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综合评价方法及其应用修改 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、一、综合评价方法的基本概念综合评价方法的基本概念 综合评价的问题综合评价的问题: :对被评价对象所进行的客观、对被评价对象所进行的客观、公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是公正、合理的全面评价。通常的综合评价问题都是有若干个同类的被评价对象有若干个同类的被评价对象( (或系统或系统) )，每个被评价，每个被评价对象往往都涉及到多个属性（或指标）。对象往往都涉及到多个属性（或指标）。 综合评价的目的综合评价的目的: :根据系统的属性判断确定这些根据系统的属性判断确定这些系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按系统的运行（或发展）状况哪个优，哪个劣，即按优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称优劣对各被评价对象进排序或分类。这类问题又称为为多属性（或多指标）的综合评价问题多属性（或多指标）的综合评价问题。 综合评价的应用综合评价的应用: :研究多目标决策问题的前提，研究多目标决策问题的前提，因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特因此研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及科学决策等领域都有重要的应用价值。科学决策等领域都有重要的应用价值。 构成综合评价问题的构成综合评价问题的五个要素五个要素分别为分别为: :被评价对被评价对象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。一、一、综合评价方法的基本概念综合评价方法的基本概念 1 1 构成综合评价问题的五个要素构成综合评价问题的五个要素 （1）被被评评价价对对象象 被被评评价价对对象象就就是是综综合合评评价价问问题题中中所所研研究究的的对对象象，或或称称为为系系统统。通通常常情情况况下下，在在一一个个问问题题中中被被评评价价对对象象是是属属于于同同一一类类的的，且且个个数数要要大大于于 1 1，不不妨妨假假设设一一个个综综合合评评价价问问题题中中有有n个个被被评评价价对对象象（或或系系统统） ，分分别别记记为为12,(1)nS SS n。 评评价价指指标标体体系系应应遵遵守守的的原原则则：系系统统性性、科科学学性性、可可比比性性、可可测测性性（即即可可观观测测性性）和和独独立立性性。这这里里不不妨妨设设系系统统有有m个个评评价价指指标标 （或或属属性性） ， 分分别别记记为为12,(1)mx xxm， 即即评评价价指指标标向向量量为为12( ,)Tmx xxx。 1 1 构成综合评价问题的五个要素构成综合评价问题的五个要素 （2 2）评价指标）评价指标 评价指标评价指标是反映被评价对象是反映被评价对象( (或系统或系统) )的运行的运行( (或发展或发展) )状况状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量向量表示，其表示，其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评综合评价的指标体系价的指标体系。 注意到注意到: :当各被评价对象和评价指标值都确定以后，当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果即权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。的可信度，甚至影响到最后决策的正确性。1 1 构成综合评价问题的五个要素构成综合评价问题的五个要素 （3）权重系数）权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的，评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用来刻画。如果用jw来表示评价指标来表示评价指标(1,2,)jxjm的的权重系数，则应有权重系数，则应有0(1,2,)jwjm，且，且11mjjw。 （4 4）综合评价模型）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题对于多指标（或多因素）的综合评价问题, ,就是要就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，成为一个整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应的评价结果。从而得到相应的评价结果。不不妨妨假假设设n个个被被评评价价对对象象的的m个个评评价价指指标标向向量量为为12( ,)Tmx xxx，指指标标权权重重向向量量为为12(,)Tmw www，由由此此构构造造综综合合评评价价函函数数为为( , )yfw x。 如如果果已已知知各各评评价价指指标标的的n个个观观测测值值为为 (1,2, , ;ijxin 1,2, , )jm，则则可可以以计计算算出出各各系系统统的的综综合合评评价价值值( )( ,)iiyfw x，( )12( , ,)iTiiimx xxx(1,2, , )in。