2022年最新冲刺高考数学二轮复习核心考点：利用函数的图像探究函数的性质 .pdf

1 专题 03 利用函数的图像探究函数的性质【自主热身，归纳提炼】1、作出以下函数的图象：(1)(1)y 22x；(2)ylog13 3(x2) ；(3)y|log12( x)|. 【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象(3) 作ylog12x的图象关于y轴对称的图象，得ylog12(x) 的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y|log12( x)| 的图象如图3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 1. 作函数图象的一般步骤为：(1) 确定函数的定义域(2) 化简函数【解析】式(3) 讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等) 以及图象上的特殊点( 如极值点、与坐标轴的交点、间断点等) 、线 ( 如对称轴、渐近线等) (4) 选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象2采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线 ) 和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的【解析】式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象2、 假设函数的值域是4,)，则实数a的取值范围是【答案】：12a【解析】作出函数的图象，易知当2x时，要使( )f x的值域为4,)，由图可知，显然1a且，即12a3、 已知函 数f(x) |2x2 (x( 1,2) ，则函数yf(x1) 的值域为 _【答案】 0,2) 解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域画出函数f(x) |2x2| 的图像由以下图易得值域为 0,2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 解法 2 因为x( 1,2) ，所以2x12，4 ，2x2 32，2 ，所以 |2x2| 0,2)因为yf(x1)是由f(x) 向右平移1 个单位得到的，所以值域不变，所以yf(x1) 的值域为 0,2) 4、已知f(x) 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x0 ， ) ，满足f(x2) f(x)假设当x0,2) 时，f(x) |x2x1| ，则函数yf(x)1 在区间 2,4 上的零点个数为_【答案】： 7 【解析】：作出函数f(x) 的图像 ( 如图 ) ，则它与直线y1 在 2,4 上的交点的个数，即为函数yf(x) 1 在 2,4 的零点的个数，由图像观察知共有7 个交点，从而函数yf(x)1 在 2,4 上的零点有7 个 5 、已知函数f(x) 4，xm，x24x 3，xm.假设函数g(x) f(x) 2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】 (1,2 解法 1 问题转化为g(x) 0，即方程f(x) 2x有三个不同的解，即xm，42x或xm，x24x32x，解得xm，x2或xm，x 1或xm，x 3.因为方程f(x) 2x有三个不同的解，所以2m，1m，3m，解得1m2.解法 2 由题意知函数g(x) 42x，xm，x22x3，xm.画出函数y42x和yx22x3的图像，可知函数g(x) 的三个零点为3，1,2 ，因此可判断m在 1 与 2 之间当m1 时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m2 时，图像包含点(2,0) ，符合题意所以1m2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 6、已知直线ykx1 与曲线f(x) x1xx1x恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为_【答案】18，0，18【解析】：由题意得f(x) x1xx1x是偶函数，且f(x) 2x，x 1，2x，1x0，2x， 0 x0时，要使它们有四个公共点，则需ykx1 与y2x(x 1) 有一个公共点，此时kx12x，即方程kx2x 20 有两个相等的实数解，从而18k0，解得k18；当k0，x33mx2，x0( 其中e为自然对数的底数) 有 3个不同的零点，则实数 m的取值范围是 _【答案】 (1 ， ) 解法 1( 直接法 ) 当 x0 时，令 f(x)ex12 0，解得 xln20，此时函数f(x)有 1 个零点，因为要求函数 f(x) 在 R上有 3 个不同的零点，则当x0 时，f(x) x33mx2 有 2 个不同的零点，因为f (x) 3x23m，令f (x) 0，则x2m0，假设m0，则函数f(x) 为增函数，不合题意，故m0，所以函数f(x) 在( ，m) 上为增函数，在( m，0 上为减函数，即f(x)maxf( m) m m3m m22m m2，f(0) 20，即m1，故实数m的取值范围是 (1 ， ) 解法 2( 别离参数 ) 当 x0 时，令 f(x) ex120，解得 xln20，此时函数f(x)有 1 个零点，因为要求函数 f(x)在 R上有 3 个不同的零点，则当x0 时，f(x) x33mx2 有 2 个不同的零点，即x3 3mx 20，显然x0 不是它的根，所以3mx22x，令yx22x(x0) ，则y 2x2x22x31x2，当x ( ， 1)时，y0，此时函数单调递增，故ymin 3，因此，要使f(x) x33mx 2在 ( ， 0) 上有两个不同的零点，则需3m3，即m1. 解后反思已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2) 别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2 就是此法它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题加以处理，这样就可以通过这种动静结合方便地研究问题(3) 数形结合法：先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解这里采用方法是(1) 和 (3) 的结合【关联6】 、 已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围是【答案】 ：a0 或a2【思路点拨】 ：由于是分段函数，当a0和0a时，一次函数的图象不同，故要分两种情况讨论，由函数【解析】式结构特点知a0时，函数图象过三个象限，问题就变成了考虑0a的情形，也就是由题意的图象需经过第一、二象限，有两种思路：思路 