2022年数字信号处理教程程佩青课后题答案 .pdf
第一章 离散时间信号与系统2. 任意序列 x(n) 与 (n) 线性卷积都等于序列本身x(n) ， 与 (n-n0) 卷积 x(n- n0),所以（ 1）结果为 h(n) (3)结果 h(n-2) （2）列表法x(m) ()h n mn 1 1 1 0 0 0 0 y(n) 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 3 4 0 1 1 1 1 2 5 0 0 1 1 1 1 1 （4）3.已知10,)1()(anuanhn，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为)(nh的线性移不变系统的阶跃响应。4. 判断下列每个序列是否是周期性的, 若是周期性的 , 试确定其周期：)6()()()n313si n()()()873cos()()(njenxcAnxbnAnxa分析：序列为)cos()(0nAnx或)sin()(0nAnx时，不一定是周期序列，nmmmnnyn23125.0)(01当34nmnmmnnyn225 .0)(1当aaanynaaanynnhnxnyanuanhnunxmmnnmmn1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页当0/2整数，则周期为0/2；为为互素的整数）则周期、（有理数当,20QQPQP当0/2无理数，则)(nx不是周期序列。解： （1）0142/3，周期为14 （2）062/13，周期为6 （2）02/12，不是周期的7.（1）12121212( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )T x ng n x nT axnbxng naxnbxng nax ng nbxnaT xnbT xn所以是线性的Tx(n-m)=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y和 x 括号内相等，所以是因果的。 （x 括号内表达式满足小于等于 y 括号内表达式，系统是因果的） y(n) = g(n)x(n) = g(n) x(n) x(n)有界，只有在 g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定（3）Tx(n)=x(n-n0) 线性，移不变， n-n0=0 时系统是因果的，稳定（5）线性，移变，因果，非稳定（7）线性，移不变，非因果，稳定（8）线性，移变，非因果，稳定8. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页不稳定。是因果的。时当解：?,1101|)(|,0)(,0)1(22nnhnhn稳定。！是因果的。时，当?3814121111*2*311*2111211101|)(|,0)(0)2(nnhnhn不稳定。是因果的。时，当?210333|)(|,0)(0)3(nnhnhn稳定。是非因果的。时，当?23333|)(|,0)(0)4(210nnhnhn系统是稳定的。系统是因果的。时，当?7103.03. 03.0|)(|,0)(0)5(210nnhnhn系统不稳定。系统是非因果的。时，当?213.03.0|)(|0)(0)6(nnhnhn系统稳定。系统是非因果的。时，当1|)(|0)(0)7(nnhnhn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页第二章Z 变换1求以下序列的 z变换，并画出零极点图和收敛域。（7）分析：Z 变换定义nnznxzXnxZ)()()(，n 的取值是)(nx的有值范围。Z 变换的收敛域是满足Mznxnn)(的 z 值范围。解：(1) 由 Z 变换的定义可知：zzazazazazaaz,01,11, 1零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2) 由 z 变换的定义可知：nnnznuzX)()21()(nnnzazX)(nnnnnnzaza01nnnnnnzaza01)(1()1()1)(1(1111212azazazaazazazaazaz)(21)()2(nunxn)(21)()2(nunxn)1(21)()3(nunxn)1(,1)()4(nnnx为常数）00(0,)sin()()5(nnnnx10,)()cos()()6(0rnunArnxn)1|()()1(aanxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页0)21(nnnz12111z211121zz即：收敛域：021zz零点为：极点为：解:（3）nnnznuzX)1()21()(1)21(nnnz12nnnzzz21212111z2112zz即：收敛域：021zz零点为：极点为：解： (4) 11)(nnznzX?11)(1)(nnznndzzdX21)(11zzznn，1| z) 1(21)()3(nunxn)1( ,1)()4(nnnx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页。的收敛域为故的收敛域相同，的收敛域和因为1|)()()(1ln)1ln(ln)(zzXdzzdXzXzzzzzXz1,0零点为：极点为：zz解：(5) 设)()sin()(0nunny则有1|cos21sin)()(20101zzzzznyzYnn，而)()(nynnx)()(zYdzdzzX1|,)cos21(sin)1(2201021zzzzz因此，收敛域为：1zzzzzezezjj,0,1,1,00零点为：（极点为二阶）极点为：解：(6) 1,cos21)cos(coscos21sinsincos21cos1cos)()()sin(sin)()cos(cos)(sin)sin(cos)(cos()()cos()(20101201012010100000zzzzzzzzzzzYnunnunnunnnunny设。