2022年高中立体几何习题及解析 .pdf
学习必备欢迎下载高中立体几何典型习题及解析(二)26. 在空间四边形ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点， F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD = a ， ACBD =b ，求22EGFH.解析： 四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）22EGFH=222()EFFG=22211()(2 )22ACBDab27. 如图，在三角形ABC 中， ACB=90o，AC=b,BC=a,P 是 A BC 所在平面外一点，PBAB ，M 是 PA 的中点， ABMC，求异面直MC 与 PB 间的距离 . 解析：作 MN/AB 交 PB于点 N （2 分） PBAB ， PB MN 。（4 分）又 AB MC ， MN MC （8 分）MN即为异面直线MC与 PB的公垂线段， （10 分）其长度就是MC与 PB之间的距离，则得 MN=12AB=221.2ab28. 已知长方体ABCD A1B1C1D1中, A1A=AB ， E、F 分别是 BD1和 AD 中点 . （1）求异面直线CD1、 EF 所成的角；（2）证明 EF 是异面直线AD 和 BD1的公垂线 .（1）解析： 在平行四边形11BADC中， E 也是1AC的中点，1/EFC D，（ 2 分）两相交直线D1C 与 CD1所成的角即异面直线CD1与 EF 所成的角 .（4 分）又A1A=AB ，长方体的侧面1111,ABB A CDD C都是正方形， D1CCD1 异面直线CD1、EF 所成的角为90.（7 分）（2）证：设AB=AA1=a, D1F=,422BFADaEF BD1.（9 分）ABCDEHFGPABCMNFEA1D1C1CB1BAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载由平行四边形11BAD C，知 E 也是1AC的中点，且点E 是长方体ABCD A1B1C1D1的对称中心，（ 12 分） EA=ED ， EFAD ，又 EFBD1， EF 是异面直线 BD1与 AD 的公垂线 .（ 14 分）29. ABC 是边长为2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点P，PB=PC=72，PA=32，延长 BP 至 D，使 BD=7， E是 BC 的中点，求AE 和 CD 所成角的大小和这两条直线间的距离. 解析： 分别连接PE 和 CD，可证 PE/CD，（ 2 分）则PEA 即是 AE 和 CD 所成角（4 分）在 Rt PBE中，PB=72，BE=1， PE=32。在 AEP中， AE=3，cosAEP393443232=12 AEP=60 o，即 AE和 CD所成角是 60o（ 7 分）AEBC ，PE BC，PE/DC， CD BC ， CE为异面直线AE和 CD的公垂线段，（12 分）它们之间的距离为1（ 14 分）30. 在正方体ABCD A1B1C1D1中， E，F，G，H，M，N 分别是正方体的棱1,A AAB ，BC，1,CC11,C D11D A的中点，试证：E，F，G，H，M，N 六点共面解析： EN/MF ， EN 与 MF 共面，（ 2 分）又 EF/MH ， EF 和 MH 共面（ 4分）不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6 分）平面与重合，点H。（8FEA1D1C1CB1BADACBDPE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载分）同理点G（ 10 分）故 E，F，G，H，M，N 六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）A1 条B2 条C3 条D 1 条或 2 条D 解析： 分类： 1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D 32两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A4 个B5 个C6 个D 8 个解析： C 如四棱锥的四个侧面，246C个。33.在空间四边形ABCD 的边 AB 、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点如果EF 与 HG 交于点 M，则（）AM 一定在直线AC 上BM 一定在直线BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在BD 上DM 不在 AC 上，也不在BD 上解析： 平面 ABC 平面 ACD=AC ，先证 M平面 ABC ，M平面 ACD ，从而 MAC A 34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是. 解析： 6 条35. 已知：./,aPQbPAbaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载)12.(:分求证PQ本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法. 解析： PQ a,PQ 与 a 确定一个平面.,Pa点直线pbbp,PQa重合与又36. 已知ABC 三边所在直线分别与平面交于 P、Q、R 三点，求证：P、Q、R 三点共线。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析： A、B、C 是不在同一直线上的三点过 A、B、C 有一个平面又ABPAB且,.,lplP则设内内又在既在点.,:三点共线同理可证RQPlRlQ37. 已知：平面,/,accAabba且平面求证： b、c 是异面直线解析： 反证法：若b 与 c 不是异面直线，则bc 或 b 与 c 相交.,)2(/,/./)1(是异面直线矛盾这与即又则相交于若矛盾这与若cbAbbABAAbaBBcbAbabacacb38. 