2022年高中数学经典错题解析第七章平面解析几何初步 .pdf

第七章平面解析几何初步 7.1 直线和圆的方程一、知识导学1 两 点 间 的 距 离 公 式 : 不 论A(x1，y1) ， B(x2，y2) 在 坐 标 平 面 上 什 么 位 置 ， 都 有d=|AB|=221221)()(yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2x1| 或|AB|=|y2-y1|. 2定比分点公式: 定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，P(x，y) 之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比. 这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了. 若以 A为起点， B为终点， P为分点，则定比分点公式是112121yyyxxx. 当 P点为 AB的中点时， =1，此时中点坐标公式是222121yyyxxx. 3直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角 之间的关系是k=tan . 4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围. 名称方程说明适用条件斜截式bkxyk为直线的斜率b 为直线的纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式)(00 xxkyy(00, yx) 为直线上的已知点，k为直线的斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(11, yx) ，(22, yx) 是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1 a为直线的横截距b 为直线的纵截距过（ 0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式0CByAxBA，AC，BC分别为斜率、横截距和纵截距A、 B不全为零5两条直线的夹角。当两直线的斜率1k,2k都存在且1k2k -1时， tan =21121kkkk，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断. 另外还应注意到： “到角”公式与“夹角”公式的区别. 6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l111bxky，l222bxky，有以下结论：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页l1l21k=2k，且12l1l21k2k= -1 （2）对于直线l10111CyBxA，l20222CyBxA，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：l1l221AA=21BB21CCl1l2A1A2+B1B2 = 0 l1与l2相交21AA21BBl1与l2重合21AA=21BB=21CC7点到直线的距离公式. （ 1 ） 已 知 一 点P（00, yx） 及 一 条 直 线l：0CByAx， 则 点P 到 直 线l的 距 离d=2200|BACByAx；（2）两平行直线l1:01CByAx，l2:02CByAx之间的距离d=2221|BACC. 8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（FED4220） ，圆心坐标为 （-2D，-2E） ，半径为r=2422FED. 二、疑难知识1直线与圆的位置关系的判定方法. （1）方法一直线：0CByAx；圆：022FEyDxyx. 0022FEyDxyxCByAx消元一元二次方程acb42判别式相离相切相交000（2）方法二直线 :0CByAx；圆：222)()(rbyax，圆心（a，b）到直线的距离为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页d=22|BACBbAa相交相切相离rdrdrd2两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2| 为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2|r1+r2两圆相交；| O1O2 |=|r1-r2|两圆内切；0| O1O2| r1-r2|两圆内含 . 三、经典例题例 1直线 l 经过 P（2,3 ） , 且在 x,y 轴上的截距相等, 试求该直线方程. 错解 ：设直线方程为:1byax, 又过 P(2,3),132ba, 求得 a=5 直线方程为x+y-5=0. 错因 ：直线方程的截距式: 1byax的条件是 :a0 且 b0, 本题忽略了0ab这一情形 . 正解 ：在原解的基础上, 再补充这样的过程: 当直线过 (0,0) 时, 此时斜率为 :230203k, 直线方程为y=23x 综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y=23x . 例 2已知动点P到 y 轴的距离的3 倍等于它到点A(1,3) 的距离的平方, 求动点 P的轨迹方程 . 错解 ：设动点 P坐标为 (x,y).由已知 3,)3() 1(22yxx化简 3x=x2-2x+1+y2-6y+9 . 当 x0 时得 x2-5x+y2-6y+10=0 . 当 x0 时得 x2+ x+y2-6y+10=0 . 错因 ：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式, 并且正确应用绝对值定义将方程分类化简, 但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-52 )2+(y-3)2 = 214和 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现. 