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2022年高中数学基础知识点归纳 第一部分 集合 (1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1;非空真子集的数为2n-2; (2) 留意：探讨的时候不要遗忘了 的状况。 (3) 其次部分 函数与导数 1.映射：留意 第一个集合中的元素必需有象;一对一，或多对一。 2.函数值域的求法：分析法 ;配方法 ;判别式法 ;利用函数单调性 ; 换元法 ;利用均值不等式 ; 利用数形结合或几何意义(斜率、距离、肯定值的意义等);利用函数有界性( 、 、 等);导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于x∈a,b时，求g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定： 首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数 ; 分别探讨内、外函数在各自定义域内的单调性; 依据同性则增，异性则减来推断原函数在其定义域内的单调性。 留意：外函数 的定义域是内函数 的值域。 4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5.函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; 是奇函数 ; 是偶函数 ; 奇函数 在原点有定义，则 ; 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为困难，应先等价变形，再推断其奇偶性; 6.函数的单调性 单调性的定义： 在区间 上是增函数 当 时有 ; 在区间 上是减函数 当 时有 ; 单调性的判定 1 定义法： 留意：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于推断符号; 导数法(见导数部分); 复合函数法(见2 (2); 图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的随意 ，若有 (其中 为非零常数)，则称函数 为周期函数， 为它的一个周期。 全部正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特殊说明，遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ; ; ; ; ; 函数周期的判定 定义法(试值) 图像法 公式法(利用(2)中结论) 与周期有关的结论 或 的周期为 ; 的图象关于点 中心对称 周期为2 ; 的图象关于直线 轴对称 周期为2 ; 的图象关于点 中心对称，直线 轴对称 周期为4 ; 8.基本初等函数的图像与性质 幂函数： ( ;指数函数： ; 对数函数: ;正弦函数: ; 余弦函数： ;(6)正切函数： ;一元二次函数： ; 其它常用函数： 1 正比例函数： ;反比例函数： ;特殊的 2 函数 ; 9.二次函数： 解析式： 一般式： ;顶点式： ， 为顶点; 零点式： 。 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向;对称轴;端点值;与坐标轴交点;判别式;两根符号。 二次函数问题解决方法：数形结合;分类探讨。 10.函数图象： 图象作法 ：描点法 (特殊留意三角函数的五点作图)图象变换法导数法 图象变换： 1 平移变换： ，2 正左负右 正上负下; 3 伸缩变换： ， ( 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍; ， ( 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 倍; 4 对称变换： ; ; ; ; 5 翻转变换： 右不动，右向左翻( 在 左侧图象去掉); 上不动，下向上翻(| |在 下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上随意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上随意点关于对称中心(对称轴)的对称点在 的图象上，反之亦然; 注： 曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a-x, y)=0; 曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); f(a+x)=f(b-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x= 对称; 特殊地：f(a+x)=f(a-x) (x∈R) y=f(x)图像关于直线x=a对称; 函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称; 12.函数零点的求法： 干脆法(求 的根);图象法;二分法. 13.导数 导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ; 常见函数的导数公式: ; ; ; ; ; ; ; 。 导数的四则运算法则： (理科)复合函数的导数： 导数的应用： 利用导数求切线：留意：所给点是切点吗?所求的是在还是过该点的切线? 利用导数推断函数单调性： 是增函数; 为减函数; 为常数; 利用导数求极值：求导数 ;求方程 的根;列表得极值。 利用导数最大值与最小值：求的极值;求区间端点值(假如有);得最值。 14.(理科)定积分 定积分的定义： 定积分的性质： ( 常数); ; (其中 。 微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式)： 定积分的应用：求曲边梯形的面积： ; 3 求变速直线运动的路程： ;求变力做功： 。 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度 弧长公式： ;扇形面积公式： 。 2.三角函数定义：角 中边上随意一点 为 ，设 则： 3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦; 4.诱导公式记忆规律：函数名不(改)变，符号看象限; 5. 对称轴： ;对称中心： ; 对称轴： ;对称中心： ; 6.同角三角函数的基本关系： ; 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 。 