1cos22.分别将已知两式平方并求和得：21cos, 所以，10011coscos21coscos. 解 2：由54sincos,53cossin平方相加得：21sin上述两式平方相减得：257sin22cos2cos将上式前两项和差化积，得：257sin2sinsin2，结合21sin，可解得：257sin所以，sinsin21sincos10011【例 10】 已知函数xxmxfcossin2在区间2, 0上单调递减， 试求实数m的取值范围解： 已知条件实际上给出了一个在区间2, 0上恒成立的不等式任取21,xx2,0，且21xx，则不等式21xfxf恒成立，即11cossin2xxm22cossin2xxm恒成立化简得2112sin2coscosxxxxm由2021xx可知：0coscos12xx，所以1221coscossin2xxxxm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页学习好资料欢迎下载上式恒成立的条件为：上的最小值，在区间20coscossin21221xxxxm. 由于2sin2cos22sin2sin22cos2sin4coscossin22121212121211221xxxxxxxxxxxxxxxx2sin2cos2cos2sin2sin2sin2cos2cos221212121xxxxxxxx2tan2tan2tan2tan122121xxxx且当2021xx时，42,2021xx，所以12tan,2tan021xx, 从而02t a n12t a n12t a n2t a n2t a n2t an1212121xxxxxx, 有22t a n2t a n2t an2t an122121xxxx, 故m的取值范围为2,(. 【例 11】,27,3=nCtCBAcbABCcaa的对边，已知、分别为角、中，.,233的值求的面积为又baSABCABC解：A+B+C= ，得由. 222)27(60cos2,2760,3abbacCtgC得由.23360sin21,233abSABC由、得方程组6,44922ababba,4121)(32ba得211ba【例 12】 在ABC中，abc， ，分别是角ABC， ，的对边，设bca2，求2ctg2ctgCA的值解：由条件，2bac，依据正弦定理，得2cos2sin22cos2sin4sinsinsin2sinsin2sin22CACACACACACACARBR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页学习好资料欢迎下载在02sinCAABC中，2cos22cosCACA2sin2sin22cos2cos22sin2sin2cos2cosCACACACA2cos2cos2sin2sin3CACA32sin2sin2cos2cosCACA；即32Cctg2Actg三角函数的图象与性质【例 1】试确定下列函数的定义域1sin1log2xy；)1cos2lg(sin)4(xxxtgy解：要使函数有意义，只须满足条件0sin0sin101sin1logxxx解得：,2652|,622|ZkkxkxZkkxkx要使函数有意义，只须满足条件11-2cosx001)-lg(2cosx0sin)4(xxtg有意义解得,322|Zkkxkx【例 2】求函数xxxxxxy2sin2coscos3cossin3sin233的最小值解：sinsincoscos3333xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页学习好资料欢迎下载xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2cos4cos12cos214cos2cos2cos214cossincos2coscossin21cos4cos2cossin4cos2cos21coscos3cossinsin3sin32222222242sin22sin2cos2sin2cos2cos23xxxxxxy当2142sin最小值时，yx【例 3】已知函数 f(x)=2asin2x23asinxcosx+a+b1， （a、b 为常数， a0） ，它的定义域为0,2，值域为 3,1，试求 a、b 的值。解： f(x)=2asin2x23 asinxcosx+a+b1 =a(1cos2x)3 asin2x+a+b1 =2asin12)62(bax0 x262x+6671)62sin(21xa0，xg0恒成立，此时，xfxg下面，我们只需考虑, 0 x的情形如果我们把xf看作是关于xcos的余弦函数， 把xg看作是关于xsin的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同， 为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性xxsin2cossinsin至此为止，可以看出：由于xsin2和xcos同属于余弦函数的一个单调区间，（即xsin2，xcos, 0） ，所以，只需比较xsin2与xcos的大小即可事实上，（xsin2）xcos=xsin2xcos=4sin22x022所以，利用余弦函数在,0上单调递减，可得：xsinsinxcoscos也即xgxf综上，xgxf点评本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、 奇偶性、 单调性等性质，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页学习好资料欢迎下载对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助是一道很有训练价值的好题六、专题练习【两角和与差的三角函数练习1】一、选择题1.已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a1)的两根均tan、tan，且 ， (2,2)，则 tan2的值是 ( ) A.21B.2 C.34D.21或 2 二、填空题2.