根根据据(1,2, )iy in值值的的大大小小将将这这n个个系系统统进进行行排排序序或或分分类类，即即得得到到综综合合评评价价结结果果。 （5 5）评价者）评价者 评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人，也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。者有关。 综合评价的一般步骤：综合评价的一般步骤： 明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标明确评价目的；确定被评价对象；建立评价指标体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处体系（包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选理等）；确定与各项评价指标相对应的权重系数；选择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值择或构造综合评价模型；计算各系统的综合评价值, ,并给出综合评价结果。并给出综合评价结果。 1 1 构成综合评价问题的五个要素构成综合评价问题的五个要素 返回返回 1. 评价指标类型的一致化评价指标类型的一致化 极大型指标极大型指标: :总是期望指标的取值越大越好；总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标极小型指标: :总是期望指标的取值越小越好；总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标中间型指标: :总是期望指标的取值既不要太大，也不要总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为好，即取适当的中间值为最好太小为好，即取适当的中间值为最好; ; 区间型指标区间型指标: :总是期望指标的取值最好是落在某一个确总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区间内为最好。定的区间内为最好。 二、评价指标的规范化处理二、评价指标的规范化处理 一般说来，在评价指标一般说来，在评价指标12,(1)mx xxm 中可能包中可能包含有“含有“极大型极大型”指标、 “”指标、 “极小型极小型”指标、 “”指标、 “中间型中间型”指标”指标和和“区间型区间型”指标。”指标。 （1） 极小型指标） 极小型指标: 对于某个极小型指标对于某个极小型指标x， 则通过变换， 则通过变换1(0)xxx , ,或变换或变换xMx , ,其中其中M为指标为指标x的可能的可能取值的最大值，即可将指标取值的最大值，即可将指标x极大化。极大化。 1. 评价指标类型的一致化评价指标类型的一致化 （2）中中间间型型指指标标: 对对于于某某个个中中间间型型指指标标x，则则通通过过变变换换 2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm 其其中中M和和m分分别别为为指指标标x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值，即即可可将将中中间间型型指指标标x极极大大化化。 1. 评价指标类型的一致化评价指标类型的一致化 （3）区区间间型型指指标标 对对于于某某个个区区间间型型指指标标x，则则通通过过变变换换 1,1,1,axxacxaxbx bxbc 其其中中 , a b为为指指标标x的的最最佳佳稳稳定定的的区区间间，max,ca m Mb，M和和m分分别别为为指指标标x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值。即即可可将将区区间间型型指指标标x极极大大化化。 2. 评价指标的无量纲化评价指标的无量纲化 二、评价指标的规范化处理二、评价指标的规范化处理 在在实实际际中中的的评评价价指指标标12,(1)mx xxm之之间间，往往往往都都存存在在着着各各自自不不同同的的单单位位和和数数量量级级，使使得得这这些些指指标标之之间间存存在在着着不不可可公公度度性性，这这就就为为综综合合评评价价带带来来了了困困难难，尤尤其其是是为为综综合合评评价价指指标标建建立立和和依依据据这这个个指指标标的的大大小小排排序序产产生生不不合合理理性性。 如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过程中就会出价过程中就会出“大数吃小数大数吃小数”的错误结果，从而导致最的错误结果，从而导致最后得到错误的评价结论。后得到错误的评价结论。 无量纲化处理又称为指标数据的无量纲化处理又称为指标数据的标准化标准化,或或规范化规范化处理。处理。 常用方法常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。 2. 评价指标的无量纲化评价指标的无量纲化 假假设设m个个评评价价指指标标12,mx xx，在在此此不不妨妨假假设设已已进进行行了了类类 型型 的的 一一 致致 化化 处处 理理 ， 并并 都都 有有n组组 样样 本本 观观 测测 值值(1,2, ;1,2, )ijx in jm，则则将将其其作作无无量量纲纲化化处处理理。 （1）标标准准差差方方法法: 令令ijjijjxxxs (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中1221111,() (1,2, )nnjijjijjiixx sxxjmnn。 显显然然指指标标(1,2, ;1,2, )ijx in jm的的均均值值和和均均方方差差分分别别为为0 0和和1 1，即即0,1ijx 是是无无量量纲纲的的指指标标，称称之之为为ijx的的标标准准观观测测值值。 2. 评价指标的无量纲化评价指标的无量纲化 （2）极极值值差差方方法法: 令令ijjijjjxmxMm (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中11max ,min (1,2, )jijjiji ni nMxmxjm 。则则0,1ijx 是是无无量量纲纲的的指指标标观观测测值值。 （3）功功效效系系数数法法: 令令ijjijjjxmxcdMm (1,2, , ;1,2, , )in jm， 其其中中, c d均均为为确确定定的的常常数数。c表表示示“平平移移量量” ，d表表示示“旋旋转转量量” ，即即表表示示“放放大大”或或“缩缩小小”倍倍数数，则则 ,ijxc c d 。 譬譬如如若若取取60,40cd，则则60,100ijx 。 返回返回三、综合评价的数学模型三、综合评价的数学模型 为为了了全全面面地地综综合合分分析析评评价价n个个系系统统（被被评评价价对对象象）的的运运行行（或或发发展展）状状况况，如如果果已已知知n个个状状态态向向量量（即即n组组观观测测值值）( )12( ,)iTiiimx xxx(1,2, )in，则则根根据据m个个评评价价指指标标的的实实际际影影响响作作用用，确确定定相相应应的的权权重重向向量量12( ,)Tmw www，且且选选择择合合适适的的数数学学方方法法构构造造综综合合评评价价函函数数（即即综综合合评评价价模模型型） ( , )yfw x， 由由此此计计算算综综合合评评价价指指标标函函数数值值( )( ,)(1,2, )iiyfinw x，并并按按(1,2, )iy in取取值值的的大大小小对对n个个系系统统进进行行排排序序或或分分类类。 问题问题:如何来构造合适的综合评价模型？如何来构造合适的综合评价模型？ 线性加权综合法的线性加权综合法的适用条件适用条件: :各评价指标之间各评价指标之间相互独立。相互独立。 对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观地反映实际。地反映实际。三、综合评价的数学模型三、综合评价的数学模型 1. 线性加权综合法线性加权综合法 线线性性加加权权综综合合法法: : 用用线线性性加加权权函函数数1mjjjyw x 作作为为综综合合评评价价模模型型，对对n个个系系统统进进行行综综合合评评价价。 线性加权综合法的线性加权综合法的特点：特点： （1 1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性）该方法能使得各评价指标间作用得到线性补偿，保证综合评价指标的公平性；补偿，保证综合评价指标的公平性； （2 2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明）该方法中权重系数的对评价结果的影响明显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；显，即权重较大指标值对综合指标作用较大； （3 3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结）当权重系数预先给定时，该方法使评价结果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；果对于各备选方案之间的差异表现不敏感； （4 4）该方法计算简便，可操作性强，便于推广）该方法计算简便，可操作性强，便于推广使用。使用。 1. 线性加权综合法线性加权综合法 2. 非非线性加权综合法线性加权综合法 非非线线性性加加权权综综合合法法: : 用用非非线线性性函函数数mjwjjxy1作作为为综综合合评评价价模模型型， 对对n个个系系统统进进行行综综合合评评价价。 其其中中jw为为权权系系数数，且且要要求求1jx。 非非线线性性加加权权综综合合法法适适用用于于各各指指标标间间有有较较强强关关联联的的情情况况。 非线性加权综合法的特点：非线性加权综合法的特点：（1 1）该方法突出了各备选方案指标值的一致性，即可以平）该方法突出了各备选方案指标值的一致性，即可以平衡评价指标值较小的指标影响的作用；衡评价指标值较小的指标影响的作用；（2 2）在综合评价指标中权重系数大小的影响作用不是特别）在综合评价指标中权重系数大小的影响作用不是特别明显，而对指标值的大小差异相对较敏感；明显，而对指标值的大小差异相对较敏感；（3 3）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于）要求所有的评价指标值（无量纲）都大于或等于1 1；（4 4）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。）非线性加权综合法相对线性加法计算复杂。三、综合评价的数学模型三、综合评价的数学模型 3. 