2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：冲刺提分作业第17讲 导数的综合应用 .docx
第17讲导数的综合应用1.函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在(-2,2)上既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是.2.(2019江阴检测,14)设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a0,若f(x),g(x)在区间(a,a+1)内均为增函数,则实数a的取值范围是.3.(2018靖江高级中学高三年级阶段检测)已知函数f(x)=2f (1)ln x-x,则f(x)的极大值为.4.(2018江苏无锡检测)若函数f(x)=14sin(x)与函数g(x)=x3+bx+c的定义域为0,2,且它们在同一点有相同的最小值,则b+c=.5.(2018江苏苏州调研)已知直线y=a分别与直线y=2x-2,曲线y=2ex+x交于点A,B,则线段AB长度的最小值为.6.(2019苏州3月检测,10)若函数f(x)=x+2x,x0,ax-lnx,x>0在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.7.(2019扬州中学3月检测,14)已知函数f(x)=ax2-2x+ln x有两个不同的极值点x1,x2,若不等式>f(x1)+f(x2)恒成立,则实数的取值范围是.8.(2018江苏姜堰中学、如东高级中学等五校高三上学期第一次学情检测)已知函数f(x)=ex-ex,g(x)=2ax+a,其中e为自然对数的底数,aR.(1)求证:f(x)0;(2)若存在x0R,使f(x0)=g(x0),求a的取值范围;(3)若对任意的x(-,-1), f(x)g(x)恒成立,求a的最小值.9.(2019南京、盐城期末,19)若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.设函数f(x)=x3-tx2+1(tR).(1)若函数f(x)在(0,1)上无极值点,求t的取值范围;(2)求证:对任意实数t,在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行;(3)当t=3时,若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4,问这样的平行切线共有几组?请说明理由.答案精解精析1.答案-185,-3解析因为函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在(-2,2)上既有极大值又有极小值,所以f (x)=3x2+2ax+(a+6)=0在(-2,2)上有两个不相等的实根,于是有=4a2-12(a+6)>0,-2<-a3<2,f (-2)=12-4a+a+6>0,f (2)=12+4a+a+6>0,解得-185<a<-3.2.答案-,-1+521,+)解析f (x)=3x2+2ax-a2=(3x-a)(x+a),函数g(x)图象的对称轴为直线x=1a.若a>0,则a3a,1aa,解得a1;若a<0,则a+1a3,a+11a,解得a-5+12.综上,a-,-1+521,+).3.答案2ln 2-2解析因为f (x)=2f (1)x-1,令x=1,则f (1)=2f (1)-1,解得f (1)=1,所以f (x)=2x-1,令f (x)=0x=2,且x(0,2), f (x)>0, f(x)递增;x(2,+), f (x)<0, f(x)递减,所以x=2时, f(x)取得极大值,即f(2)=2ln 2-2.4.答案-14解析因为函数f(x)=14sin(x)在0,2上的最小值为f32=14sin32=-14,又g(x)=3x2+b,所以g32=274+b=0,g32=278+3b2+c=-14b=-274,c=132b+c=-14.5.答案3+ln22解析由题意可设A(x1,a),B(x2,a),则a=2x1-2,a=2ex2+x2,|AB|=|x1-x2|=a+22-x2=2ex2+x2+22-x2=ex2-12x2+1,令f(x)=ex-12x+1,则f (x)=ex-12, 令f (x)=0,则x=ln12,且x<ln12时, f (x)<0, f(x)递减;x>ln 12时, f (x)>0, f(x)递增,则f(x)min=fln 12=32-12ln12=3+ln22>0,故线段AB长度的最小值为3+ln22.6.答案1e解析当x0时, f(x)=x+2x, f(x)在(-,0上单调递增, f(-1)=-1+2-1<0, f(0)=1>0,由零点存在性定理,可得f(x)在(-1,0)上有且只有一个零点;则由题意可得,当x>0时, f(x)=ax-ln x有且只有一个零点,即a=lnxx在(0,+)上有且只有一个实根.