：的收敛域为则而的收敛域为则|)(cos21)cos(cos)()()()(1)(220101rzzXzrrzrzArzYAzXnyArnxzzYn（7）Zu(n)=z/z-1 为常数）00(0,sin)()5(nnnnx10),()cos()()6(0rnunArnxn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页 Znu(n)=2-z1(1)dzzdz zz2223Zn u(n)=-z(1)(1)dzzzdzzz零点为 z=0,j, 极点为 z=111211123.,( )1111212 (1) ( ),z (2) ( ),z11241144111114 (3)( ),z (4) ( ),z8115311515X zzzzX zX zzzzzaX zX zazazz用长除法留数定理部分分式法求以下的 反变换分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分母都要按z的升幂排列。部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得x（n） 。留数定理法：。号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（2)1/(1)/(1)()()()(Re11111kkknknkknzzzzzzzzXzzzzXzzzzzzXs（1） （i ）长除法：1212111411211)(zzzzX, 2/1|,2/1zz而收敛域为：极点为按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(nx?2141211zz112111211zz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页211412121zzz241z?0212141211)(nnnzzzzX所以：)(21)(nunxn（1）(ii)留数定理法：cndzzzjnx11211121)(, 设 c 为21z内的逆时针方向闭合曲线：当0n时，nnzzzz211112111在 c 内有21z一个单极点则0,2121Re)(21nzzsnxnnz，是因果序列由于)(nx0)(0nxn时，故)(21)(nunxn所以（1）(iii) 部分分式法：212111411211)(121zzzzzzX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页因为21z所以)(21)(nunxn（2）(i). 长除法：41,41zz而收敛域为由于极点为, 因而)(nx是左边序列 ,所以要按z的升幂排列：?2112288zzzzz8224122877zzz3221122828zzz?112478478112288)(nnnnnnzzzzzX所以)1(417)(8)(nunnxn（2）(ii)留数定理法 : 41)(21)(1，为设zcdzzzXjnxcn内的逆时针方向闭合曲线时：当0n1)(nzzX在 c 外有一个单极点41z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页)0(,)41(7)(Re)(411nzzXsnxnzn时：当0n1)(nzzX在 c 内有一个单极点0z0, 8)(Re)(01nzzXsnxzn，内无极点在时：当)(01czzXnn0,0)(nnx则：综上所述，有：) 1()41(7)(8)(nunnxn(2)(iii). 部分分式法：4178)41(2)(zzzzzzzX则1411784178)(zzzzX因为41z则)(nx是左边序列所以)1()41(7)(8)(nunnxn(3)(i). 长除法：因为极点为az1，由az1可知,)(nx为因果序列 , 因而要按z的降幂排列 : ?221)1(1)1(11zaaazaaaaazazaz111)1(1)1()1(zaaaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页?2211)1(1)1(1)1(1zaaazaaazaaa则11)1(1)(nnnzaaaazX所以)1(1)1()(1)(nuaaananxn(3)(ii). 留数定理法 : azdzzzXjnxcn1c)(21)(1为，设内的逆时针方向闭合曲线。) 1(1)1()(1)(0)()(011)(Re)(Re)0(1, 0c)(0)0(,1)1(11)(Re)(1)(00111111111nuaaananxnxnxnaaaazzXszzXsxazzzzXnnaaazazazazzXsnxazczzXnnnnnnnnnzazazaz所以。此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点内有在时：当(3)(iii). 部分分式法：azazaazzazzzX11)1()(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页则1111)1()(zaaaazX所以)(1)1()()()(nuaaananxn) 1(1)1()(1nuaaanan(4) 1( )41111()()3535zX zABzzzzzA=5/8, B=3/8 53( )1188355 13 1( )( )(1)( )( )8 38 5nnzzX zzzx nunu n5对因果序列 ,初值定理是)(lim)0(zXxz,如果序列为0n时0)(nx,问相应的定理是什么 ? 