8.二倍角公式： ; ; 。 9.正、余弦定理： 正弦定理： ( 是 外接圆直径 ) 注： ; ; 。 余弦定理： 等三个;注： 等三个。 10。几个公式: 三角形面积公式： ; 内切圆半径r= ;外接圆直径2R= 11.已知 时三角形解的个数的判定： 第四部分 立体几何 1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为 。 2.表(侧)面积与体积公式： 柱体：表面积：S=S侧+2S底;侧面积：S侧= ;体积：V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底;侧面积：S侧= ;体积：V= S底h： 台体：表面积：S=S侧+S上底S下底;侧面积：S侧= ;体积：V= (S+ )h; 球体：表面积：S= ;体积：V= 。 3.位置关系的证明(主要方法)： 直线与直线平行：公理4;线面平行的性质定理;面面平行的性质定理。 直线与平面平行：线面平行的判定定理;面面平行 线面平行。 平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论;垂直于同始终线的两平面平行。 直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理;面面垂直的性质定理。 平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角;面面垂直的判定定理。 注：理科还可用向量法。 4.求角：(步骤-。找或作角;。求角) 异面直线所成角的求法： 1 平移法：平移直线，2 构造三角形; 3 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4 发觉两条异面直线间的关系。 注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。 直线与平面所成的角： 干脆法(利用线面角定义);先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin 。 注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 二面角的求法： 定义法：在二面角的棱上取一点(特别点)，作出平面角，再求解; 三垂线法：由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解; 射影法：利用面积射影公式： ,其中 为平面角的大小; 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法; 理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离：(步骤-。找或作垂线段;。求距离) 两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算; 点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解; 点到平面的距离： 垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解; 5 等体积法; 理科还可用向量法： 。 球面距离：(步骤) ()求线段AB的长;()求球心角∠AOB的弧度数;()求劣弧AB的长。 6.结论： 从一点O动身的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上; 立平斜公式(最小角定理公式)： 正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为 ，则S侧cos =S底; 长方体的性质 长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则：cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。 长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。 正四面体的性质：设棱长为 ，则正四面体的： 1 高： ;对棱间距离： ;相邻两面所成角余弦值： ;内切2 球半径： ;外接球半径： ; 第五部分 直线与圆 1.直线方程 点斜式： ;斜截式： ;截距式： ; 两点式： ;一般式： ，(A，B不全为0)。 (直线的方向向量：( ，法向量( 2.求解线性规划问题的步骤是： (1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系： 4.直线系 5.几个公式 设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，ABC的重心G：( ); 点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离： ; 两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是 ; 6.圆的方程： 标准方程： ; 。 一般方程： ( 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF0; 7.圆的方程的求法：待定系数法;几何法;圆系法。 8.圆系： ; 注：当 时表示两圆交线。 。 9.点、直线与圆的位置关系：(主要驾驭几何法) 点与圆的位置关系：( 表示点到圆心的距离) 点在圆上; 点在圆内; 点在圆外。 直线与圆的位置关系：( 表示圆心到直线的距离) 相切; 相交; 相离。 圆与圆的位置关系：( 表示圆心距， 表示两圆半径，且 ) 相离; 外切; 相交; 内切; 内含。 10.与圆有关的结论： 过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; 以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 第六部分 圆锥曲线 1.定义：椭圆： ; 双曲线： ;抛物线：略 2.结论 焦半径：椭圆： (e为离心率); (左+右-); 抛物线： 弦长公式： ; 注：()焦点弦长：椭圆： ;抛物线： =x1+x2+p= ;()通径(最短弦)：椭圆、双曲线： ;抛物线：2p。 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： ( 同时大于0时表示椭圆， 时表示双曲线); 椭圆中的结论： 内接矩形最大面积 ：2ab; P，Q为椭圆上随意两点，且OP 0Q，则 ; 椭圆焦点三角形：. ，( );.