2022年平面向量的数量积及运算律教案 .pdf
学习必备欢迎下载（一）、新课引入为什么定义平面向量数量积在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力 F 所作的功W=FScos 。思考： W是什么量？ F 和 S是什么量？和向量有什么关系？W是标量（实数） ，F 和 S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。我们学过的向量运算ab,ab,a结果都是向量。 因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。（二）、新课学习新课学习阶梯一怎么定义平面向量数量积思考：模仿物理学功的定义：a ba b cos思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义a*ba b sin，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。1两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则 （ ）叫a与b的夹角 （右图的夹角分别是什么）2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是 ，则数量 |a|b|cos叫a与b的数量积，记作a b，即有a b= |a|b|cos ，（ ） 并规定0与任何向量的数量积为0思考：功怎么用数量积表示：F S数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。新课学习阶梯二怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。1 几何意义：“投影”的概念：作图F S A B O abA B O ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载定义： |b|cos叫做向量b在a方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为 0；当 = 0 时投影为|b|；当 = 180 时投影为|b|几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影 |b|cos 的乘积2代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a与b，aba b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a与b，当a与b同向时，a b= |a|b|；当a与b反向时，a b= |a|b|（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos =|a bab（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）aa= |a|2，|aa a，a bab cos（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5） |a b| |a|b|（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=ba a b?b a（结合律） (ab)c=a(bc) (a b) c?a (b c)（分配律） a(b+c)=ab+ac a (bc)?a ba c( a) b? (a b)?a ( b)思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。从性质的分析知道，数量积是应用非常广泛和灵活的，涉及代数和几何甚至跨学科的知识，因此学习数量积是为了能够应用它解决问题。新课学习阶梯三怎样用定义、性质解决问题（范例讲解）例 1 （巩固概念）判断下列各题正确与否：（1）若a= 0，则对任一向量b，有a b= 0( ) （2）若a0，则对任一非零向量b，有a b 0( ) （3）若a0，a b= 0，则b=0( ) （4）若a b= 0，则a、b至少有一个为零( ) （5）若a0，a b= a c，则b= c( ) （6）若a b= a c，则b= c当且仅当a0时成立( ) （7）对任意向量a、b、c，有 (a b)ca(b c)( ) （8）对任意向量a，有a2 = |a|2( ) 例 2 （课本 P118）已知a=5，b=4，向量a与b夹角是 1200，求a b（课本资源升华）学生回答：a b= 10 （以下变形向量a与b均为非零向量）变形 1：已知a=5，b=4，向量a与b夹角是 1200，求ab思考：求长度，怎样将长度和数量积建立起关系？ab2=22(ab) (ab)ab2a b=25+1610=21，所以ab=21。变形 2：已知三角形ABC 的边 AB=5 ，BC=4 ， ABC=1200，求边 AC 。启发： 这个问题看似和向量无关，要想运用向量的知识，必须构造向量， 突破点是如何构造向量。提问学生或老师讲解：ACABBC，222ACABBC2AB BC=25+16+2 54cos600=61, AC=61思考：已知三角形两边一夹角一定可求第三边吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载变形 3：已知三角形ABC 的边 AB=5 ，BC=4 ，sin ABC=35,求边 AC。思考：已知正弦值，如何求余弦值，几解？