正解：接前面的过程, 方程化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 , 方程化为 (x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数, 故所求动点P的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x 0) 例 3m是什么数时，关于x,y 的方程（ 2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解： 欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3 ，当 m=1或 m=-3 时， x2和 y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因： A=C ，是 Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页A=C 0 且FA0. 正解： 欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C 0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m2=-3 ，(1) 当 m=1时，方程为2x2+2y2=-3 不合题意，舍去. (2) 当 m=-3 时，方程为14x2+14y2=1, 即 x2+y2=114 , 原方程的图形表示圆. 例 4自点 A(-3 ，3) 发出的光线L 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+70 相切，求光线L 所在的直线方程. 错解： 设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ，3) ，点 A关于 x 轴的对称点A(-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则 L的方程为y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 1，圆心 O的坐标为 (2， 2) ，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径r 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34L的方程为y+334(x+3) 即 4x-3y+3 0 因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+30. 错因： 漏解正解： 设反射光线为L, 由于 L 和 L关于 x 轴对称， L 过点 A(-3 ，3) ，点 A关于 x 轴的对称点A(-3 ，-3) ，于是 L过 A(-3 ，-3). 设 L的斜率为k，则 L的方程为y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-3 0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心 O的坐标为 (2 ，2)，半径 r 1 因 L和已知圆相切，则O到 L的距离等于半径r 1 即11k5k51k3k32k222整理得 12k2-25k+12 0 解得 k34或 k43L的方程为y+334(x+3); 或 y+343(x+3) 。即 4x-3y+3 0或 3x-4y-3 0 因 L 和 L关于 x 轴对称故 L 的方程为4x+3y+30 或 3x+4y-3 0. 例 5 求过直线042yx和圆014222yxyx的交点， 且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积 . 解： 设所求圆的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx（1）因为圆过原点，所以041，即41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页故所求圆的方程为：0274722yxyx. （2）将圆系方程化为标准式，有：545245222222yx当其半径最小时，圆的面积最小，此时52为所求 . 故满足条件的圆的方程是54585422yx. 点评： （1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 例 6已知点 A(11,yx) ，B(22, yx)（21xx0）是抛物线)0(22ppxy上的两个动点，O是坐标原点，向量OBOA,满足OBOAOBOA. 设圆 C的方程为0)()(212122yyyxxxyx（1）证明线段AB是圆 C的直径；（2）当圆 C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值 . 解： （1）证明OBOAOBOA，（OBOA）2（OBOA）2，整理得：OBOA0 21xx21yy0 设 M （yx,）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MBMA 0 即)(21xxxx)(21yyyy0 整理得：0)()(212122yyyxxxyx故线段 AB是圆 C的直径 . （2）设圆 C的圆心为C（yx,） ，则222121yyyxxx1212pxy，)0(2222ppxy22221214pyyxx又21xx21yy 0 ，21xx21yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页21yy222214pyy21xx0，21yy0 21yy 42p2121222122212141)2(41)(412yypyyyypyypxxx)2(122pyp所以圆心的轨迹方程为222ppxy设圆心 C到直线02yx的距离为，则pppyypypyx5|)(|5|2)2(1|5|2|2222当yp时，有最小值5p，由题设得5p552p2. 四、典型习题1 直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆 心 角为（）A.6 B.4 C.3 D.22. 已知直线x=a(a 0)和圆 (x-1)2+y2=4 相切，那么 a 的值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数x、 y 满足等式 (x-2)2+y2，则xy的最大值为： . 4. 