2022年数学教案直线和圆教师版 .pdf

学习必备欢迎下载直线与圆教案1、直线的倾斜角：（1）定义 ：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按 逆时针方向转到和 直线l重合 时所转的 最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围,0。如（ 1）直线023cosyx的倾斜角的范围是50)66，；（ 2 ） 过 点),0(),1 ,3(mQP的 直 线 的 倾 斜 角 的 范 围m那么,32,3值 的 范 围 是_42mm或_2、直线的斜率 ：（1）定义 ：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即ktan(90) ；倾斜角为90的直线没有斜率；（2）斜率公式 ：经过两点111(,)P xy、222(,)Pxy的直线的斜率为212121xxxxyyk； （3）直线的方向向量(1, )ak，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用 ：证明三点共线：ABBCkk。如(1)两条直线钭率相等是这两条直线平行的既不充分也不必要条件；（2）实数, x y满足3250 xy(31x)，则xy的最大值、最小值分别为_2, 13_ 3、直线的方程 ：（1）点斜式 ：已知直线过点00(,)xy斜率为k，则直线方程为00()yyk xx,它不包括垂直于x轴的直线。（2）斜截式 ：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为ykxb,它不包括垂直于x轴的直线。（3）两点式 ：已知直线经过111(,)P x y、222(,)Pxy两点，则直线方程为121121xxxxyyyy，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式 ：已知直线在x轴和y轴上的截距为,a b,则直线方程为1byax，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式 ：任何直线均可写成0AxByC(A,B 不同时为0)的形式。如（ 1）经过点（ 2，1）且方向向量为v=(1,3)的直线的点斜式方程是13(2)yx；（2）直线(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎样变化恒过点( 1, 2)；（3）若曲线|ya x与(0)yxa a有两个公共点，则a的取值范围是1a(4) 过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_3_条4. 设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b，常设其方程为ykxb；（2）知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx(它不适用于斜率为0 的直线 )；（3）知直线过点00(,)xy，当斜率k存在时，常设其方程为00()yk xxy，当斜率k不存在时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载则其方程为0 xx；（4）与直线:0lAxByC平行的直线可表示为10AxByC；（5）与直线:0lAxByC垂直的直线可表示为10BxAyC. 提醒 ：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点00(,)P xy到直线0AxByC的距离0022AxByCdAB；（2）两平行线1122:0,:0lAxByClAxByC间的距离为1222CCdAB。6、直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC的位置关系 ：（1）平行12210A BA B（斜率）且12210B CB C（在y轴上截距）；（2）相交12210A BA B；（3）重合12210A BA B且12210B CB C。提醒 ： （1）111222ABCABC、1122ABAB、111222ABCABC仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？（ 2） 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（ 3） 直线1111:0lA xB yC与直线2222:0lA xB yC垂直12120A AB B。如（ 1）设直线1:60lxmy和2:(2)320lmxym，当m_1_时1l2l；当m_12_时1l2l；当31且mm时1l与2l相交；当m_3_时1l与2l重合；（2）已知直线l的方程为34120 xy，则与l平行，且过点（1， 3）的直线方程是_；3490 xy（ 3） 两条直线40axy与20 xy相交于第一象限，则实数a的取值范围是_；12a（ 4） 设, ,a b c分别是ABC中 A 、 B、 C 所对边的边长，则直线sin0 xAayc与sinsin0bxyBC的位置关系是 _；垂直7、对称 （中心对称和轴对称）问题代入法：如 （1） 已知点( , )M a b与点N关于x轴对称，点 P与点 N 关于y轴对称，点 Q 与点 P关于直线0 xy对称，则点Q 的坐标为 _；( , )b a（2）已知直线1l与2l的夹角平分线为yx，若1l的方程为0(0)axbycab，那么2l的方程是_；0bxayc（3）点（，）关于直线l的对称点为( 2,7)，则l的方程是 _；（4）已知一束光线通过点（，），经直线l:3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（，15） ，则反射光线所在直线的方程是_；3y=3x（5）已知 ABC 顶点 A(3 ， )，边上的中线所在直线的方程为6x+10y 59=0， B 的平分线所在的方程为x 4y+10=0，求边所在的直线方程；18x510y提醒 ：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。