逼近理想点（逼近理想点（TOPSISTOPSIS）方法）方法 实实际际中中，经经常常会会遇遇到到这这样样的的一一类类综综合合评评价价问问题题，即即首首先先设设定定系系统统的的一一个个理理想想（样样本本）点点),(*2*1mxxx，然然后后对对于于每每一一个个被被评评价价对对象象与与理理想想点点进进行行比比较较。如如果果某某一一个个被被评评价价对对象象),(21imiixxx在在某某种种意意义义下下与与理理想想点点),(*2*1mxxx最最接接近近，则则可可以以认认为为被被评评价价对对象象),(21imiixxx就就是是最最好好的的。 基基于于这这种种思思想想的的综综合合评评价价方方法法称称为为逼逼近近理理想想点点的的排排序序方方法法（T Th he e t te ec ch hn ni iq qu ue e f fo or r o or rd de er r p pr re ef fe er re en nc ce e b by y s si im mi il la ar ri it ty y t to o i id de ea al l s so ol lu ut ti io on n，简简称称为为T TO OP PS SI IS S） 。 3. 逼近理想点（逼近理想点（TOPSISTOPSIS）方法）方法 通通常常情情况况下下可可取取简简单单的的欧欧氏氏距距离离，即即取取2*)(),(jijjijxxxxf，则则综综合合评评价价函函数数为为nixxwymjjijji, 2 , 1,)(12*。 经过计算，按照经过计算，按照), 2 , 1(niyi值的大小对各被评价方案进行值的大小对各被评价方案进行排序选优，显然是其值越小方案就越好。特别地，当某个排序选优，显然是其值越小方案就越好。特别地，当某个0iy时，时，即达到了理想点，则对应的方案就是最优的。即达到了理想点，则对应的方案就是最优的。 返回返回 2005 2005年中国大学生数学建模竞赛的年中国大学生数学建模竞赛的A A题：题：“长江水质的评长江水质的评价和预测价和预测”问题的第一部份给出了问题的第一部份给出了1717个观测站（城市）的最个观测站（城市）的最近近2828个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最个月的实际检测指标数据，包括反映水质污染程度的最主要的四项指标：溶解氧（主要的四项指标：溶解氧（DODO）、高锰酸盐指数（）、高锰酸盐指数（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求综合这四种污染指标的值，要求综合这四种污染指标的2828个月的个月的检测数据对检测数据对1717个城市的水质情况做出综合评价。个城市的水质情况做出综合评价。 1. 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 在在以以上上综综合合加加权权评评价价方方法法中中，关关于于权权值值(1,2,)jwjm都都是是属属于于定定常常权权，即即权权值值均均为为常常数数。虽虽然然这这种种方方法法简简单单易易行行，对对某某些些较较简简单单的的实实际际问问题题也也是是可可行行的的，但但是是主主观观性性强强、科科学学性性差差，有有些些时时候候不不能能很很好好地地为为决决策策提提供供有有效效的的依依据据。 根据国标（根据国标（GB 38382002GB 38382002）的规定，关于地表水的水）的规定，关于地表水的水质可分为质可分为类、类、类、类、类、类、类、类、类、劣类、劣类共六个类类共六个类别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），别，每一个类别对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所只要有一项指标达到高类别的标准就算是高类别的水质，所以实际中以实际中不同类别的水质有很大的差别不同类别的水质有很大的差别，而且，而且同一类别的水同一类别的水在污染物的含量上也有一定的差别在污染物的含量上也有一定的差别。 在对在对1717个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指个城市的水质做综合评价时，要充分考虑这些指标值不同类别水的标值不同类别水的“质的差异质的差异”和同类别水的和同类别水的“量的差异量的差异”,”,在此简称为在此简称为“质差质差”和和“量差量差”。因此，这是一个较复。因此，这是一个较复杂的多因素多属性的综合评价问题。杂的多因素多属性的综合评价问题。 1. 动态加权综合评价问题的提法动态加权综合评价问题的提法 动态加权综合评价问题的一般提法：动态加权综合评价问题的一般提法： 现现设设有有n个个被被评评价价对对象象 （或或系系统统） ， 分分别别记记为为12,(1)nS SS n， 每每个个系系统统都都有有m属属性性（或或评评价价指指标标） ，分分别别记记为为12,(1)mx xx m，对对于于每每一一个个属属性性ix都都可可以以分分为为K个个等等级级，记记为为12,Kp pp (1)K。而而对对于于每每一一个个等等级级kp都都包包含含一一个个区区间间范范围围，记记为为( )( ),)iikkab，且且( )( )iikkab(1,2, ;1,2, )im kK，即即当当属属性性( )( ),)iiikkxab时时，则则属属性性ix属属于于第第k类类kp (1)kK 。也也就就是是对对于于每每一一个个属属性性而而言言， 既既有有不不同同类类别别的的差差异异，同同类类别别的的又又有有不不同同量量值值的的差差异异。