设正方形ABCD （A、B、 C、D 顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0 （ab0) 上一点 M向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点， AB OM 设 Q是椭圆上任意一点，当 QF2AB时，延长 QF2与椭圆交于另一点P ，若 F1PQ的面积为203，求此时椭圆的方程解： 本题可用待定系数法求解b=c, a=2c，可设椭圆方程为122222cycx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页PQ AB,kPQ=-21bakAB，则 PQ的方程为y=2(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得cPQ526, 又点 F1到 PQ的距离 d=362c dPQSPQF2112534c , 由,2532053422cc，得故所求椭圆方程为1255022yx例 6已知椭圆：1922yx，过左焦点F 作倾斜角为6的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解： a=3,b=1,c=22; 则 F（-22，0）由题意知：)22(31:xyl与1922yx联立消去y 得：01521242xx设 A（),11yx、 B（),22yx，则21,xx是上面方程的二实根，由违达定理，2321xx41521xx，223221xxxM又因为 A、 B、F 都是直线l上的点，所以 |AB|=21518324)(32|3112122121xxxxxx点评： 也可利用“焦半径”公式计算例 7设 P是椭圆)1(1222ayax短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值 . 解：依题意可设P（ 0,1 ） ，Q（yx,） ，则 PQ 22)1(yx，又因为Q 在椭圆上，所以，)1 (222yax， PQ 212)1 (222yyya22212)1(ayya22222111)11)(1 (aaaya. 因为| y1，a1，若a2，则|11|2a1，当211ay时， PQ 取最大值11222aaa；若 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页a2，则当1y时， PQ 取最大值2. 例 8已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为53的直线，交双曲线于M 、N 两点，且MN=4，求双曲线方程解： 设所求双曲线方程为)0,0(12222babyax，由右焦点为（2，0） 知 C=2，b2=4-a2则双曲线方程为142222ayax，设直线MN的方程为：)2(53xy，代入双曲线方程整理得：(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0 设 M （x1,y1）,N(x2,y2),则222182012aaxx，22421820325aaaxx212124531xxxxMN482032548201258224222aaaaa解得12a，3142b故所求双曲线方程为：1322yx点评： 利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程的根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握四、典型习题1. 设双曲线)0,0( 12222babyax两焦点为F1、F2, 点 Q为双曲线上除顶点外的任一点, 过 F1作 F1QF2的平分线的垂线, 垂足为 P,则点 P的轨迹是（）A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分 D. 圆的一部分 . 2已知点 (-2 ，3) 与抛物线y2=2px(p 0)的焦点的距离是5，则 p= . 3. 平面内有两定点4)4() 301)0 , 1(22yxBA），在圆（，（和上，求一点 P使22BPAP取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值. 4. 已知椭圆)0(12222babyax的离心率为22. （1）若圆（ x-2 ）2+(y-1)2=320与椭圆相交于A、B两点且线段AB恰为圆的直径，求椭圆方程；（ 2）设 L 为过椭圆右焦点F 的直线，交椭圆于M 、N两点，且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页L 的倾斜角为600，求NFMF的值 . 5. 已知抛物线方程为)0)(1(22pxpy，直线myxl :过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为 3，求 p 的值6. 线段 AB过 x 轴正半轴上一点M （m,0） （m0 ） ，端点 A、B到 x 轴距离之积为m2，以 x 轴为对称轴， 过 A，O ，B三点作抛物线（1）求抛物线方程；（2）若mAOBtg，求1的取值范围7.3 点、直线和圆锥曲线一、知识导学1 点 M(x0，y0) 与圆锥曲线C：f(x ，y)=0 的位置关系已知12222byax（ab0）的焦点为F1、F2, 12222byax（a0,b 0）的焦点为F1、F2，pxy22(p 0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0) ， M点到抛物线的准线的距离为d，则有：上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明2直线l AxByC=0与圆锥曲线C f(x ，y) 0 的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点， 但并不是相切； 对于双曲线来说， 平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切 这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：设直线l:Ax+By+C=0, 圆锥曲线C:f(x,y)=0,由0y)f(x,0CByAx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页消去 y( 或消去 x) 得:ax2+bx+c=0, =b2-4ac, （若 a0 时）， 0相交 0相离= 0相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件二、疑难知识1椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01exar, （右焦半径）02exar, 其中e是离心率。焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（ 其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）. 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加.2双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点21,FF的连线段，叫做双曲线的焦半径. 