2022年普通高等学校数学招生全国统一考试 .pdf

精品好资料欢迎下载普通高等学校数学招生全国统一考试5数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1 至 2 页第卷3至 9 页共 150 分考试时间120 分钟第 卷（选择题共60 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21sincos)cos()cos(21sinsin一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）满足条件3,2,11M的集合 M 的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （2）在平面直角坐标系中，已知两点 A（cos80，sin80） ，B（cos20，sin20） ，则|AB|的值是（A）21（B）22（C）23（D）1 （3）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间（2，）上为减函数的是（A）y=cos2x（B）y=2|sinx| 正棱台、圆台的侧面积公式lccS)(21台侧其中 c、 c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长球体的体积公式334RV 球其中 R 表示球的半径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品好资料欢迎下载（C）xycos)31(（D）y= cot x（4）64 个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则（A）V甲V乙且 S甲S乙（B）V甲V乙且 S甲S乙（D）V甲=V乙且 S甲=S乙（5）已知某曲线的参数方程是tansecyx（为参数）若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是（A） =1 （B） cos2=1 （C）2sin2=1 （D）2cos2=1 （6）给定四条曲线：,2522yx, 14922yx, 1422yx. 1422yx其中与直线05yx仅有一个交点的曲线是（A）（B）（C）（D）（7）已知 z1，z2C 且| z1|=1若 z1z2=2i，则 | z1z2| 的最大值是（A）6 （B）5 （C）4 （D）3 （8）若11cot21cot，则2sin12cos的值为（A）3 （B） 3 （C） 2 （D）21（9）12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（A）4448412CCC种（B）34448412CCC种（C）3348412PCC种（D）334448412PCCC种（10）设命题甲： “直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1与对角面BB1D1D 垂直” ；命题乙： “直四棱柱ABCDA1B1C1D1是正方体”那么，甲是乙的（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分又非必要条件（11）已知 f（x）是定义在（3，3）上的奇函数，当0 x3 时， f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosxc，bd，两底面间的距离为h（）求侧面ABB1 A1与底面 ABCD 所成二面角的大小；（）证明： EF面 ABCD；（）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面 h 来计算已知它的体积公式是6hV（S上底面 4S中截面S下底面）试判断 V估与 V 的大小关系，并加以证明（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品好资料欢迎下载（19） （本小题满分12 分）数列 xn由下列条件确定：)(21,011nnnxaxxax，nN（）证明：对n 2，总有axn；（）证明：对n 2，总有1nnxx；（）若数列xn的极限存在，且大于零，求nnxlim的值（20） （本小题满分12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品好资料欢迎下载在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数v1， v2， vn的和ninivvvvv1321计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数计算开始后，在一个单位时间内， 每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n 个数的和， 需要设计一种读和加的方法比如n=2 时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1 v12 v1 v22 v21 v2 v1（）当n=4 时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1 v12 v23 v34 v4（）当 n=128 时，要使所有机器都得到niiv1，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品好资料欢迎下载（21） （本小题满分12 分）已知 O（0，0） ，B（1，0） ，C（b， c）是 OBC 的三个顶点（）写出 OBC 的重心 G，外心 F，垂心 H 的坐标，并证明G，F，H 三点共线；（）当直线FH 与 OB 平行时，求顶点C 的轨迹（22） （本小题满分14 分）已知 f（ x）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR 都满足：f（a b） =af（b） bf（a）（）求 f（0） ，f（1）的值；（）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（）若nfufnn)2(, 2)2(（nN） ， ，求数列 un的前 n 项的和 Sn普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答说明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品好资料欢迎下载一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题， 当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分60 分（1）B （2）D （3）B （4）C （5）D （6）D （7）C （8）A （9）A （10）C （11）B （12）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4 