讨论一个序列 x(n)，其 z 变换为：( ) (0) X zx的收敛域包括单位圆，试求其值。分析：这道题讨论如何由双边序列Z变换)( zX来求序列初值)0(x，把序列分成因果序列和反因果序列两部分， 它们各自由)(zX求)0(x表达式是不同的 ，将它们各自的)0(x相加即得所求。)0()(lim)2()1()0()()(:,0)(,0020 xzXzxzxxznxzXnxnznn?所以此时有：有时当序列满足解：若序列)(nx的 Z 变换为：2112512419127)(zzzzX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页21,2)()()(21324)21)(2(24191272512419127)(21212211zzzXzXzXzzzzzzzzzzzzX的极点为）（）（由题意可知：X(Z) 的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为：221z31)0()0()0(31213lim)(lim)0(024lim)(lim)0()(0)(2122010121xxxzzzXxzzzXxnxnnxzzzz）（）（为因果序列：时为有值左边序列，为则6. 有 一 信 号)(ny， 它 与 另 两 个 信 号)(1nx和)(2nx的 关 系 是 : )1()3()(21nxnxny， 其中)(21)(1nunxn，)(31)(2nunxn，已知111)(aznuaZn，az，利用 z 变换性质求 y(n)的 z 变换 Y(z) 。解：)z3)(21-(z3z)z311)(21-(zz3112111)1n(x3133311)()1(313111)()(212111)()3(3111)()(2111)()(55132121122112213131122111zzzzZ)(nZxY(z)n()*x(nxy(n)zzzzzXnxzzzXnxzzzzXznxzzXnxzzXnxZZZZZ所以而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页8. 若)(),(21nxnx是因果稳定序列，求证：)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj分析：利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解deeXeXnxnxnjjj)()(21)(*)(2121，而)()(21)0()0(0)(*)(212121deXeXxxnnxnxjj再利用)()(21nxnx、的傅里叶反变换，代入n = 0 即可得所需结果。证明: deeXeXeXeXeYzXzXzYnxnxnynjjjjjj)()(21)()()()()()()()()(21212121则设)()()()(2121nxnxnydeeYnjj)0()0()()(| )()()()(2121002102121xxknxkxnxnxdeXeXnnknjj?deeXnxdeeXnxnjjnjj)(21)()(21)(2211deXxj)(21)0(11deXxj)(21)0(22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页)(21)(21)()(212121deXdeXdeXeXjjjj10. 分析：利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式。)()(2122njnxdex解：4)0(2)()()(6)()()()(000 xdeeXdeXbnxenxeXajjjnnnjj)(c由帕塞瓦尔公式可得：nnxdeXj22)(2)(28)(dnnjjenxeX)()(nnjjenxjndedX)()()(即dedXnxjnDTFTj)()()(由帕塞瓦尔公式可得：316)490256491019(2)(2|)()( |2)(2222nnnxnnxjnddedXj13. 研究一个输入为)(nx和输出为)(ny的时域线性离散移不变系统， 已知它满足)()1()(310)1(nxnynyny并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页分析：在Z变换域中求出( )( ) /( )H zY zX z ，然后和题12（c）一样分解成部分分式分别求Z反变换。解：对给定的差分方程两边作Z 变换，得：1110( )( )( )( )3( )1( )101( )(3)()33z Y zY zzY zX zY zzH zX zzzzz则：31,321zz极点为，为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为1/3 z 3 即可求得)(31)1(383)(nununhnn14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。)() 1()(25) 1(nxnynyny解 : 对题中给定的差分方程的两边作 Z 变 换，得：)()()(25)(1zXzzYzYzYz因此)()()(zXzYzHzz2511)21)(2(zzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页其零点为0z极点为21z,212z因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。