已知 sin=53， (2，)，tan()=21，则 tan( 2)=_. 3.设 (43,4)， (0，4)，cos( 4)=53， sin(43+ )=135，则sin(+)=_. 三、解答题4.不查表求值 :.10cos1)370tan31(100sin130sin25.已知 cos(4+x)=53，(1217x47)，求xxxtan1sin22sin2的值 . 6.已知 =38，且 k (k Z).求)44(sin42sin2csc)cos(12的最大值及最大值时的条件 . 7.如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积 . 8.已知 cos+sin=3，sin+cos的取值范围是D， xD，求函数 y=10432log21xx的最小值，并求取得最小值时x 的值 . 参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页学习好资料欢迎下载一、 1.解析： a1，tan+tan =4a0. tan+tan=3a+10,又、(2,2) 、(2,),则2 (2,0),又 tan(+)=342tan12tan2)tan(,34) 13(14tantan1tantan2又aa, 整理得 2tan222tan32=0.解得 tan2=2. 答案： B 2.解析： sin =53,(2,),cos=54则 tan =43,又 tan()=21可得 tan=21, 247)34()43(1)34(432tantan1tantan)2tan(.34)21(1)21(2tan1tan22tan222答案：2473.解析： (43,4),4(0,2),又 cos(4)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()43()4cos(2)43()4sin()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4, 0(,54)4sin(即答案：6556三、 4.答案： 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页学习好资料欢迎下载752853)54(257)4cos()4sin(2sinsincoscos)cos(sinsin2cossin1sin2cossin2tan1sin22sin54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos2sin,53)4cos(:.522xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin2(sin2)2sin2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin1)cos1(2sin)44(sin42sin2csc)cos(1:. 62222tt令解k（kZ）,322322k（kZ）当,22322k即34k（kZ）时 ,)322sin(的最小值为1. 7.解：以 OA 为 x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为 (cos,sin)，则PS=sin.直线 OB 的方程为y=3x，直线 PQ 的方程为 y=sin.联立解之得Q(33sin；sin)，所以 PQ=cos33sin. 于是 SPQRS=sin(cos33sin ) =33(3sincos sin2) =33(23sin222cos1) =33(23sin2+21cos2 21) =33sin(2+6)63. 03,62+665.21sin(2+6) 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页学习好资料欢迎下载sin(2+6)=1 时， PQRS面积最大，且最大面积是63，此时， =6，点 P 为的中点， P(21,23). 8.解：设u=sin+cos.则 u2+(3)2=(sin +cos)2+(cos+sin )2=2+2sin( +)4.u21, 1u1.即 D= 1,1 ,设 t=32x, 1x1, 1t5.x=232t. .21,232,2,258log2log82log,0log.82,2,42.8224142142104325. 05.05 .0min5. 0max2xxtyMMyMtttttttxxM此时时时是减函数在时即当且仅当【两角和与差的三角函数练习2】一、选择题1下列各三角函数式中，值为正数的是（C）（A）sin（）4（ B）cos250 （C）tg()690 10（D）ctg1132是第四象限的角，则下列三角函数的值为正的是（B）（A）sin（B）cos（ C）tg（D）ctg3）（314cos的值为（B ）（A）21（B）21（C）23（D）234已知sin=54，是第三象限角，则tg2= （C）（A）2（ C）12（C） -2 （D）125若 sin=54，且为锐角，则sin2的值等于（ B）（A）2512（B）2524（C）2512（D）25246若=20，25，则)1)(1(tgtg的值为（ B）（A） 1 （B）2 （C）12（D）137已知)25,23(x，则xsin1（C）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页学习好资料欢迎下载（A）)42sin(2x（B）)42sin(2x（C）)42sin(2x（D）)42sin(2x8= sincos,sincos1414161662bc，则成立的是（D）（A） abbc （C） acb （D）cab 9函数xxycossin的定义域是（ B ）AZkkk24524，BZkkk24524，CZkkk1224，DZkkk24，10已知是第一象限角，且,2cos2sin则2是（ C）（A）第一象限角（B）第二象限角（C）第三象限角（D）第二象限角11若,Zkkk,232,2，且，则下列关系正确的是（B）（A）sinsin（B）sinsin（C）sinsin（D）不正确12函数)26sin(23lgxy的单调递减区间是（D）（A）)(43,3zkkk（B）)(3,4zkkk（C）)(,343zkkk（D）)(3,4zkkk15 下 面 三 条 结 论 ： 存 在 实 数， 使sincos1成 立 ； 存 在 实 数， 使si ncos32成立；若cos cos =0，则sinsin,0其中正确结论的个数为（A）（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3 16函数yxx x30sincos ( , )的值域是（ B）（A） -2，2 （ B）-1，2 （C）-1，1 （D）3，2 17函数yxx2222sincos的最大值为（ D）（A） 2 （B）2（C）22（D）1 19设,都是锐角，且23，则cos()的取值范围是（D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页学习好资料欢迎下载（A）)21,21(（B）21，1 （C） （23，1） （D） 1 ,21(20若sinsin(coscos ),( , ),130则的值为（ D）（A）23（B）13（C）13（D）2321若 cos54， sin0，则2tg等于（C ）A14B3 C31D3122 sin50(1+3 10tg)的值是（ A）A1 B2 C2D3三、解答题1、已知23523sincos，且，求tg1sin22sin2的值解：原式 =sincoscossin2cos2sin2=sincossincos2sin523sincos，上式两边平方，得：25182sin12572sin；又230sincos0sin0cos，cossin4sincossincos2225322sin2sincos2524sincos，原式52352425775282、在ABC 中，已知三边abc、 、满足aAbBcCcoscoscos试判定三角形的形状。解一：由条件abcbacacbcabbcacba222222222222展开，消222222222222cbacbcabacba222222222222422244224002cbacabcbacbacbacbbaa或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页学习好资料欢迎下载ABC 为Rt（ A 为直角或 B 为直角）解二：CCRBBRAARcossin2cossin2cossin2CCBAcossin22sin2sinBACABCBACABCBACABCBACCBABA22coscoscoscoscossin2cossin222BA22BA或为 Rt3求值：23sin2sin230cos260sin解：原式 =23sin2sin21cos21411cos2sinsin1cos241sin2sinsin1cos2412cos23sin2cos2sin21cos214设 ABC 的三边为a,b,c 其所对角为A,B,C 如果 a,b,c 依次成等差数列. 求证 :2sin22cosBCA；求证 :54coscos1coscosCAcA解：cba成等差数列，bba2又BCAcRcBRbARasin2sinsinsin2,sin2,sin22cos2sin42cos2sin2BBCACA又902CA-2B,02cos2sinBCA2sin22cosBCACACAcoscos1coscos=)()cos(2112cos2cos2CACOSCACACA=12cos212cos22112cos2cos222CACACACA=2cos2cos2cos2cos222CACACACA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页学习好资料欢迎下载54)2sin2()2(sin2sin22sin22sin2cos,2sin22cos22BBBBBCABCA原式另略解 ,不妨设 a=bd,c=b+d,由余弦定理，得cosA=)(24cos,)(24dbdbBdbdb54)4(5)4(4)(24)(241)(24)(242222dbdbdbdbdbdbdbdbdbdb原式（04,2,22dbdbcba）5在ABC中，abc、 、分别是角ABC、 、的对边，设32CAbca，求Bsin的值。解：由条件和正弦定理acb2BCAsin2sinsin，BCACAsin22cos2sin2222BCACBA，2cos2sinBCA又BBCAsin2232cos23；2cos2sin22cos23BBB02cos220BB，41316312sin12cos432sin2BBB8394134322cos2sin2sinBBB6 在ABC 中， 已知BACCAsin232cossin2cossin22，的值求2B2sin-2C-AcossinB=2cos1sinC+2cos1sinAA证明：由题设有sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinBsinA+sinC+sin （ A+C ）=3sinB，）（，2Bcos=2C+AsinsinB=C+Asin=C+B+AsinA+sinC=2sinB 2Bcos2B4sin=2C-Acos2C+A2sin2Bcos2B2sin=2C-Acos2Bcos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页学习好资料欢迎下载0=2B2sin-2C-Acos2B2sin=2C-Acos【三角函数的图象与性质练习1】一、选择题1函数 y=xcosx 的部分图象是 ( ) 2函数 f(x)=cos2x+sin(2+x)是( ) A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3函数 f(x)=(31)cosx在 ， 上的单调减区间为_. 4设 0，若函数f(x)=2sinx 在4,3， 上单调递增，则的取值范围是_. 