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：0201exaMFexaMF焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（ 其中21, FF分别是双曲线的下上焦点）3双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221xxeaAB；过右焦点与右支交于两点时：)(221xxeaAB。当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221yyeaAB；过右焦点与右支交于两点时：)(221yyeaAB。4双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦abd22. 5直线和抛物线（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点） ；相切（一个公共点）. 联立pxybkxy22，得关于x 的方程02cbxax当0a（二次项系数为零） ，唯一一个公共点（交点）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页当0a，则若0，两个公共点（交点） ；0，一个公共点（切点） ；0，无公共点（相离） . （2）相交弦长：弦长公式：21kad. （3）焦点弦公式：抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB. 抛物线)0(22ppxy，)(21xxpAB. 抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB. 抛物线)0(22ppyx，)(21yypAB. （4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：pd2. （5）常用结论：pxypxky2)2(20222pykpy和04)2(22222pkxppkxk221pyy和4221pxx. 三、经典例题 例 1 求过点) 1 ,0(的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点. 错解：设所求的过点)1 ,0(的直线为1kxy，则它与抛物线的交点为xykxy212，消去y得.02) 1(2xkx整理得. 01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点，,0解得.21k所求直线为.121xy正解：当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点)1 ,0(，所以,0 x即y轴，它正好与抛物线xy22相切 .当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点 . 一般地，设所求的过点)1 ,0(的直线为1kxy)0(k, 则xykxy212，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页.01)22(22xkxk令,0解得 k = 12 , 所求直线为.121xy综上，满足条件的直线为：.121,0, 1xyxy 例 2 已知曲线C：2202xy与直线 L：mxy仅有一个公共点，求m的范围 . 错解： 曲线 C：2202xy可化为20422yx，联立20422yxmxy，得：02048522mmxx，由 0, 得5m. 错因：方程与原方程并不等价，应加上,0y. 正解： 原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为52525mm或. 注意：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错. 例 3 已知双曲线1222yx，过 P(1,1) 能否作一条直线L 与双曲线交于A、B两点，且P为 AB中点 . 错解：（1）过点 P且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求. （2）设过 P的直线方程为)1(1xky，代入1222yx并整理得：02)1 ()1 (2)2(222kxkkxk2212)1 (2kkkxx，又221xx22)1(22kkk解之得： k=2，故直线方程为：y=2x-1, 即直线是存在的. 正解： 接以上过程，考虑隐含条件“0” ，当 k=2 时代入方程可知0，故这样的直线不存在. 例 4 已知 A、B是圆122yx与 x 轴的两个交点，CD是垂直于 AB的动弦，直线AC和 DB相交于点P ，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE | PF | | 为定值？若存在，求出E、F 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解： 由已知得 A ( 1, 0 )、 B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( 00, yx) , 则 D (00, yx), 由 A、 C 、P三点共线得1100 xyxy由 D、 B 、P三点共线得1100 xyxyyxoy x O A C D B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页得11202022xyxy又12020yx, 20201xy，代入得122yx，即点 P在双曲线122yx上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E ( 2, 0 )、F (2, 0 )（即此双曲线的焦点） ，使 | | PE | | PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值). 例 5 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与该椭圆相交于P和 Q ，且 OP OQ ，PQ =210，求椭圆的方程. 解： 设所求椭圆的方程为2222byax=1. 