2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：冲刺提分作业第20讲 数列的综合应用 .docx
第20讲数列的综合应用1.(2019苏州期中,12)已知数列an的通项公式为an=5n+1,数列bn的通项公式为bn=n2,若将数列an,bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列cn,则c6的值为.2.(2018江苏常州模拟)各项均为正数的等比数列an中,若a2a3a4=a2+a3+a4,则a3的最小值为.3.(2019无锡期中,10)九章算术中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意为“有厚墙五尺,两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天打一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也打一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?”一古城墙厚33尺,大、小老鼠按上述方式打洞,相遇时是第天.4.(2019扬州中学3月检测,10)已知数列an为正项的递增等比数列,a1+a5=82,a2a4=81,记数列2an的前n项和为Tn,则使不等式2 01913Tn-1>1成立的最大正整数n的值是.5.(2018徐州铜山高三第三次模拟)设Sn是等比数列an的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m=.6.(2019南师大附中期中,13)已知实数x,y,z0,4,如果x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则|x-y|+|y-z|的最小值为.7.(2018淮海中学高三模拟)若数列an同时满足:对于任意的正整数n,an+1an恒成立;对于给定的正整数k,an-k+an+k=2an对于任意的正整数n(n>k)恒成立,则称数列an是“R(k)数列”.(1)已知an=2n-1,n为奇数,2n,n为偶数,判断数列an是不是“R(2)数列”,并说明理由;(2)已知数列bn是“R(3)数列”,且存在整数p(p>1),使得b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+3成等差数列,证明:bn是等差数列.答案精解精析1.答案256解析设am=bk,则有5m+1=k2,即m=(k+1)(k-1)5,因为m是正整数,所以k+1或k-1是5的整数倍,设k+1=5t或k-1=5t(tN*),即k=5t-1或k=5t+1(tN*),所以k=4,6,9,11,14,16,19,21,所以c6=162=256.2.答案3解析因为a2a3a4=a2+a3+a4,所以a33=a3q+a3+a3q,a32=1q+q+13,a3>0,则a33,当且仅当q=1时取等号,则a3的最小值为3.3.答案6解析设第x天相遇,大鼠每天打洞尺数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则x天共打洞尺数为1-2x1-2=2x-1;小鼠每天打洞尺数构成以1为首项,12为公比的等比数列,则x天共打洞尺数为1-12x1-12=2-12x-1.根据题意得2x-1+2-12x-133,即2x-12x-132,令f(x)=2x-12x-1=2x-22x,当x>0时, f(x)是增函数,又f(5)=32-232<32, f(6)=64-264>32,所以相遇时是第6天.4.答案6解析设数列an的公比为q(q>1),由a1+a5=82,a1a5=81,解得a1=1,a5=81,则q=3,an=3n-1,则Tn=21+23+232+23n-1=21-13n1-13=31-13n,2 01913Tn-1>1,即2 01913n>1,得3n<2 019,此时正整数n的最大值为6.5.答案8解析设等比数列an的公比为q,由S3,S9,S6成等差数列,得S3+S6=2S9,则(a1+a2+a3)(2+q3)=2(a1+a2+a3)(1+q3+q6),a1+a2+a30,则2+q3=2+2q3+2q6,q3=-12,则a2+a5=a2+a2q3=12a2=2am=2a2qm-2,14=-12m-23,m-23=2,m=8.6.答案4-23解析实数x,y,z0,4,x2,y2,z2是公差为2的等差数列,则0xyz4,则|x-y|+|y-z|=z-x=z2-x2z+x=4z+x=4z+z2-444+23=4-23.|x-y|+|y-z|的最小值为4-23.7.解析(1)数列an是“R(2)数列”.当n为奇数时,an+1-an=2(n+1)-(2n-1)=3>0,所以an+1an.an-2+an+2=2(n-2)-1+2(n+2)-1=2(2n-1)=2an;当n为偶数时,an+1-an=2(n+1)-1-2n=1>0,所以an+1an.an-2+an+2=2(n-2)+2(n+2)=4n=2an.所以,数列an是“R(2)数列”.(2)证明:由题意可得bn-3+bn+3=2bn,则数列b1,b4,b7,是等差数列,设其公差为d1,数列b2,b5,b8,是等差数列,设其公差为d2,数列b3,b6,b9,是等差数列,设其公差为d3.因为bnbn+1,所以b3n+1b3n+2b3n+4,所以b1+nd1b2+nd2b1+(n+1)d1,所以n(d2-d1)b1-b2,n(d2-d1)b1-b2+d1.若d2-d1<0,则n>b1-b2d2-d1时,不成立;若d2-d1>0,则n>b1-b2+d1d2-d1时,不成立;若d2-d1=0,则和都成立,所以d1=d2.同理得:d1=d3,所以d1=d2=d3,记d1=d2=d3=d.设b3p-1-b3p-3=b3p+1-b3p-1=b3p+3-b3p+1=,则b3n-1-b3n-2=b3p-1+(n-p)d-b3p+1+(n-p-1)d=b3p-1-b3p+1+d=d-.同理可得:b3n-b3n-1=b3n+1-b3n=d-,所以bn+1-bn=d-,所以bn是等差数列.