三、解答题5 设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论 、 为何实数恒有f(sin)0和 f(2+cos)0。(1)求证： b+c=1；(2)求证 c3；(3)若函数 f(sin)的最大值为8，求 b， c 的值 . 6用一块长为a，宽为b(a b)的矩形木板，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值. 7有一块半径为R，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页学习好资料欢迎下载8设6x4，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1 sinx)的最大值和最小值. 9是否存在实数a，使得函数y=sin2x+acosx+85a23在闭区间 0，2上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由. 参考答案一、 1.解析：函数y=xcosx 是奇函数，图象不可能是A 和 C，又当 x (0,2)时，y0. 答案： D 2.解析： f(x)=cos2x+sin(2+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+81)2212 1. 答案： D 二、 3.解：在,上， y=cosx的单调递增区间是2,0及2, .而 f(x)依 cosx取值的递增而递减,故2,0及2,为 f(x)的递减区间 . 4.解：由2x2，得 f(x)的递增区间为2,2 ，由题设得.230,23:4232,2,24,3解得三、 5.解： (1) 1 sin1 且 f(sin )0 恒成立， f(1) 0 1 2+cos 3,且 f(2+cos )0 恒成立 .f(1) 0. 从而知 f(1)=0b+c+1=0. (2)由 f(2+cos) 0,知 f(3)0,9+3b+c0.又因为 b+c=1,c3. (3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin21c)2+c()21(c)2, 当 sin =1 时， f(sin)max=8,由0181cbcb解得 b=4,c=3. 6.解：如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA=x，OB=y，则 a2=x2+y22xycos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页学习好资料欢迎下载2xy2xycos =2xy(1cos ). 0 ,1cos0,xy)cos1(22a(当且仅当x=y 时取“ =”号 )，故此时谷仓的容积的最大值V1=(21xysin)b=2cos41)cos1(4sin22baba.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V2=41ab2cos2, a b, V1V2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41a2bcos2. 7.解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ，连 OP，则 OP=R，设 AOP=，则QOP=45 ，NP=Rsin ,在 PQO 中，135sin)45sin(RPQ，PQ=2Rsin(45 ).S矩形MNPQ=QPNP=2R2sinsin(45 ) =22R2 cos(245)22212R2，当且仅当cos(245)=1,即=22.5时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为212R2. 工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使 AOP=22.5， P为边与扇形弧的交点，自P 作 PNOA 于 N， PQOA 交 OB于 Q，并作 OMOA 于 M，则矩形 MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212R2. 8.解：在4,6上， 1+sinx0 和 1sinx0 恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页学习好资料欢迎下载原函数可化为y=log2(1sin2x)=log2cos2x，又 cosx0 在4,6上恒成立，原函数即是y=2log2cosx, 在 x4,6上，22cosx1. log222log2cosxlog21，即 1y0，也就是在x4,6上， ymax=0，ymin=1. ).(51212185,0cos,0,02).(0423121854,2cos,20, 120),(2132012385,1cos,2,12.1cos0,20.21854)2(cos2385coscos1:.9max2maxmax222舍去时则当即若舍去或时则当即若舍去时则当即时若时当解aayxaaaaaayaxaaaaayxaaxxaaaxaxaxy综合上述知，存在23a符合题设 . 【三角函数的图象与性质练习2】一、选择题1下列有关三角函数增减性的判断，正确的是（B）（A）xysin在0，上是增函数。 （B）xycos在0，上是减函数。（C）tgxy在)2, 0(内是减函数。 （D）ctgxy在)2,2(内是减函数。2在区间 2,上， （D）（A）xysin是增函数，且xycos是减函数（B）xysin是减函数，且xycos是增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页学习好资料欢迎下载（C）xysin是增函数，且xycos是增函数（D）xysin是减函数，且xycos是减函数3设)( xf是 R 上以 2 为周期的奇函数，已知当)1 ,0(x时，xxf11log)(