8、圆的方程 ：圆的标准方程：222xaybr。圆的一般方程：22220(DE4F0)xyDxEyF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载特别提醒 ：只有当22DE4F0时，方程220 xyDxEyF才表示圆心为(,)22DE，半径为22142DEF的圆（二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件是什么？（0,AC且0B且2240DEAF） ） ；(3)1122A,x yB xy为直径端点的圆方程12120 xxxxyyyy如（ 1）圆 C 与圆22(1)1xy关于直线yx对称，则圆C 的方程为22(1)1xy；（2）圆心在直线32yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是_；9)3()3(22yx或1) 1()1(22yx（3）如果直线l将圆： x2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_；0，2）（4）方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆，则实数k 的取值范围为 _；21k9、点与圆的位置关系：已知点00M,xy及圆222C0：x-aybrr， （1）点 M 在圆 C外22200CMrxaybr； （ 2）点 M 在圆 C 内22200CMrxaybr； （3）点 M 在圆 C 上20CMrxa220ybr。如点 P(5a+1,12a)在圆 (x )y2=1 的内部 ,则 a 的取值范围是_131| a10、直线与圆的位置关系：直线:0lAxByC和圆222C：xaybr0r有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（ 1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（ 2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d，则dr相交；dr相离；dr相切。提醒 ：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（ 1）圆12222yx与直线sin10(,2xyRk，)kz的位置关系为_；相离（ 2）若直线30axby与圆22410 xyx切于点( 1,2)P，则ab的值 _2_；（ 3）直线20 xy被曲线2262xyxy150所截得的弦长等于4 5；（4）一束光线从点A( 1,1)出发经 x 轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是4 ；（ 5）已知圆 C：22(1)5xy，直线L：10mxym。求证：对mR，直线 L 与圆 C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载总有两个不同的交点；设L 与圆 C 交于 A、B 两点，若17AB，求 L 的倾斜角；求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 60或120最长：1y，最短：1x11、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为12OO，半径分别为12,r r，则（ 1）当1212|O Orr时，两圆外离； （2）当1212|O Orr时，两圆外切； （3）当121212|O Orrrr时，两圆相交； （4）当1212|O O|rr时，两圆内切； （5）当12120|O O|rr时，两圆内含。12、圆的切线与弦长：(1)切线：过圆222xyR 上一点00(,)P xy圆的切线方程 是：200 xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；从 圆外一点引圆的切线一定有两条，设 A 为圆1) 1(22yx上动点， PA 是圆的切线，且|PA|=1，则 P 点的轨迹方程为_；22(1)2xy）（ 2） 弦 长 问 题 ： 常 用 弦 心 距d， 弦 长 一 半12a及 圆 的 半 径r所 构 成 的 直 角 三 角 形 来 解 ：2221()2rda；13. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 1，圆心到直线l:x-2y=0的距离为55，求该圆的方程.如图，已知M：x2+(y2)21，Q 是x轴上的动点， QA， QB 分别切 M 于 A，B 两点，如果324| AB，求直线MQ 的方程；求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程 . 解 （ 1 ） 由324| AB可 得,31)322(1)2|(|2222ABMAMP由 射 影 定 理 得,3|2MQMQMPMB得在 RtMOQ 中，523|2222MOMQOQ，故55aa或，所以直线AB 方程是;0525205252yxyx或连接 MB ，MQ，设),0,(),(aQyxP由点 M， P，Q 在一直线上，得)(,22Axya由射影定理得|,|2MQMPMB即)( , 14)2(222BayxO xyQ A B P M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载把（ A）及（ B）消去a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx课本题 P75练习 2 ，3；P77练习 2，3；P79练习 2，3；P80习题 7 ，8，9；P84练习 3，4；P87练习 2，3；P87习题 4，6，7；P92练习 3；P96练习 2，3；P96习题 