点 是 内心， 交 于点 ，则 ; 当点 与椭圆短轴顶点重合时 最大; 双曲线中的结论： 双曲线 (a0,b0)的渐近线： ; 共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， ≠0); 双曲线焦点三角形：. ，( );.P是双曲线 - =1(a0，b0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 ; 双曲线为等轴双曲线 渐近线为 渐近线相互垂直; (6)抛物线中的结论： 抛物线y2=2px(p0)的焦点弦AB性质：. x1x2= ;y1y2=-p2; . ;.以AB为直径的圆与准线相切;.以AF(或BF)为直径的圆与 轴相切;. 。 抛物线y2=2px(p0)内结直角三角形OAB的性质： . ;. 恒过定点 ; . 中点轨迹方程： ;. ，则 轨迹方程为： ;. 。 抛物线y2=2px(p0)，对称轴上肯定点 ，则： .当 时，顶点到点A距离最小，最小值为 ;.当 时，抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 。 3.直线与圆锥曲线问题解法： 干脆法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 留意以下问题： 联立的关于 还是关于 的一元二次方程? 直线斜率不存在时考虑了吗? 判别式验证了吗? 设而不求(代点相减法)：-处理弦中点问题 步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2);作差得 ;解决问题。 4.求轨迹的常用方法：(1)定义法：利用圆锥曲线的定义; (2)干脆法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分 平面对量 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0; a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 . a•b=|a|b|cos=x2+y1y2; 注：|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影; 6 a•b的几何意义：a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。 cos= ; 三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 ; 附：(理科)P，A，B，C四点共面 。 第八部分 数列 1.定义： 等差数列 ; 等比数列 ; 2.等差、等比数列性质 等差数列 等比数列 通项公式 前n项和 性质 an=am+ (n-m)d, an=amqn-m; m+n=p+q时am+an=ap+aq m+n=p+q时aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP, 等差数列特有性质： 1 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n); ; ; 2 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1) ; ; ; 3 若 ;若 ; 若 。 3.数列通项的求法： 分析法;定义法(利用AP,GP的定义);公式法：累加法( ; 叠乘法( 型);构造法( 型);(6)迭代法; 间接法(例如： );作商法( 型);待定系数法;(理科)数学归纳法。 注：当遇到 时，要分奇数项偶数项探讨，结果是分段形式。 4.前 项和的求法： 拆、并、裂项法;倒序相加法;错位相减法。 5.等差数列前n项和最值的求法： ;利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1.均值不等式： 留意：一正二定三相等;变形， 。 2.肯定值不等式： 3.不等式的性质： ; ; ; ; ; ; ; ;(6) 。 4.不等式等证明(主要)方法： 比较法：作差或作比;综合法;分析法。 第十部分 复数 1.概念： z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0; z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R); z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z+ =0(z≠0) z20; a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则： (1) z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i; z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;z1÷z2 = (z2≠0) ; 3.几个重要的结论： ; ; 性质：T=4; ; (6) 以3为周期，且 ; =0; (7) 。 4.运算律：(1) 5.共轭的性质： ; ; ; 。 6.模的性质： ; ; ; ; 第十一部分 概率 1.事务的关系： 事务B包含事务A：事务A发生，事务B肯定发生，记作 ; 事务A与事务B相等：若 ，则事务A与B相等，记作A=B; 并(和)事务：某事务发生，当且仅当事务A发生或B发生，记作 (或 ); 并(积)事务：某事务发生，当且仅当事务A发生且B发生，记作 (或 ) ; 事务A与事务B互斥：若 为不行能事务( )，则事务A与互斥; (6)对立事务： 为不行能事务， 为必定事务，则A与B互为对立事务。 2.概率公式： 互斥事务(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B); 古典概型： ; 几何概型： ; 第十二部分 统计与统计案例 1.抽样方法 简洁随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简洁随机抽样。 注：每个个体被抽到的概率为 ; 常用的简洁随机抽样方法有：抽签法;随机数法。 系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后根据预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：编号;分段;在第一段采纳简洁随机抽样方法确定其时个体编号 ; 按预先制定的规则抽取样本。 