2022年数列求和的基本方法与技巧 .pdf
优秀学习资料欢迎下载数列求和的基本方法与技巧（高一）数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。一、公式求和法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1() 1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、11123.(1)2nnkSknn n2222211123.(1)(21)6nnkSknn nn333332211123.(123.)(1)2nnkSknnn n练习： 2122.2_n（注意：等比数列，共有n+1 项）123.2_n（注意：等差数列，共有2n项）已知2122.2nna，100na则数列的前项和为 _数列 7，77，777，7777, ，的一个通项公式为_例 1、 求和：nxxxx32解：当 x=0 时，,0nS当 x=1 时，,nSn当 x0,且 x1 时，xxxxxxSnnn1111. 例 2、已知3log1log23x，求nkkx1。解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nkknxS1nnnxxx211211)211(211)1(练习：设123.,nSn nN，求1( )(32)nnSf nnS的最大值 .二、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 3、求和 :nnyxyxyx111221,1,0yxx解:原式 =nxxxx32nyyy1112=yyyxxxnn1111111=nnnnyyyxxx1111注意：若条件中未给出参数的条件，则应对x=0,x=1,y=1 进行讨论。例 4、已知112345.( 1).nnSn设，求1730512sss分析：注意123456.1解：17305028( 1)172 15( 1)25(1)5147sss例 5、求数列的前n项和：2111111,4,7,.,32,.nnaaa解：设)231()71()41()11(12naaaSnn21111(1)(1 4732)nnaaa当1a时，2)13(nnnSn2)13(nn当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan例 6 求数列)2)(1(nnn的前n项和。解：设kkkkkkak2332)12)(1(nknkkkS1)12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得kkkSnknknkn1213132)21()21(3)21 (2222333nnn2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载2)2()1(2nnn三、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解为(1)( )naf nf n的形式，然后相互抵消，最终达到求和的目的。通常有以下情形：（1）111) 1(1nnnnan（2）1111()(21)(21)2 2121nannnn（3）1111(1)(2)2(1)(1)(2)nan nnn nnn（4）111nannnn例 7、求和：11321211nn分析：由1111nnnnnnan=111nnnnnn=111nn解：原式 =1111113121211nnnn=111n=1nn例 9、求数列111,.,.12231nn的前n项和。解：设nnnnan111则11321211nnSn)1()23()12(nn11n例 9、在数列na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前n项的和. 解：211211nnnnnan)111(82122nnnnbn数列nb的前n项和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载)111()4131()3121()211(8nnSn)111 (8n18nn11n四、错位相减求和法例 10、求和：nn212423132分析：原式等价于nnnn211212142132121321其中11 .2nnan，象这种通项公式由等差与等比的积组成的数列（混合积数列）的前n 项和，联系课本中等比数列前n 项和公式的推导过程，可采用错位相减法求得. 解：令nS123111111234122222nnnnnS21234111111234122222nnnn得：23111111122222nnnnSnnnnS21212121212132111122121212nnn212122nnn332nn练习： 求和：2323nxxxnx（注意分类讨论）求和：132) 12(7531nnxnxxxS（注意分类讨论）例 11、求和：.0127531132aanaaan解：当 a=1 时，12531nSn22121nnn当 a1 时，2311357.21nnSaaananaS23135.2321nnaaanana得：211122221nnna Saaana精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载1112211nnaanaaaanaaaSnnn1121122五、对称项求和法（高斯法）这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是找到数列各项相应的对称项，两两结合相加。有时可将原数列反序排列后再与原数列相加，称为反序相加法。例 12、 已知1( )1fxx，求111(1)(2)(3).(2008)(1)()().()232008ffffffff分析：1111( )()111111xf xfxxxxx解：原式111(1)(1)(2)()(3)( ).(2008)()232008ffffffff11 1.1200812008（个 相加）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