收敛域情况有：零极点图一：2z零极点图二：221z零极点图三：21z注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击解答 按键即可。(1)按 12 题结果 (此处 z1=2, z2=1/2), 可知当收敛区域为2z,则系统是非稳定的， 但是因果的。其单位抽样响应为：)()(1)(2121nuzzzznhnn)()22(32nunn(2) 同样按 12题，当收敛区域为221z，则系统是稳定的但是非因果的。其单位抽样响应为：)()1(1)(2112nuznuzzznhnn)(21)1(232nununn|)|(|12zzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页(其中21z212z) (3) 类似 , 当收敛区域为21z时，则统是非稳定的，又是非因果的。其单位抽样响应为：)1()1(1)(2112nuznuzzznhnn)1()22(32nunn(其中21,221zz) 第三章 离散傅立叶变换1. 如下图，序列 x(n) 是周期为 6 的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。5062650)()()(X:nnkjnknenxWnxk解kjkjkjkjkjeeeee562462362262621068101214计算求得 :。339)5(;33)4(;0)3(;33)2(;339)1(;60)0(jXjXXjXjXX。并作图表示试求设)(),()(.)()(),()(.264kXnxkXnxnxnRnx5062650)()()(:nnkjnknenxWnxkX解kjkjkjeee3231。计算求得：3)5(;1)4(;0)3(;1)2(;3)1(;4)0(jXXXXjXX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28 页4641, 043.( ),( )(2) ,( )( ),( )( ) ,0( )( )nnx nh nRnx nx nh nh nnx nh n%设令，其它试求与的周期卷积并作图 。解：在一个周期内的计算值4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果N 比序列的点数多，则需补零；如果N 比序列的点数少，则需将序列按N 为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位x(-n)5为周期序列 1,0,2,3,1 x(n)6为周期序列 1, 1,3,2,0,0 x(-n)6R6(n)为 6 点有限长序列 1,0,0,2,3,1 x(n)3R3(n)为 3 点有限长序列 3,1,3 x(n-3)5R5(n)为 5 点有限长序列 3,2,0,1,1 x(n)7R7(n)为 7 点有限长序列 1, 1,3,2,0,0,0 8. 解： （1）x(n)*x(n)= 40() ()mx m x nmx(m) ()x n mn 1 0 2 1 3 0 0 y(n) 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 1 4 3 1 2 0 1 2 4 3 1 2 0 1 10 5 0 3 1 2 0 1 4 6 0 0 3 1 2 0 1 13 7 0 0 0 3 1 2 0 6 8 3 1 2 9 )()(*)()(mnhnhnxny)()(*)()(mnhnhnxny精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页(2) x(n)x(n)=4() ()( )550 x m xnmRnmx(m) 5 5()( )x n m R nn 1 0 2 1 3 f(n) 0 1 3 1 2 0 5 1 0 1 3 1 2 13 2 2 0 1 3 1 10 3 1 2 0 1 3 11 4 3 1 2 0 1 10 (3) (3)x(n)x(n) 与线性卷积结果相同，后面补一个零。10.6n4,03n0, 1)(nnx，1, 04( )1 , 56ny nn，求 f(n)=x(n)y(n)。解： f(n)=x(n)y(n)=)()()(7607nRmnymxmx(m) )(mnyn 1 2 3 4 0 0 0 f(n) 0 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 4 2 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -2 3 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -10 4 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -10 5 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -8 6 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页第四章快速傅立叶变换运算需要多少时间。计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFTDFTx(n)512s5s50.1解: 解: 直接计算 : 复乘所需时间 : 复加所需时间 : 用 FFT 计算: 复乘所需时间 : 复加所需时间 : 3.sNTN01152.0512log105log1052251262261sTTTsNNT013824. 0002304. 0512log512105. 0log105 .02126262sTTTsNNT441536.1130816. 