1，别离参数后，转化两个函数图象在y轴右侧的图象有公共点且不相切，找到临界切线位置；思路 2，转化不等式的存在性问题，别离参数后，转化求最值问题，最终求得a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 【 解 析】 当a 0时 ，的图 象经 过两个 象限 ，在0， +恒成立，所以图象仅在第一象限，所以a0 时显然满足题意；当a0 时，的图象仅经过第三象限，由题 意的图象需经过第一、二象限【解法 1】 图像法与yax在y轴右侧的图象有公共点且不相切 如图， =，设切点坐标为，231yx，则有，解得01x, 所以临界直线0l的斜率为2，所以a2 时，符合综上，a0 或a2图 141 l0 O x y P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 ()g x在(0,1)单调递减，在1，2单调递增，又2x时，函数为增函数，所以函数的最小值为2，所以a 2，则实数a的取值范围为a0 或a2解后反思： 填空题中的函数问题，可优先选择利用数形结合思想，通过别离参数、别离函数等途径转化为两函数图像的关系问题处理解法一中也可以转化为：与ya在y轴右侧的图象有公共点且不相切 易求出此时a2，则实数a的取值范围为a 0或a 2例3 、 已 知 函 数， 假 设 存 在 实 数a、b、c、d， 满 足fd，其中，则abcd的取值范围是 . 【答案】：21,24【思路点拨】 ：由存在实数a、b、c、d，满足f d得，存在一条平行于x轴的直线与函数( )f x的图象有四个不同的交点，从而得到, , ,a b c d之间所存在的关系，利用这一关系求得abcd的取值范围。【解析】：如图，由图形可知01a，13b，则，3log b，1ab，因为，所以，由得34x或67x，由于cd，且二次函数的图象的对称轴为5x，故34c且10dc，故易错警示：此题中最容易忽略的是c的取值范围，从而导致出错。【变式1】 、已知函数假设存在实数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 abc，满足，则的最大值是【答案】：22e12【思路点拨】：根据函数【解析】式，可以结合函数的图象得出a，b，c的关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决. 解题过程：作函数)(xf的图象如下：根 据 题 意 ， 结 合 图 象 可 得6ba， 且2ece所以令，2ece则，易得)(cg在2,ee上递增，又因为，根据零点存在性定理可得存在唯一20,eex，使得0)(0 xg，从而函数)(cg的减区间是0,xe，增区间是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 20,ex，又因为，则所以在2,ee上的最大值是1222e解后反思：此题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想. 【 变式2】 、已知函数假设存在12,x xR，当时，则12()x f x的取值范围为【解析】： 因为时，画出函数( )f x的图象，易知113x，则此时， 所以， 令， 解得183x， 当183x取得最大值25627，11x时取得最小值3，所以12()x f x的取值范围是2563,27【关联1】、设函数，假设存在 1 , 0,21xx，使成立，则实数a 的取值范围为. 【答案】：4, 1【思路点拨】 ：先分别求出函数)(xf和)(xg的值域， 再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出实数a的取值范围 . 【 解 析 】： 对 于 函 数)(xf， 当21,0 x时 ，； 当1 ,21(x时 ，从而当1 ,0 x，函数)(xf的值域为 1 ,01D；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 对于函数)(xg，因为10 x，所以，从而当 1 ,0 x，函数)(xg的值域为0a ；因为存在 1 ,0,21xx，使，所以, 假设，则0212a或12a，解之得10a或4a，所以当时，41a，即所求是实数a的取值范围是4, 1. 精彩点评：此题求函数)(xf和函数)(xg的值域并不困难，关键在于先求时实数a的取值范围， 再用补集的思想实数a的取值范围， 从而得到此题的最终【答案】，这种正难则反的思想希望同学们掌握. 【关联 2】 、 已知函数f(x) |log4x，04，假设abc且f( )af( )bf( )c，则 (ab1)c的取值范围是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 例 3、已知函数f(x)是定义在 1 ， ) 上的函数，且f(x) 1|2x3| ，1x2，12f12x，x2，则函数y2xf(x) 3 在区间 (1,2 015)上的零点个数为_【答案】 11 解法1 由题意得当1x2 时，f(x) 2x 2，1x32，42x，32x2. 设x 2n 1,2n)(n N*) ，则x2n 11,2) ，又f(x)12n1f12n 1x，当x2n1 1，32时，则x2n1,32n2 ，所以f(x) 12n1f12n1x12n1212n1x2 ，所以 2xf(x) 3 2x12n1212n1x230，整理得x222n 2x322n4x32n2或x 2n 2. 由于x2n1,32n2 ，所以x32n2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 下面证明：当x 2n1,2n) 时，y2xf(x)3 只有一个零点当x2n1,32n 2 时，yf(x) 单调递增，yg(x) 单调递减，f(32n2) g(32n 2) ，所以x 2n1,32n2 时，有一零点x32n2；当x(32n2,2n) 时，yf(x) 12n112n 1x2n23 ，k1f(x) 122n3，g(x) 32x，k2g(x)32x2 1322n3，322n1，所以k10，当x0,100时，关于x的方程f(x) x15的所有解的和为 _【答案】 10 000 【思路点拨】注意到方程f(x) x15的解可以看做函数yf(x) 与yx15的图像交点的横坐标，同时，注意到f(x) f(x1) 1 具 有“周期性”的特点，由此可作出的图像，由图像得到解的规律，进而得到所有解的和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 分别作出函数yf(x) 与yx15的图像 (如图 ) 当x 0,1) 时，令f(x) (x1)2 2(x1) 1x15，即x2x150，此时两根之和为1；由图可知，当x1,2) ，x2,3) 时，它们的两个根的和组成公差为2 的等差数列，从而当x0,100时，所有的解的和为1001 1210012 10 000. 解后反思应用数形结合的方法研究解的个数或与解相关的问题，是一种常用的策略，也是简化问题求解的一种手段，要熟练地掌握精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页