2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：专项强化练 第4讲 数学归纳法 .docx

www.ks5u.com第4讲数学归纳法1.(2019启东中学、前黄中学、淮阴中学等七校联考,24)已知数列an满足an+1=an2-nan+1.(1)a1=2,求a2,a3,并猜想数列an的通项公式;(2)若a13,用数学归纳法证明:ann+2;a1+a2+an2n+2-n-4.2.(2019南京三模,23)对由0和1这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(kN*,且k3)位,则称子串“010”在第k位出现;再继续从第(k+1)位按从左往右的顺序找子串“010”,若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第(k+m)位(其中m3且mN*),则称子串“010”在第(k+m)位出现;如此不断地重复下去.如:在字符串11010101010中,子串“010”在第5位和第9位出现,而不是在第7位和第11位出现.记在n位由0,1组成的所有字符串中,子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n).(1)求f(3), f(4)的值;(2)求证:对任意的正整数n, f(4n+1)是3的倍数.答案精解精析1.解析(1)a1=2,a2=3,a3=4,猜想an=n+1.(2)证明:(i)当n=1时,a13,命题成立;(ii)假设n=k(k1,kN*)时命题成立,即akk+2,则n=k+1时,ak+1=ak(ak-k)+12(k+2)+1k+3,n=k+1时,命题也成立.综合(i)(ii)可知,ann+2对一切nN*都成立.先用数学归纳法证明an2n+1-1.(i)当n=1时,a13,命题成立;(ii)假设n=k(k1,kN*)时命题成立,即ak2k+1-1,则n=k+1时,ak+1=ak(ak-k)+12ak+12(2k+1-1)+1=2k+2-1,n=k+1时,命题也成立,综合(i)(ii)可知,an2n+1-1对一切nN*都成立.a1+a2+an(22-1)+(23-1)+(2n+1-1)=2n+2-n-4.2.解析(1)在3位字符串中,子串“010”在第3位出现有且只有1个,即010,所以f(3)=1.在4位字符串中,子串“010”在第4位出现有2个,即0010与1010,所以f(4)=2.(2)证明:当n5且nN*时,当最后3位是010时,前(n-3)个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即0和1,所以共有2n-3种可能.由于当最后3位是010时,若最后5位是01010,且前(n-2)位形成的字符串中,子串“010”是在第(n-2)位出现的,此时不满足条件.所以f(n)=2n-3-f(n-2),n5且nN*.因为f(3)=1,所以f(5)=3.下面用数学归纳法证明f(4n+1)是3的倍数.当n=1时, f(5)=3是3的倍数;假设当n=k(kN*)时, f(4k+1)是3的倍数,那么当n=k+1时,f4(k+1)+1=f(4k+5)=24k+2-f(4k+3)=24k+2-24k-f(4k+1)=324k+f(4k+1).因为f(4k+1)是3的倍数,且324k也是3的倍数,所以f(4k+5)是3的倍数.这就是说,当n=k+1时, f 4(k+1)+1是3的倍数.由可知,对任意的正整数n, f(4n+1)是3的倍数.