0) 1512(512105.0) 1(105. 021662sNT31072.151210510526261精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页运算量：复数乘法次数（乘1、j 不计算在内，要减去系数为1、j 的，即0/ 4,NWWNN） ，即 8*4- （1+2+4+8）- （1+2+4）=10 复数加法次数为 64 次第五章数字滤波器的基本结构1.用直接 I 型及典范型结构实现以下系统函数21214 .06.028.02 .43)(zzzzzH分析： 注意系统函数H(z)分母的0z项的系数应该化简为1。分母),2,1(?izi的系数取负号，即为反馈链的系数。解：21212 .03.014.01.25.1)(zzzzzH)2 .03.0(14.01 .25.12121zzzz)()(1)(10zXzYzazbzHNnnnMmmn3. 01a，2 .02a5.10b，1. 21b，4 .02b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 28 页2.用级联型结构实现以下系统函数)8.09 .0)(5.0()14 .1)(1(4)(22zzzzzzzH试问一共能构成几种级联型网络。分析： 用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。解：kkkkkzzzzAzH2211221111)()8.09 .01)(5.01 ()4. 11)(1(4211211zzzzzz4A8.0,9.0,0,5.01,4. 1,0, 12212211122122111精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页由此可得：采用二阶节实现， 还考虑分子分母组合成二阶 （一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。4用横截型结构实现以下系统函数：1111116112161211)(zzzzzzH分析： FIR 滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。111111121121121211234511( )(1)(16)(12)(1)(1)2611(12)(16)(1)26537(1)(1)(1)26820520581312123H zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页7设某 FIR 数字滤波器的系统函数为：)3531(51)(4321zzzzzH试画出此滤波器的线性相位结构。分析： FIR 线性相位滤波器满足)1()(nNhnh，即对2/)1( Nn呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知：)4(51)3(53)2() 1(53)(51)(nnnnnnh。为奇数，处偶对称，对称中心在即则)5(221)(1)2(6.053)3()1(2.051)4()0(NNNnnhhhhhh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 28 页第六章无限长单位冲激响应（IIR ）数字滤波器的设计方法1.用冲激响应不变法将以下)(sHa变换为)(zH，抽样周期为T 。为任意正整数,)()()2()()()1(022nssAsHbasassHnaa分析：冲激响应不变法满足)()()(nThthnhanTta，T 为抽样间隔。这种变换法必须)(sHa先用部分分式展开。第（ 2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!nnSntL, nantsaSSAsHtuntAeth)()()()!1()(010，可求出)()()(kTThtThkhakTta，又dzzdXzkkx)()(，则可递推求解。解: (1) jbasjbasbasassHa1121)()(22)(21)()()(tueethtjbatjbaa由冲激响应不变法可得：)(2)()()()(nueeTnTThnhnTjbanTjbaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页11011112)()(zeezeeTznhzHjbTaTjbTaTnn2211cos21cos1zebTzebTzeTaTaTaT(2) 先引用拉氏变换的结论1!nnsntL可得：nassAsH)()(0)()!1()(10tuntAethntsa则)()!1()()()(10kunkTAeTTkThkhnkTsadzzdXzkkxazkuaZZk)()(,11)(1且按)11()()!1()()!1()()(111111000zedzdznATezknTTAzkhzHTsnnkkTsnnkk可得?,3,2)1 (1,1)(111000nzezeATnzeATzHnTsTSnTs，可以递推求得：3设有一模拟滤波器11)(2sssHa抽样周期 T = 2，试用双精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页线性变换法将它转变为数字系统函数)( zH。分析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111zzcs。解：由变换公式1111zzcs及Tc2可得：T = 2 时：1111zzs1111|)()(zzsasHzH11111111211zzzz2213)1(zz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页