分，满分16 分（13）)43arccos()52arcsin()45arctan(（14）4 （15）（16）22三、解答题 :本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）本小题考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力满分12 分解：原不等式212212xxxx因为2)2(1202012212212xxxxxxxx052212xxx21x又2)2(1202012212xxxxxx或02012xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品好资料欢迎下载05622xxx或221x512xx或221x52x或221x521x所以，原不等式组52152121xxx因此，原不等式的解集为521xx（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力满分12 分（）解：过B1C1作底面 ABCD 的垂直平面，交底面于PQ，过 B1作 B1GPQ，垂足为 G平面 ABCD平面 A1B1C1D1，A1B1C1= 90ABPQ，AB B1PB1PG 为所求二面角的平面角过 C1作 C1HPQ，垂足为H由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形)(21dbPG，又 B1G=h，)(2t a n1dbdbhPGB， dbhPGB2arctan1,即 所 求 二 面角 的 大 小 为dbh2arctan（）证明：AB，CD 是矩形 ABCD 的一组对边，有ABCD，又 CD 是面 ABCD 与面 CDEF 的交线，AB面 CDEF EF 是面 ABFE 与面 CDEF 的交线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品好资料欢迎下载ABEFAB 是平面 ABCD 内的一条直线，EF 在平面 ABCD 外，EF面 ABCD（） V估c，bd，hdbcadbcaabcdhVV22)224(6估)(3)(22212dbcadbcaabcdh0)(12dbcahV估0，及)(211nnnxaxx，可归纳证明xn0 （没有证明过程不扣分）从而有axaxxaxxnnnnn)(211（ nN） ，所以，当 n2 时，axn成立（）证法一：当n2 时，因为0axn，)(211nnnxaxx所以021)(2121nnnnnnnxxaxxaxxx，故当 n2 时， xnxn1成立证法二：当n2 时，因为0axn，)(211nnnxaxx，所以122)(21222221nnnnnnnnnnxxxxaxxxaxxx，故当 n2 时， xnxn1成立（）解：记Axnnlim，则Axnn1lim，且 A0由)(211nnnxaxx，得)(21l i ml i m1l i mnnnnnnxaxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品好资料欢迎下载即)(21AaAA由A0，解得aA，故axnnlim（20）本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力满分12 分（）解：当n=4 时，只用2 个单位时间即可完成计算方法之一如下：机器号初始时第一单位时间第二单位时间第三单位时间被读机号结果被读机号结果被读机号结果1 v12 v1v23 v1v2v3v42 v21 v2v14 v2v1v4v33 v34 v3v41 v3v4v1v24 v43 v4v32 v4v3v2v1（）解：当n=128=27时，至少需要7 个单位时间才能完成计算（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分13分（）解：由OBC 三顶点坐标O（0，0） ，B（1，0） ，C（b，c） （c0） ，可求得重心)3,31(cbG，外心)2,21(22cbcbF，垂心),(2cbbbH当21b时， G，F，H 三点的横坐标均为21，故三点共线；当21b时，设 G，H 所在直线的斜率为kGH， ，F，G 所在直线的斜率为kFG因为)21 (33313222bcbbcbbcbbckGH，)21(332131232222bcbbcbcbcbckFG，所以FGGHkk，G，F，H，三点共线综上可得， G，F，H 三点共线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页精品好资料欢迎下载（）解：若FHOB，由0)21(3322bcbbckFH，得)21,0(0)(322bccbb配方得43)21(322cb，即1)23()21()21(2222cb即)0,21(1)23()21()21(2222yxyx所以，顶点C 的轨迹是中心在)0,21(，长半轴长为23，短半轴长为21，且短轴在x 轴上的椭圆，除去（0，0） ， （1，0） ，)23,21(，)23,21(，四点（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分13分（）解： f(0)=f（0 0）=0 f（0） 0 f（0）=0因为f(1)=f（1 1）=1 f（ 1） 1 f（1）所以f(1)=0（） f（x）是奇函数证明：因为f（1） =f21 ）（=f（ 1） f（ 1）=0，所以，f（ 1）=0 f（ x）=f（ 1 x）= f（x） xf（ 1） =f（x） ，因此， f（x）为奇函数（）解法一：由f（ a2） =af（a） af（a）=2af（a） ，f（a3）=a2f（a） af（a2）=2a2f（a） ，猜测 f（an）=nan1f（a） 下面用数学归纳法证明：1当 n=1 时， f（a1）=1 a0 f（a） ，公式成立；2假设当n=k 时， f（ak）=kak1f（ a）成立，那么当 n=k1 时，f（ak1）=akf（a） af（ak）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品好资料欢迎下载= akf（ a） kakf（a）=（k1）akf（a） ，公式仍成立由上两步可知，对任意nN，f（an） =nan1f（a）成立所以)21()21()2(1fnfunnn因为f（2）=2，0)2(21)21(2)212()1 (ffff，所以21)2(41)21(ff，1)21()21(nnu（nN） ，因此1)21(211)21(121nnnS（nN） 解法二：当 ab0 时，aafbbfabbaf)()()(令xxfxf)()(，则 g（a b）=g（a） g（b） ，故 g（an）=ng（a） ，所以f（an） =an g（an）=nang（a）=nan1f（ a） 所以)21()21()2(1fnfunnn（以下同解法一）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页