分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的状况，将总体分成几部分，然后根据各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 2.总体特征数的估计： 样本平均数 ; 样本方差 ; 样本标准差 = ; 3.相关系数(判定两个变量线性相关性)： 注： 0时，变量 正相关;0时，变量 负相关; 越接近于1，两个变量的线性相关性越强; 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4.回来分析中回来效果的判定： 总偏差平方和： 残差： ;残差平方和： ;回来平方和： - ;相关指数 。 注： 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好; 越接近于1，则回来效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系)： 随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 1. 四种命题： 原命题：若p则q; 逆命题：若q则p; 否命题：若 p则 q;逆否命题：若 q则 p 注：原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的推断： (1)定义法-正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系：例如：若 ，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件; 3.逻辑连接词： 且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p 或(or)：命题形式 p q; 真 真 真 真 假 非(not)：命题形式 p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 4.全称量词与存在量词 全称量词-全部的、随意一个等，用 表示; 全称命题p： ; 全称命题p的否定 p： 。 存在量词-存在一个、至少有一个等，用 表示; 特称命题p： ; 特称命题p的否定 p： ; 第十五部分 推理与证明 1.推理： 合情推理：归纳推理和类比推理都是依据已有事实，经过视察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特别到特别的推理。 演绎推理：从一般的原理动身，推出某个特别状况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特别的推理。 三段论是演绎推理的一般模式，包括： 大前提-已知的一般结论; 小前提-所探讨的特别状况; 结 论-依据一般原理，对特别状况得出的推断。 二.证明 干脆证明 综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 分析法 一般地，从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明-反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数 有关的一个命题，可按以下步骤进行： 证明当 取第一个值 是命题成立; 假设当 命题成立，证明当 时命题也成立。 那么由就可以判定命题对从 起先全部的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注：数学归纳法的两个步骤缺一不行，用数学归纳法证明问题时必需严格按步骤进行; 3 的取值视题目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。 第十六部分 理科选修部分 1. 排列、组合和二项式定理 排列数公式: =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)3.2.1=n!; 组合数公式： (m≤n), ; 组合数性质： ; 二项式定理： 通项： 留意二项式系数与系数的区分; 二项式系数的性质： 与首末两端等距离的二项式系数相等;若n为偶数，中间一项(第 +1项)二项式系数最大;若n为奇数，中间两项(第 和 +1项)二项式系数最大; (6)求二项绽开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，留意运用赋值法。 2. 概率与统计 随机变量的分布列： 随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,; p1+p2+=1; 离散型随机变量： X x1 X2 xn P P1 P2 Pn 期望：EX= x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; 方差：DX= ; 注： ; 两点分布： X 0 1 期望：EX=p;方差：DX=p(1-p). P 1-p p 4 超几何分布： 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 其中， 。 称分布列 X 0 1 m P 为超几何分布列， 称X听从超几何分布。 二项分布(独立重复试验)： 若XB(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注： 。 条件概率：称 为在事务A发生的条件下，事务B发生的概率。 注：0 P(B|A) 1;P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 独立事务同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。 正态总体的概率密度函数： 式中 是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差; (6)正态曲线的性质： 曲线位于x轴上方，与x轴不相交;曲线是单峰的，关于直线x= 对称; 曲线在x= 处达到峰值 ;曲线与x轴之间的面积为1; 5 当 肯定时，6 曲线随 质的改变沿x轴平移; 7 当 肯定时，8 曲线形态由 确定： 越大，9 曲线越矮胖，10 表示总体分布越集中; 越小，曲线越高瘦，表示总体分布越分散。 注：P =0.6826;P =0.9544 P =0.9974 第28页 共28页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页第 28 页 共 28 页