依题意知，点P、Q的坐标满足方程组：1xy1byax2222将代入，整理得0)1(2)(222222baxaxba，设方程的两个根分别为1x、2x，则直线 y=x+1 和椭圆的交点为P(1x,1x+1)， Q(2x,2x+1) 由题设 OP OQ ， OP =210，可得22122122211)210()1() 1()(111xxxxxxxx整理得0516)(4012)(212212121xxxxxxxx解这个方程组，得23412121xxxx或21412121xxxx根据根与系数的关系，由式得 (1)41)1 (2322222222bababaa或 (2) 41)1(2122222222bababaa解方程组 (1) 、(2) 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页32222ba或23222ba故所求椭圆方程为32222yx=1 ，或23222yx =1. 例 6 已知椭圆C1：3422yx1，抛物线C2：)0(2)(2ppxmy，且 C1、C2的公共弦AB过椭圆 C1的右焦点。（ 1）当 AB x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上； （2）若p34，且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程 . 解： （1）当 AB x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，直线 AB的方程为x1，从而点 A的坐标为（ 1，23）或（ 1，23） ，因为点 A在抛物线上，所以p249，p89. 此时，抛物线C2的焦点坐标为（169，0） ，该焦点不在直线AB上. (2) 当抛物线C2的焦点在直线AB上时，由 （1） 知直线 AB的斜率存在， 设直线 AB的方程为)1(xky. 由134) 1(22yxxky消去y得01248)43(2222kxkxk设 A、B的坐标分别为（11, yx） 、 （22, yx） . 则1x，2x是方程的两根，1x2x22438kk. 因为 AB既是过 C1的右焦点的弦，又是C2的焦点的弦，所以 AB （2121x） （ 2221x）4)(2121xx，且 AB （21px） （22px） pxx213421xx. 从而3421xx4)(2121xx所以91621xx，即22438kk916解得6k. 因为 C2的焦点 F、（m,32）在直线) 1(xky上，所以km31，即36m当36m时直线 AB的方程为)1(6 xy；当36m时直线 AB的方程为)1(6 xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页四、典型习题1顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线l ： y=2x+1 截得的弦长为15，则抛物线方程为2. 直线 m ：y=kx+1 和双曲线x2y2=1 的左支交于A、B两点，直线l 过点 P（ 2，0）和线段AB的中点，则直线 l 在 y 轴上的截距b的取值范围为3对称的两点，上存在关于直线已知椭圆mxylyxC214922试求 m的取值范围 . 4 设过原点的直线l 与抛物线y2=4(x 1) 交于 A、B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，（1）求直线l 的方程；（2）求 |AB| 的长 . 5 如图， 过抛物线y2=4x 的顶点 O作任意两条互相垂直的弦OM 、ON ，求(1)MN 与x 轴交点的坐标；(2) 求 MN中点的轨迹方程. 9设曲线C的方程是y x3-x ，将 C沿 x 轴、 y 轴正向分别平行移动t,s单位长度后得曲线C1. (1) 写出曲线C1的方程；(2) 证明曲线C与 C1关于点 A(2,2st) 对称；(3) 如果曲线C与 C1有且仅有一个公共点，证明stt43且 t 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页7.4 轨迹问题一、知识导学1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C( 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 2. 点与曲线的关系若曲线 C的方程是f(x,y)=0，则点 P0(x0,y0) 在曲线 C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0) 不 在 曲 线C 上f(x0,y0) 0 两 条 曲 线 的 交 点若 曲 线C1， C2的 方 程 分 别 为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0) 是 C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 3. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数 e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 . 当 0e1 时，轨迹为椭圆当 e=1 时，轨迹为抛物线当 e1 时，轨迹为双曲线4. 坐标变换（1）坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程 . 坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴. （2）坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是（ x,y) ，在新坐标系x O y中的坐标是 (x ,y ). 设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy中的坐标是 (h,k)，则(1)kyyhxx或 (2)kyyhxx公式 (1) 或(2) 叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 . 二、疑难知识1. 在求曲线轨迹方程的过程中,要注意：(1) 理解题意 , 弄清题目中的已知和结论, 发现已知和未知的关系, 进行知识的重新组合；(2) 合理进行数学语言间的转换, 数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言, 通过审题画出必要的图形或示意图 , 把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式, 把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言；(3) 注意挖掘题目中的隐含条件；(4) 注意反馈和检验. 2. 求轨迹方程的基本方法有：(1) 直接法： 若动点满足的几何条件是一些几何量的等量关系, 则将这些关系“翻译”成x,y的关系式 ,由此得到轨迹方程.