对对于于这这种种既既有有“质质差差” ，又又有有 “量量差差” 的的问问题题， 如如果果用用通通常常的的定定常常权权综综合合评评价价法法做做综综合合评评价价显显然然是是不不合合理理的的，然然而而合合理理有有效效的的方方法法是是动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法。 根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，根据这个问题的实际背景和综合评价的一般原则，解决问题的解决问题的主要过程分三步完成主要过程分三步完成：将各评价指标作标准化处理；将各评价指标作标准化处理；根据各属性的特性构造动态加权函数；根据各属性的特性构造动态加权函数；构建问题的综合评价模型，并做出评价。构建问题的综合评价模型，并做出评价。 实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型实际中问题的评价指标可能有极大型的、极小型的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的、中间型，或区间型的四种情况，也有时各有不同的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，的量纲，这就需要根据不同情况分别作标准化处理，即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准即对三种不同类型指标变换成统一的、无量纲的标准化指标。化指标。 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 2.1 评价指标的标准化处理评价指标的标准化处理 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 (1) 极极大大型型指指标标的的标标准准化化 如如果果指指标标ix为为极极大大型型指指标标，首首先先要要将将数数据据指指标标作作极极小小化化处处理理，即即通通过过倒倒数数变变换换1iixx ，或或(max )iiiiixMx Mx 实实现现，然然后后再再作作极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化，即即令令 (1)iiiiixmximMm ， 其其中中min ,max iiiimxMx。则则ix被被化化为为无无量量纲纲的的标标准准化化指指标标，对对应应的的分分类类区区间间也也随随之之相相应应地地变变化化，在在这这里里为为了了方方便便仍仍记记为为 ( )( ),) (1,2,;1)iikkabkKim 。 （2 2） 中间型指标的标准化中间型指标的标准化 对于中间型指标，即越靠近某个中间值评价效果越好。如果指对于中间型指标，即越靠近某个中间值评价效果越好。如果指标标ix是关于均值对称的，则用变换是关于均值对称的，则用变换 (1)iiiixxximx ， 其中其中1(),min ,max 2iiiiiiixMmmxMx。 否则， 取某一。 否则， 取某一个理想值个理想值(0)(,)iiixm M，则令，则令 (0)(1)iiiixxximx . . 可将其指标标准化，相应的分类区间也随之变化，同样仍记为可将其指标标准化，相应的分类区间也随之变化，同样仍记为 ( )( ),) (1,2,;1)iikkabkKim 。 2.1 评价指标的标准化处理评价指标的标准化处理 考虑到评价指标的考虑到评价指标的“质差质差”与与“量差量差”的关系，的关系，在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标在确定综合评价指标时，既要能体现不同类型指标之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。之间的差异，也要能体现同类型指标的数量差异。 根据实际问题具体取什么样的根据实际问题具体取什么样的动态加权函数动态加权函数，主要是从实际问题出发分析确定。主要是从实际问题出发分析确定。 对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以对于不同的指标可以取相同的权函数，也可以取不同的权函数。取不同的权函数。 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 hzg:2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 （1） 分分段段变变幂幂函函数数 如如果果某某项项评评价价指指标标ix对对于于综综合合评评价价效效果果的的影影响响大大约约是是随随着着类类别别(1,2,)kp kK的的增增加加而而按按正正幂幂次次增增加加，同同时时在在某某一一类类中中随随着着指指标标值值的的增增加加按按相相应应的的一一个个幂幂函函数数增增加加，则则对对指指标标ix可可以以设设定定分分段段 幂幂函函数数为为变变权权函函数数。即即 1( )( )( ),(1,2,)iikikkw xxxabkK， 其其中中1im 。 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 （2 2）偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数 如如果果某某项项指指标标ix对对于于综综合合评评价价效效果果的的影影响响大大约约是是随随着着类类别别(1,2,)kp kK的的增增加加，先先是是缓缓慢慢增增加加，中中间间有有一一个个快快速速增增长长的的过过程程，随随后后平平缓缓增增加加趋趋于于最最大大， 相相应应的的图图形形呈呈正正态态分分布布曲曲线线 （左左侧侧） 形形状状。 