2022年数学函数几何综合压轴题 .pdf
数学函数几何综合压轴题1.（2004 安徽芜湖） 如图， 在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3) (1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E， C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变， 再将 DC 水平向右移动k(k0)个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E点，如图，求 AEC 的面积 S关于 k 的函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （1）求点 A 的坐标；（2）设过点 A 的直线 yxb 与 x 轴交于点B.探究：直线 AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接 BC，记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为 S2，若421hSS，抛物线yax2 bxc 经过 B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. 图 1 C（1， -3）A （2，-6）B D O x E y 图 2 C （1+k， -3）A （2，-6）B D O x Ey A B C D x M y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页X O P D C A B Y 3.(2004 湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心， 2 为半径作圆，交 x 轴于A、B 两点，抛物线)0(2acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在P上. (1)求 P上劣弧AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 4.（2004 湖北襄樊） 如图， 在平面直角坐标系内，RtABC 的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上， A、B 是x轴上是两点，且OAOB 31，以 OA、OB 为直径的圆分别交AC于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在 AOC 中，设点M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问：在x轴上是否存在点P，使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以 AC 为对角线的矩形 ABCD 内部 (不在各边上 )的个动点，点D 在 y 轴，抛物线yax2+bx+1 以 P 为顶点(1)说明点 A、C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线yax2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由；(3)设抛物线yax2+bx+1 与 x 轴有交点F、G(F 在 G 的左侧 )，GAO 与FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗 ?若能，请求出 a、b 的值；若不能，请确定a、b 的取值范围(本题图形仅供分析参考用) A B C O x y P （1，1）A y x B E F O1Q O O2C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页6.（2004 湖南长沙） 已知两点 O(0，0)、B(0，2)，A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、C，A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直线 l 与 A 切于点 O，抛物线的顶点在直线 l 上运动 . （1）求 A 的半径；（2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C、E 两点，且 PCCE，求点 E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于 m 的函数解析式 . 7.（2006 江苏连云港）如图，直线4kxy与函数)0,0(mxxmy的图像交于A、B 两点，且与x、y 轴分别交于C、 D 两点（ 1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；（ 2）在（1）的条件下， 是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由8. （ 2004 江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)ymxmxm与 x 轴交于两点1(,0)A x、2(,0)B x12()xx，与 y 轴交于点C，且 AB=6. （1）求抛物线和直线BC 的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若Pe过 A、B、C 三点，求Pe的半径 . （4）抛物线上是否存在点M，过点 M 作MNx轴于点 N，使MBN被直线 BC 分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。A A OPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页A B C M O x y 9.如图， M 与 x 轴交于 A、B 两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B，直径 CD x轴于N，直线 CE 切 M 于点 C，直线 FG 切 M 于点 F，交 CE 于 G，已知点G 的横坐标为3. (1) 若抛物线mxxy22经过 A、B、D 三点，求m 的值及点D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 . (3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. 10. （2004 山西）已知二次函数212yxbxc的图象经过点A（ 3，6），并与 x 轴交于点 B（ 1，0）和点 C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足DPC BAC ，求点 D 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点M，使以 M 为圆心的圆与AC、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 11. （2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0）， B（3，0）. （1）若抛物线过A，B 两点，且与y 轴交于点（ 0， 3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C，M 为抛物线的顶点，那么ACM 与 ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E，F，与 y 轴交于点C，过 C作 CP x 轴交 l 于点 P， M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是 有 一 个 内 角 为60 的菱形，求次抛物线的解析式. （第 9 题图）A y x O N M G F E D C x O y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页12. （2005 北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykxk4的图象与 x 轴交于点 A，抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点。（1）试用含a 的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求 D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得POAOBA43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。13. （2005 北京丰台）在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于点A、B。（ 1）如图，过点A 作O1的切线与y 轴交于点C，点O 到直线AB的距离为123sin55ABC，求直线AC 的解析式；（2） 若O1经过点 M（2， 2） ， 设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB 的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。14.（2005 福建厦门） 已知：O 是坐标原点， P（m，n）(m0)是函数y kx(k 0) 上的点，过点 P 作直线 PAOP 于 P， 直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点A （a， 0） (am) . 设 OPA的面积为 s，且 s1n44. （1）当 n1 时，求点A 的坐标；（2）若 OPAP，求 k 的值；(3 ) 设 n 是小于 20 的整数，且kn42，求 OP2的最小值 . 15. （2005 湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O 是原点， A、B、C 三点的坐标分别为A（18， 0）， B（18， 6）， C（8，6），四边形OABC 是梯形，点P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒1 个单位，点Q 沿 OC、CB向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。y B O1O A x C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页（1）求出直线OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。（2）试在中的抛物线上找一点D，使得以 O、 A、 D 为顶点的三角形与AOC全等，请直接写出点D 的坐标。（3）设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2 个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t 的取值范围。（4）设从出发起，运动了t 秒。当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。16.（2005 湖北荆门）已知：如图，抛物线mxxy332312与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点， ACB 90 ，（1）求 m 的值及抛物线顶点坐标；（2）过 A、B、 C 的三点的 M 交 y 轴于另一点D，连结 DM 并延长交 M 于点 E，过 E点的 M 的切线分别交x 轴、 y 轴于点 F、G，求直线 FG 的解析式；（3）在（2）条件下， 设 P 为?CBD上的动点 （P 不与 C、D 重合） ，连结 PA 交 y 轴于点 H，问是否存在一个常数k，始终满足AH APk，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由. QP O C（8，6）B（18，6）A（18，0） x y A B C D E F G M x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