14，15，16，17，18 P102练习 5，6；习题 6，7，9，10 P106 练习 3 ，4，5；P107练习 2；P108习题 5，6 7，8；高考题 1. （全国一 10）若直线1xyab通过点(cossin)M，则（ D ）A221abB221abC 22111abD22111ab2. （全国二 5）设变量 xy， 满足约束条件：222yxxyx，则yxz3的最小值 -8 3. （全国二 11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy与740 xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为3 4. （北京卷 5）若实数 xy， 满足1000 xyxyx，则23xyz的最小值是 1 5. （北京卷 7）过直线 yx 上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll，当直线12ll，关于 yx对称时，它们之间的夹角为606. （四川卷）直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移个单位，所得到的直线为1133yx7. （天津卷 2）设变量yx,满足约束条件1210yxyxyx，则目标函数yxz5的最大值为 5 8. （安徽卷8） 若过点(4,0)A的直线 l 与曲线22(2)1xy有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为33,339.（山东卷 11）已知圆的方程为08622yxyx. 设该圆过点（ 3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC和 BD ，则四边形 ABCD 的面积为 20610. （湖南卷 3）已知变量 x、y 满足条件1,0,290,xxyxy则 xy 的最大值是 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载11. （陕西卷 5）直线30 xym与圆22220 xyx相切，则实数m等于3 3或312. （陕西卷 10）已知实数 xy， 满足121yyxxym ，如果目标函数 zxy的最小值为1，则实数m等于 5 13. （重庆卷 3)圆 O1:0222xyx 和圆 O2: 0422yyx 的位置关系是相交14. （辽宁卷 3）圆221xy与直线2ykx没有公共点的充要条件是(33)k，15. （天津卷 15）已知圆 C的圆心与点( 2,1)P关于直线1yx对称直线34110 xy与圆 C相交于BA,两点，且6AB，则圆 C的方程为 _ 22(1)18xy16. （四川卷 14）已知直线:40lxy与圆22:112Cxy，则 C 上各点到 l 的距离的最小值为 _。217.（重庆卷 15）直线l与圆04222ayxyx (a3) 相交于两点 A，B，弦 AB的中点为（0，1） ，则直线 l 的方程为 . x-y+1=0 18. （广东卷 11）经过圆2220 xxy的圆心 C ，且与直线0 xy垂直的直线方程是10 xy19 已知菱形 ABCD的顶点 AC，在椭圆2234xy上，对角线 BD所在直线的斜率为1（）当直线 BD 过点(01)，时，求直线 AC 的方程；（）当60ABC时，求菱形 ABCD面积的最大值解： （）由题意得直线BD的方程为1yx因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD于是可设直线AC的方程为yxn由2234xyyxn，得2246340 xnxn因为AC，在椭圆上，所以212640n，解得4 34 333n设AC，两点坐标分别为1122() ()xyxy， ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载则1232nxx，212344nx x，11yxn，22yxn所以122nyy所以AC的中点坐标为344n n，由四边形ABCD为菱形可知，点344n n，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n所以直线AC的方程为2yx，即20 xy（）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA所以菱形ABCD的面积232SAC由（）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234 34 3( 316)433Snn所以当0n时，菱形ABCD的面积取得最大值4 32. （江苏卷18）设平面直角坐标系xoy中，设二次函数22fxxxb xR 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C求：（）求实数 b 的取值范围；（）求圆 C 的方程；（）问圆 C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法（）令x0，得抛物线与y轴交点是（ 0， b） ；令220fxxxb，由题意b0 且0，解得 b1 且 b0（）设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF令y0 得20 xDxF这与22xxb0 是同一个方程，故D2，Fb令x0 得2yEy0，此方程有一个根为b，代入得出E b1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载所以圆 C 的方程为222(1)0 xyxbyb. （）圆C 必过定点（ 0，1）和（ 2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边021220（ b1） b0，右边 0，所以圆 C 必过定点（ 0，1） 同理可证圆C 必过定点（ 2，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页