那那么么，此此时时对对指指标标ix的的变变权权函函数数可可以以设设定定为为偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数。即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 当时,当时, 其其中中参参数数i可可取取( )( )11,)iiab中中的的某某 定定值值，在在此此不不妨妨取取( )( )11()/2iiiba， i由由( )()0.9(1)iiKw aim 确确定定。 2.2 动态加权函数的设定动态加权函数的设定 （3 3）S S 型型分分布布函函数数 如如果果某某项项指指标标ix对对于于综综合合评评价价效效果果的的影影响响大大约约是是随随着着类类别别(1,2,)kp kK的的增增加加而而增增加加的的过过程程，呈呈一一条条“S S”曲曲线线，那那么么，此此时时对对指指标标ix的的变变权权函函数数可可以以设设定定为为 S S 型型分分布布函函数数。即即 2( )( )11( )( )12( )( )( )( )12,( )12,iiiiKiiiKKiiKxaaxcbaw xxbcxbba 其其中中参参数数( )( )11(),( )0.52(1)iiKicabw cim 且。 2.3 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 根根据据标标准准化化后后的的各各评评价价指指标标值值，不不妨妨仍仍用用 ix表表示示，以以及及相相应应的的动动态态权权函函数数( )(1,2, )iw x im， 建建立立综综合合评评价价模模型型来来对对 n个个被被评评价价对对象象做做出出综综合合评评价价。在在此此，取取综综合合评评价价模模型型为为各各评评价价指指标标的的动动态态加加权权和和，即即 1( )miiiiXw xx。 以以此此作作为为问问题题的的综综合合评评价价指指标标函函数数，如如果果每每个个被被评评价价对对象象的的 m个个属属性性都都有有N N 组组样样本本观观测测值值 (1,2, ;1,2,)ijxim jN，代代入入上上式式计计算算，则则每每一一个个被被评评价价对对象象都都有有N N个个综综合合评评价价指指标标值值( )(1,2, ;kXj kn 1,2,)jN。由由此此按按其其大大小小排排序序，可可以以给给出出 n个个被被评评价价对对象象的的N N个个排排序序方方案案。 2.3 综合评价模型的构建综合评价模型的构建 2. 动态加权综合评价的一般方法动态加权综合评价的一般方法 利利用用决决策策分分析析中中的的 B Bo or rd da a 函函数数方方法法来来确确定定综综合合排排序序方方案案。记记在在第第j个个排排序序方方案案中中排排在在第第k个个被被评评价价对对象象kS后后面面的的个个数数为为()jkB S，则则被被评评价价对对象象kS的的 B Bo or rd da a 数数为为 1()() (1,2, )NkjkjB SB Skn 由由此此式式的的计计算算结结果果按按其其大大小小排排序序， 就就可可以以得得到到n个个被被评评价价对对象象的的综综合合评评价价结结果果，即即总总排排序序结结果果。 返回返回针针对对长长江江水水质质的的综综合合评评价价这这一一问问题题，采采用用动动态态加加权权综综合合评评价价方方法法来来解解决决。假假设设1 17 7个个城城市市为为被被评评价价对对象象1217,S SS，共共有有四四项项评评价价指指标标（或或属属性性）D DO O、C CO OD DM Mn n、N NH H3 3- -N N 和和P PH H值值，分分别别记记为为321,xxx和和4x，前前三三项项指指标标都都有有 6 6 个个等等级级126,p pp，相相应应的的分分类类区区间间值值如如表表（1 1）所所示示，而而P PH H值值没没有有等等级级之之分分。 表表（1）: 地地表表水水环环境境质质量量标标准准 （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4个个主主要要项项目目标标准准限限值值 单单位位：mg/L 指指 标标 类类 类类 类类 类类 类类 劣劣类类 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高锰锰酸酸盐盐指指数数( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（无无量量纲纲） 6 , 9 1. 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理（1）溶溶解解氧氧（DO）的的标标准准化化 注注意意到到溶溶解解氧氧（D DO O）为为极极大大型型指指标标，首首先先将将数数据据指指标标作作极极小小化化处处理理，即即令令倒倒数数变变换换111xx ，相相应应的的分分类类标标准准区区间间变变为为 1111 11 11 11(0,(, ,( , ,( , ,( , ,( , )7.57.5 66 55 33 22， 然然后后通通过过极极差差变变换换5 . 011xx 将将其其数数据据标标准准化化，对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.2667,(0.2667,0.3333,(0.3333,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) 1. 