令g(x)=lnxx(x>0),则g(x)=1-lnxx2,当x>e时,g(x)<0,g(x)单调递减;当0<x<e时,g(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)在x=e处取得极大值,也为最大值,且g(e)=1e,当直线y=a(a>0)与g(x)的图象只有一个交点时,a=1e.故a=1e.7.答案-3,+)解析f (x)=2ax-2+1x=2ax2-2x+1x(x>0).因为函数有两个不同的极值点x1,x2,所以2ax2-2x+1=0有两个不相等的正根,所以=4-8a>0,x1+x2=1a>0,x1x2=12a>0,解得0<a<12.所以f(x1)+f(x2)=ax12-2x1+ln x1+ax22-2x2+ln x2=a(x1+x2)2-2x1x2-2(x1+x2)+ln(x1x2)=-1a-1-ln 2a.令h(a)=-1a-1-ln 2a0<a<12,h(a)=1-aa2,则h(a)>0,故h(a)在0,12上单调递增,故h(a)<h12=-3,故-3.8.解析(1)证明:令f (x)=ex-e=0,得x=1,且当x<1时, f (x)<0;当x>1时, f (x)>0,所以函数f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得最小值.因为f(1)=0,所以f(x)0.(2)设F(x)=ex-ex-2ax-a,题设等价于求函数F(x)有零点时a的取值范围.当a0时,由F(1)=-3a0,F(-1)=e-1+e+a>0,所以F(x)有零点.当-e2a<0时,若x0,由e+2a0,得F(x)=ex-(e+2a)x-a>0;若x>0,由(1)知,F(x)-a(2x+1)>0,所以F(x)无零点.当a<-e2时,F(0)=1-a>0,又存在x0=1-ae+2a<0,F(x0)<1-(e+2a)x0-a=0,所以F(x)有零点.综上,a的取值范围是aa<-e2或a0.(3)由题意得,a(2x+1)ex-ex,因为x<-1,所以aex-ex2x+1.设G(x)=ex-ex2x+1(x<-1),其值域为A,由于G(x)-e2=ex-ex2x+1+e2=ex+e22x+1<0,所以G(x)<-e2.又G(x)=2xex-ex-e(2x+1)2<0,所以G(x)在(-,-1)上为减函数,所以G(x)>G(-1)=-e-1e,记区间-e-1e,-e2=B,则AB.设函数H(x)=G(x)-m,mB,一方面,H(-1)=-e-1e-m<0;另一方面,H(x)=12x+1ex-ex-m(2x+1)=12x+1(ex-1)-(e+2m)x+1-m,存在52m+e<-1,H52m+e=1102m+e+1(e52m+e-1)-m-4>0,所以x152m+e,-1,使H(x1)=0,即G(x1)=m,所以BA.由,知,A=B,从而a-e2,即a的最小值为-e2.9.解析(1)由函数f(x)=x3-tx2+1,得f (x)=3x2-2tx.由f (x)=0,得x=0或x=23t.因为函数f(x)在(0,1)上无极值点,所以23t0或23t1,解得t0或t32.(2)证明:令f (x)=3x2-2tx=p,即3x2-2tx-p=0,=4t2+12p.当p>-t23时,>0,此时3x2-2tx-p=0存在两个不同的解x1,x2.易知这两条切线方程分别为y=(3x12-2tx1)x-2x13+tx12+1和y=(3x22-2tx2)x-2x23+tx22+1.若两切线重合,则-2x13+tx12+1=-2x23+tx22+1,即2(x12+x1x2+x22)=t(x1+x2),即2(x1+x2)2-x1x2=t(x1+x2).而x1+x2=2t3,则x1x2=t29,此时(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4t29-4t29=0,与x1x2矛盾,所以,这两条切线不重合.综上,对任意实数t,在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行.(3)当t=3时, f(x)=x3-3x2+1, f (x)=3x2-6x.由(2)知x1+x2=2时,两切线平行.设A(x1,x13-3x12+1),B(x2,x23-3x22+1),不妨设x1>x2,则x1>1.过点A的切线方程为y=(3x12-6x1)x-2x13+3x12+1.所以,两条平行线间的距离d=|2x23-2x13-3(x22-x12)|1+9(x12-2x1)2=|(x2-x1)2(x1+x2)2-2x1x2-3(x1+x2)|1+9(x12-2x1)2=4,化简得(x1-1)6=1+9(x1-1)2-12,令(x1-1)2=(>0),则3-1=9(-1)2,即(-1)(2+1)=9(-1)2,即(-1)(2-8+10)=0.显然=1为一解,2-8+10=0有两个异于1的正根,所以这样的值有3个.因为x1-1>0,所以x1的值有3个,所以满足此条件的平行切线共有3组.