变形 4：已知a=5，b=4，ab=21，求向量a与b的夹角。思考：建立长度和角度的关系是数量积的一个重要功能，先求a b。变形 5：已知a=5，b=4，a在b上的投影是2，求a b及a与b的夹角。变形 6：已知ab=5，ab=4，求a b。思考：求数量积，怎样将长度和数量积建立起关系？ab2=22(ab) (ab)ab2a b=25，ab2=22(ab) (ab)ab2a b=16，两式相减得：4a b=9，a b=94点评：解决该问题，不仅局限于长度和数量积的关系，还运用了方程这一代数味很浓的思想。变形 7：已知ab=ab=4，求a b；能求向量a与b的夹角吗？能求a吗？若不能求，你能补充一个合适的条件求出a吗？启发：除了用数量积的运算性质求出a b，你还能从向量加减法运算的几何意义给出解释吗？变形8：已知a=5，b=4，向量a与b夹角是1200，求使向量ab与ab的夹角是锐角的实数的取值范围。思考：夹角是锐角如何用数量积体现？（ab） （ab）0变形 9：向量a与b都是非零向量， 且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直， 求向量a与b的夹角解：由 (a+ 3b) (7a 5b) = 0 7a2 + 16a b15b2 = 0 (a 4b) (7a 2b) = 0 7a2 30a b+ 8b2 = 0 两式相减： 2a b= b2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载代入或得：a2 = b2设a、b的夹角为，则 cos =2212|2|a bba bb = 60通过以上问题的变式探究：问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角） 、数量积三个量的关系。这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁。新课学习阶梯四课堂练习1 |a|=3,|b|=4, 向量a+43b与a-43b的位置关系为（）A平行B C夹角为3D不平行也不垂直2 已知 |a|=2,|b|=5,ab=-3, 则|a+b|=_,|a-b|= 3 设 |a|=3,|b|=5, 且a+b与ab垂直，则 新课学习阶梯五学会小结学生自我归纳。新课学习阶梯六创造性学习（备用）如图 P是正方形ABCD 的对角线 BD上的一点， PFAE是矩形，猜猜：不论P点位置如何， PC和 EF是否总相等且垂直？提示：这是一个平几问题，没有向量的踪迹，怎样构造向量、创造性地运用数量积运算解决？思考：如何建立基向量；将PC 和 EF 看成向量，用基向量表示；计算PC , EF是否相等；计算PC EF是否为零。解析：设DA=a，DC=b，则DB=a+b，设DP=（a+b） ，CPCDDP=b+（a+b）=a+（1）b，显然DF=DA=a，FA(1)a，则EF=EP+PD+DF=（ 1）a（a+b）+a=（ 1）ab则CP2=（a+（1）b）2=2a2+（1）2b2，EF2=（ （ 1）a b）2=（1）2a2+2b2，EFBCDAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载又 ABCD 是正方形，a2=b2，所以CP2=EF2，EFCP=（ （1）ab）（a+（1）b）=（ 1）a2（1）b2=0，所以PC和 EF总是相等且垂直。六、课后反思和巩固（assignment）1 对数量积的运算律的证明思考和阅读（课本P119P120）2 优化设计第一课时、课本P121习题 5.6 第 1.2.3.4.5 平面向量的数量积及运算律一课设计思路平面向量的数量积及运算律共两个课时，本课时为第一课时。围绕数量积的定义、性质和运输律及简单应用，展开设计，为下节课灵活应用数量积的性质和运算律解决问题奠定基础。例题的选取紧紧扣住课本P118的例 1，并通过例 1 展开变式研究和培养学生的发散性思维，并将课本其余几个例题都整和到例1 的变式研究中。变式研究不仅是本节课的一大特点，同时也是本人多年坚持探究的问题怎样用好课本，将课本的例题资源最大化，将课本的习题资源最大化，将课本的阅读材料充分利用。一句话，把课本作为第一课程资源用足、用到位。本节是全章的重点内容之一，定义是基础，性质是工具，运算律及应用是难点。因此本节课分层次将教学过程分解为两个步骤：为什么定义平面向量的数量积；怎样认识平面向量的数量积。新课学习分为六个阶梯：怎么定义平面向量的数量积；怎么全方位认识定义；怎样用定义、性质解决问题；课堂演练；怎样小结；怎样创造性地应用平面向量的数量积。突出学习数学知识的一般过程为什么学、学什么、怎么用。在新课引入上突出课改的理念，从学生的认知结构和体现数学的实用出发，请教了物理教师，功、磁通量均与向量运算有关，但学生目前只学过功。所以采取课本的引入方法。引导学生结合具体情景设计问题，体现开放教学和民主的课堂氛围。学生在各个阶梯过程中，渗透数学概念的学习策略：抓关键字、抓定义前题。渗透数学思想方法的学习：类比的思想、数形结合的思想、对称的思想、构造法。渗透发散性思维的培养意识，通过教师的变式研究，引导学生怎样把一个题目解活、用活、学活，从而提高有效学习的效率。引导学生自己小结，一方面培养学生对问题的整理综合能力，另一方面引导学生学习抓主流、抓重点内容，懂得过滤学习内容，取舍得当。淡化次要内容，突出重点、难点。因此对数量积的运算律、长度、角度、垂直等问题的证明略过，课下引导有兴趣的同学阅读、自学。将课堂有限的时间最大限度地进行有效教学。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
