2022年极坐标与参数方程基本知识点 .pdf

名师总结优秀知识点极坐标与参数方程基本知识点一、极坐标知识点1 伸缩变换： 设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0( , yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从 O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 . 3点M的极坐标： 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM叫做点M的极径 ，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角 ，记为。有序数对),(叫做 点M的极坐标 ，记为),(M. 极坐标),(与)Z)(2,(kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(. 4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称， 即),(与),(表示同一点。如果规定20, 0， 那么除极点外， 平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师总结优秀知识点极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式6.曲线的极坐标方程：1直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：00sin()sin()几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过( ,)2M b且平行于极轴方程： （1）)R(或写成及（ 2）acos（3）sin =b2圆的极坐标方程：若圆心为00(,)M，半径为r 的圆方程为：2220002cos()0r几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，r 为半径（2）当圆心位于)0 ,(aC(a0),a 为半径（3）当圆心位于)2,(aC)0(a，a 为半径方程： (1)r(2)cos2a(3)sin2a7.在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点)0(nt,sin,cos,222xxyayxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师总结优秀知识点的一条直线 . 二、参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点( , )P x y满足( )( )xf tyf t，该方程叫曲线 C 的参数方程，变量t 是参变数 ，简称 参数。（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程 ，联系变数yx,的变数t叫做 参变数 ，简称 参数 。 ）相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 。2曲线的参数方程（1）圆222)()(rbyax的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数rbyrax. （2）椭圆12222byax)0(ba的参数方程可表示为)(.sin,cos为参数byax. （3）抛物线pxy22的参数方程可表示为)(.2,22为参数tptyptx. （4）经过点),(ooOyxM，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为.sin,cosootyytxx（t为参数） . 3在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使yx,的取值范围保持一致. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师总结优秀知识点规律方法指导：1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，注意方程中的参数的变化范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页