2016年度高考全国二卷文科数学(原题解析).doc

*-2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=1,2,3,B=x|x2<9,则AB=() A.-2,-1,0,1,2,3B.-2,-1,0,1,2C.1,2,3D.1,22.设复数z满足z+i=3-i,则z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i3.函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则()A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+34.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.323C.8D.45.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.12B.1C.32D.26.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.27.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20B.24C.28D.328.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.3109.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7B.12C.17D.3410.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=1x11.函数f(x)=cos 2x+6cos2-x的最大值为()A.4B.5C.6D.712.已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1mxi=()A.0B.mC.2mD.4m第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题,每个试题考生都必须作答.第2224题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.14.若x,y满足约束条件x-y+10,x+y-30,x-30,则z=x-2y的最小值为.15.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.()求an的通项公式;()设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.18.(本小题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数012345频数605030302010()记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;()记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;()求续保人本年度平均保费的估计值.19.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.()证明:ACHD;()若AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱锥D-ABCFE的体积.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).()当a=4时,求曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程;()若当x(1,+)时, f(x)>0,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知A是椭圆E:x24+y23=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MANA.()当|AM|=|AN|时,求AMN的面积;()当2|AM|=|AN|时,证明:3<k<2.请考生在第2224题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DFCE,垂足为F.()证明:B,C,G,F四点共圆;()若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.23.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.()以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;()直线l的参数方程是x=tcos,y=tsin(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=x-12+x+12,M为不等式f(x)<2的解集.()求M;()证明:当a,bM时,|a+b|<|1+ab|.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.D由已知得B=x|-3<x<3,A=1,2,3,AB=1,2,故选D.2.Cz=3-2i,所以z=3+2i,故选C.3.A由题图可知A=2,T2=3-6=2,则T=,所以=2,则y=2sin(2x+),因为题图经过点3,2,所以2sin23+=2,所以23+=2k+2,kZ,即=2k-6,kZ,当k=0时,=-6,所以y=2sin2x-6,故选A.4.A设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=3a,即R=3,所以球的表面积S=4R2=12.故选A.5.D由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y=kx(k>0)得k=12=2,故选D.6.A由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得|a1+4-1|a2+1=1,解得a=-43,故选A.易错警示圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8).7.C由三视图知圆锥的高为23,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为1244=8.圆柱的底面积为4,圆柱的侧面积为44=16,从而该几何体的表面积为8+16+4=28,故选C.8.B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P=2540=58,故选B.9.C执行程序框图,输入a为2时,s=02+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a为2时,s=22+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a为5,s=62+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.10.D函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.易错警示利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.11.Bf(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sinx-322+112,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.思路分析利用二倍角余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos2-x转化为关于sin x的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x-1,1.12.B由题意可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以i=1mxi=m,故选B.疑难突破关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f(x)与y=|x2-2x-3|的图象均关于直线x=1对称是解题的关键.二、填空题13.答案-6解析因为ab,所以m3=4-2,解得m=-6.易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.14.答案-5解析由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-24=-5.15.答案2113解析由cos C=513,0<C<,得sin C=1213.由cos A=45,0<A<,得sin A=35.所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A=6365,根据正弦定理得b=asinBsinA=2113.16.答案1和3解析丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.疑难突破先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键.三、解答题17.解析()设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=25.(3分)所以an的通项公式为an=2n+35.(5分)()由()知,bn=2n+35.(6分)当n=1,2,3时,12n+35<2,bn=1;当n=4,5时,22n+35<3,bn=2;当n=6,7,8时,32n+35<4,bn=3;当n=9,10时,42n+35<5,bn=4.(10分)所以数列bn的前10项和为13+22+33+42=24.(12分)疑难突破充分挖掘x的意义,进而将bn的表达式类比分段函数给出,从而求出数列bn的前10项和.18.解析()事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60+50200=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分)()事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30+30200=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(6分)()由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05(10分)调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.(12分)19.解析()证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.(2分)由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(4分)()由EFAC得OHDO=AEAD=14.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故ODOH.由()知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=92.五边形ABCFE的面积S=1268-12923=694.(10分)所以五棱锥D-ABCFE的体积V=1369422=2322.(12分)20.解析()f(x)的定义域为(0,+).当a=4时,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1), f (x)=ln x+1x-3, f (1)=-2, f(1)=0.曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.(3分)()当x(1,+)时, f(x)>0等价于ln x-a(x-1)x+1>0.(4分)设g(x)=ln x-a(x-1)x+1,则g(x)=1x-2a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0.(6分)(i)当a2,x(1,+)时,x2+2(1-a)x+1x2-2x+1>0,故g(x)>0,g(x)在(1,+)单调递增,因此g(x)>0;(8分)(ii)当a>2时,令g(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.(10分)由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x(1,x2)时,g(x)<0,g(x)在(1,x2)单调递减,因此g(x)<0.(11分)综上,a的取值范围是(-,2.(12分)21.解析()设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.(2分)将x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=127,所以y1=127.因此AMN的面积SAMN=212127127=14449.(4分)()将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入x24+y23=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1(-2)=16k2-123+4k2得x1=2(3-4k2)3+4k2,故|AM|=|x1+2|1+k2=121+k23+4k2.由题设,直线AN的方程为y=-1k(x+2),故同理可得|AN|=12k1+k23k2+4.(7分)由2|AM|=|AN|得23+4k2=k3k2+4,即4k3-6k2+3k-8=0.(9分)设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20,所以f(t)在(0,+)单调递增.又f(3)=153-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+)有唯一的零点,且零点k在(3,2)内,所以3<k<2.(12分)22.解析()证明:因为DFEC,所以DEFCDF,则有GDF=DEF=FCB,DFCF=DECD=DGCB,所以DGFCBF,由此可得DGF=CBF.因此CGF+CBF=180,所以B,C,G,F四点共圆.(5分)()由B,C,G,F四点共圆,CGCB知FGFB,连结GB.由G为RtDFC斜边CD的中点,知GF=GC,故RtBCGRtBFG,因此,四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍,即S=2SGCB=212121=12.(10分)23.解析()由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(3分)()在()中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=(1+2)2-412=144cos2-44.(8分)由|AB|=10得cos2=38,tan =153.(9分)所以l的斜率为153或-153.(10分)方法总结利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率.24.解析()f(x)=-2x,x-12,1,-12<x<12,2x,x12.(2分)当x-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-12<x<12时, f(x)<2;(4分)当x12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,(5分)所以f(x)<2的解集M=x|-1<x<1.(6分)()证明:由()知,当a,bM时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,因此|a+b|<|1+ab|.(10分)