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理（）高高锰锰酸酸盐盐指指数数（CODMn）的的标标准准化化 高高猛猛酸酸盐盐指指数数本本身身就就是是极极小小型型指指标标，即即由由极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化， 即即令令1522xx , , 对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.1333,(0.1333,0.2667,(0.2667,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) （）氨氨氮氮（NH3-N）的的标标准准化化 氨氨氮氮也也是是极极小小型型指指标标， 对对指指标标数数据据作作极极差差变变换换将将其其数数据据标标准准化化，即即令令233xx ，对对应应的的分分类类区区间间随随之之变变为为 (0,0.075,(0.075,0.25,(0.25,0.5,(0.5,0.75,(0.75,1,(1,) 1. 指标数据的标准化处理指标数据的标准化处理（）PH值值的的处处理理 酸酸碱碱度度（P PH H 值值）的的大大小小反反映映出出水水质质呈呈酸酸碱碱性性的的程程度度，通通常常的的水水生生物物都都适适应应于于中中性性水水质质， 即即酸酸碱碱度度的的平平衡衡值值 （P PH H值值略略大大于于） ， 在在这这里里不不妨妨取取正正常常值值的的中中值值7 7. .5 5。 当当P PH H 7 7. .5 5 时时偏偏酸酸性性，而而偏偏离离值值越越大大水水质质就就越越坏坏，P PH H 值值属属于于中中间间型型指指标标。为为此此，对对所所有有的的P PH H 值值指指标标数数据据作作均均值值差差处处理理，即即令令 5 . 7325 . 15 . 7444xxx， 则则将将其其数数据据标标准准化化。 2. 动态加权函数的确定动态加权函数的确定 根根据据对对这这一一实实际际问问题题的的分分析析，不不妨妨取取动动态态加加权权函函数数为为偏偏大大型型正正态态分分布布函函数数，即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 当时,当时, 其其中中i在在这这里里取取指指标标ix的的类类水水标标准准区区间间的的中中值值，即即( )( )11()/2iiiba，i由由) 3 , 2 , 1( 9 . 0)()(4iawii确确定定。 由由实实际际数数据据经经计计算算可可得得0375. 0,0667. 0,1333. 0321，,2197. 0,1757. 021 3048. 03， 则则代代入入上上式式可可以以得得到到D DO O、 C CO OD DM Mn n和和N NH H3 3- -N N三三项项指指标标的的动动态态加加权权函函数数。 3.综合评价指标函数的确定综合评价指标函数的确定 考考虑虑到到对对实实际际评评价价效效果果影影响响差差异异较较大大的的是是前前三三项项指指标标，以以及及指指标标P PH H值值的的特特殊殊性性，这这里里取取前前三三项项指指标标的的综综合合影影响响权权值值为为0 0. .8 8，而而P PH H 值值的的影影响响权权值值取取0 0. .2 2。因因此此，根根据据综综合合评评价价模模型型，某某城城市市某某一一时时间间的的水水质质综综合合评评价价指指标标定定义义为为 4312 . 0)(8 . 0 xxxwXiiii。 根根据据1 17 7 个个城城市市的的2 28 8 组组实实际际检检测测数数据据，经经计计算算可可得得各各城城市市的的水水质质综综合合评评价价指指标标值值，即即可可得得到到一一个个17 28阶阶的的综综合合评评价价矩矩阵阵17 28()ijX。 4.各城市水质的综合评价各城市水质的综合评价 由由 1717 个城市个城市 2828 个月的水质综合评价指标个月的水质综合评价指标(1,2,17;ijXi 1,2,28)j ，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越，根据其大小（即污染的程度）进行排序，数值越大说明水质越差。由此可得反映大说明水质越差。由此可得反映 1717 个城市水质污染程度的个城市水质污染程度的 2828 个排个排序结果， 根据序结果， 根据BordaBorda数的计算方法则得到第数的计算方法则得到第i个城市个城市( (被评价对象被评价对象) )iS的的 BordaBorda 数为数为 281()() (1,2,17)ijijB SB Si。 经计算可得到各城市的经计算可得到各城市的 BordaBorda 数及总排序结果如表数及总排序结果如表(2)(2)所示。所示。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水质质污污染染总总排排序序结结果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda 数 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 217 总排序 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 17 3