一般步骤是：建立坐标系设点列式代换化简、整理. (2) 定义法：即当动点的轨迹满足的条件符合某种特殊曲线的定义时, 则可根据这种曲线的定义建立方程. (3) 待定系数法： 已知动点的轨迹是某种圆锥曲线, 则可先设出含有待定系数的方程, 再根据动点满足的条件确定待定系数. (4) 相关点法： 当动点P(x,y) 随着另一动点Q(x1,y1) 的运动而运动时, 而动点 Q在某已知曲线上, 且 Q点的坐标可用P点的坐标来表示,则可代入动点Q的方程中 ,求得动点P的轨迹方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页(5) 参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量t, 并用t表示动点的坐标x、y, 从而得到动点轨迹的参数方程 , 消去t, 便可得动点P的普通方程 . 另外 , 还有交轨法、几何法等. 3. 在求轨迹问题时常用的数学思想是：(1) 函数与方程的思想：求平面曲线的轨迹方程, 是将几何条件 ( 性质 ) 表示为动点坐标x、y的方程及函数关系；(2) 数形结合的思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合；(3) 等价转化的思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合, 在解决问题时又需要相互转化. 三、经典例题 例 1 如图所示，已知P(4 ，0) 是圆x2+y2=36 内的一点，A、B是圆上两动点， 且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 . 解： 设AB的中点为R，坐标为 (x,y) ，则在 Rt ABP中， |AR|=|PR|. 又因为 R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中， |AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2) 又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有 (x4)2+y2=36(x2+y2), 即x2+y24x10=0 因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y) ，R(x1,y1) ，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx, 代入方程x2+y24x 10=0, 得244)2()24(22xyx10=0 整理得x2+y2=56, 这就是所求的轨迹方程. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 例 2 某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解： 设直径为 3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q, 使它们与O相内切，与A、B相外切 . 建立如图所示的坐标系，并设P的半径为r, 则|PA|+|PO|=1+r+1.5 r=2.5 点P在以A、O为焦点，长轴长2.5 的椭圆上，其方程为3225)41(1622yx=1 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2 的椭圆上，其方程为(x21)2+34y2=1 由、可解得)1412,149(),1412,149(QP，r=73)1412()149(2322故所求圆柱的直径为76 cm. 例 3 直线 L：)5(xky与圆 O：1622yx相交于 A、B两点，当k 变动时，弦AB的中点 M的轨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页迹方程 . 错解： 易知直线恒过定点P（5,0 ） ，再由APOM，得：222MPOMOP25)5(2222yxyx，整理得：4252522yx分析： 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时5160 x. 例 4 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数, 求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解： 建立坐标系如图所示，设|AB|=2a, 则A( a,0 ）,B(a,0). 设M(x,y）是轨迹上任意一点. 则由题设，得|MBMA=, 坐标代入，得2222)()(yaxyax= , 化简得(1 2)x2+(1 2)y2+2a(1+2)x+(1 2)a2=0 (1) 当=1 时，即 |MA|=|MB| 时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴). (2) 当1 时，点M的轨迹方程是x2+y2+221)1(2ax+a2=0.点M的轨迹是以( 221)1(a，0) 为圆心，|1|22a为半径的圆 . 例 5 若抛物线y=ax2-1 上，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0 对称，求实数a 的取值范围 . 分析： 若存在 A、B关于直线y+x=0 对称， A、B必在与直线y+x=0 垂直的直线系中某一条与抛物线y=ax2-1相交的直线上，并且A、B的中点 M恒在直线y+x=0 上 . 解： 如图所示，设与直线y+x=0 垂直的直线系方程为y=x+b 由12axybxy得ax2-x-(b+1)=0 令 0 即 (-1)2-4a-(b+1)0 整理得 4ab+4a+1 0 在的条件下，由可以得到直线y=x+b、抛物线y=ax2-1 的交点 A、B的中点 M的坐标为（a21,a21+b） , 要使 A、 B关于直线y+x=0 对称，则中点M应该在直线y+x=0 上，所以有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页a21+（a21+b） =0 即 b=-a1代入解不等式得 a43因此，当a43时，抛物线y=ax2-1 上总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0 对称 . 四、典型习题1. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得 |PQ|=|PF2| ，那么动点Q的轨迹是 ( ) A.圆B.椭圆C.双曲线