在空间四边形ABCD 中， AD=BC=2 ，E、F 分别是 AB 、CD 的中点， EF=3，求 AD与 BC 所成角的大小（本题考查中位线法求异面二直线所成角）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载解析： 取 BD 中点 M，连结 EM 、MF，则60,1202123112cos,3,121/, 121,/222所成角的大小为异面直线由余弦定理得中在且且BCADEMFMFEMEFMFEMEMFEFMEFBCMFBCMFADEMADEM39. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别为棱AA1和 BB1的中点，求异面直线 CM 与 D1N 所成角的正弦值.(14 分) （本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析： 取 DD1中点 G，连结 BG，MG，MB ，GC 得矩形 MBCG ，记 MC BG=0 则 BG 和 MC 所成的角为异面直线CM 与 D1N 所成的角 . 954sin91cos)()23(2222BOCBOCaBCaaACMAMC设正方体的棱长为而 CM 与 D1N 所成角的正弦值为95440. 如图， P 是正角形ABC 所在平面外一点，M、N 分别是 AB 和 PC 的中点，且PA=PB=PC=AB=a 。（1）求证： MN 是 AB 和 PC 的公垂线（2）求异面二直线AB 和 PC 之间的距离解析： （1）连结 AN ，BN ， APC 与 BPC 是全等的正三角形，又N 是 PC 的中点AN=BN 又 M 是 AB 的中点， MN AB 同理可证MN PC 又 MN AB=M ，MN PC=N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载MN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）在等腰在角形ANB 中，aABANMNaABaBNAN22)21(,2322即异面二直线AB 和 PC 之间的距离为a22.41 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三个点的平面 A可能有3 个，也可能有2 个 B可能有4个，也可能有3 个C可能有3 个，也可能有1 个 D可能有4 个，也可能有1 个解析： 分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4 个。 . 42.下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形矩形一定是平面图形A1 个B2 个 C 3 个 D 4 个解析： 命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误， 因平面四边形中的一个顶点在平面的上、下方向稍作运动，就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1个。解析： 如果有两个，则直线就在平面内，那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44.空间一条直线及不在这条直线上的两个点，如果连结这两点的直线与已知直线_，则它们在同一平面内。答案： 相交或平行解析： 根据推论2，推论 3 确定平面的条件。45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3 个。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载解析： 三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内；圆上任取三点一定不在一条直线上，这三点即确定一个平面，也确定了这个圆所在的平面，所以圆是平面图形； 而正六边形内接于圆，故正六边形也是平面图形；而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点可以不在同一平面内。46.三条平行直线可以确定平面_个。 答案： 1 个或 3 个解析： 分类、一类三线共面，即确定一个平面，另一类三线不共面，每两条确定一个，可确定 3 个。47.画出满足下列条件的图形。(1) =1，a ，b ，ab=A (2) =a，b ，ba 解析： 如图 1-8- 甲， 1-8- 乙48.经过平面外两点 A，B 和平面垂直的平面有几个？解析： 一个或无数多个。当 A，B 不垂直于平面时，只有一个。当 A，B 垂直于平面时，有无数多个。49.设空间四边形ABCD ，E、F、G 、H分别是 AC 、BC 、 DB 、DA的中点，若AB 122，CD4 2，且四边形EFGH 的面积为12 3，求 AB和 CD所成的角 . 解析：由三角形中位线的性质知，HG AB ，HE CD ， EHG就是异面直线AB和 CD所成的角. HGFEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载 EFGH是平行四边形，HG 21 AB62，HE 21， CD 23， SEFGHHG HE sin EHG 126 sin EHG, 12 6sin EHG 123. sin EHG 22, 故EHG 45 . AB 和 CD所成的角为45注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。50.点 A是 BCD所在平面外一点，AD=BC ，E、F 分别是 AB 、CD的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD和 BC所成的角。（如图）解析： 设 G是 AC中点，连接DG 、FG 。因 D、F 分别是 AB 、CD中点，故 EG BC且 EG=21BC ，FG AD ，且 FG=21AD ，由异面直线所成角定义可知EG与 FG所成锐角或直角为异面直线AD 、 BC所成角，即 EGF为所求。由BC=AD知 EG=GF=21AD ，又 EF=AD，由余弦定理可得cos EGF=0 ，即EGF=90 。注：本题的平移点是AC 中点 G，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在 EFG 中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。ABCGFED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
