2022年平面向量的方法技巧及易错题剖析 .pdf
平面向量的方法技巧及易错题剖析1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若a 0，且 a b=0，则 b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0。因为其中cos 有可能为0；（4） 已知实数a、 b、 c(b 0)， 则 ab=bc a=c。 但是a b= b cca；如右图：ab= |a|b|cos= |b|O A| ，bc = |b| c|cos= |b| |O A|a b=b c，但ac；(5)在实数中，有 (a b)c= a(b c)，但是 (a b)ca(b c)，显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与 c 不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立：ab ca bc；（2）消去律不成立a ba c不能得到bc；（3）a b=0 不能得到a=0或b=0。3向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式22aa，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点 P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。（一）平面向量常见方法技巧方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。例：化简下列各式：CABCAB；CDBDACAB；ADODOA；MPMNQPNQ。结果为零向量的序号为_。方法二：强化运用向量加法法则例：已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C） ，则AP等于（）A. 1, 0,ADABB. 220,BCAB，C. 1, 0,ADABD. 22,0,BCAB答案： A 方法三：数形结合思想例：已知向量1OP、2OP、3OP满足条件0OPOPOP321，且|OP|OP|OP|321=1，试判断321PPP的形状。方法四：取特例例： ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OCOBOAmOH，则实数m=_。答案： 1 方法五：应用22a|a|解题22|a|a是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。例：已知a、b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|b3a|等于（）A. 7B. 10C. 13D. 4方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题例 1：已知向量a、b 满足6|a|，4|b|，且 a 与 b 的夹角为60，求|ba|和|b3a|。方法七：三角形形状的判断方法由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断已知平面上有互异的四点A、B、C、D，若0ACABDA2DCDB，则 ABC的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形（二）易错题剖析【易错题 1】若向量a、b 满足关系式|ba|ba|，则下列结论中正确的是（）A. 以a、b为邻边的四边形是矩形B. a、b中至少有一个零向量或baC. a、b中至少有一个是零向量D. a、b均为零向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页答案： B 解题思路： （1） 当a、b均为非零向量时， 由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，ba与ba分别是以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线。|ba|ba|表明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以a、b为邻边的四边形为矩形时，ab；（2）当a、b中有零向量时，条件显然满足。综上所述，故选B。错因分析：误区：错选A。思考不严密，只注意到了向量a、b均不为零向量的情形，事实上，当a、b中有零向量时显然也满足条件。由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。【易错题 2】 “两个向量共线”是这两个向量方向相反的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案： B。解题思路：两个向量a与b共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线； 两个向量共线不能得到这两个向量反向。故选 B。错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D。造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。【易错题 3】设点 A（1，2） ，B（1n，3） ，C（2，1n） ，D（2，1n2） 。若向量AB与CD共线且同向，则n的值为（）A. 2 B. 2C. 2D. 1 答案： A 解题思路： 由已知条件得1,nAB，n,4CD，由AB与CD共线得04n2，2n。 当2n时，AB=（2，1） ，CD=（ 4，2） ，则有AB2CD，满足AB与CD同向，当2n时，1, 2AB，2,4CD，有AB2CD，此时AB与CD反向， 不符合题意。 因此， 符合条件的只有2n。故选 A。错因分析： 误区： 由已知可得1,nAB，n, 4CD，因为AB与CD同向且共线， 所以4n2=0，2n，因此错选C。出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，0，同向；0，反向。【易错题 4】已知8|AB|，5|AC|，则|BC|的取值范围是（）A. 8, 3B. （3，8）C. 13, 3D. （3，13）答案： C 解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出8|AB|，5|AC|，ABACBC。（1）当 ABC存在，即A、B、C 三点不共线时，13|BC|3；（2）当AC与AB同向共线时，3|BC|；当AC与AB反向共线时，13|BC|。13, 3|BC|，故选 C。错因分析：误区：错选D。错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C 三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时， ABC不存在。题目中两向量a、b 是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页【易错题 5】已知3, 1a，,2b，设a与b的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。解题思路：由为锐角，得cos0，且1cos，cos|b|a|ba恒大于 0，0ba，即0321。解得32若a平行于b，则0321。即6，但若a平行于b，则0或，与为锐角相矛盾，所以6。综上，632且。失分警示：误区：为锐角，0cos。由cos|b|a|ba知，只需0ba，即0321，故32。本题误以为两非零向量a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是0ba， 事实上， 两向量的夹角, 0，当0时，有01cos，对于非零向量a 与 b 仍有0ba，因此0ba是两非零向量a 与 b 的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论： 两非零向量a 与 b 的夹角为锐角的充要条件是0ba且a不平行于 b。【易错题 6】已知点 A（3，4）与点 B（1， 2） ，点 P在直线 AB 上，且|PB|2|PA|，求点 P的坐标。解题思路：设点P的坐标为（ x， y） ，由于|PB|2|PA|，所以，当点P为有向线段AB的内分点时，2，此时有.021224y,3121) 1(23x点 P的坐标为（31，0） 。当点 P为有向线段AB的外分点时，2，此时有.821224y,521123x点 P的坐标为（5，8） 。综上所述，点P的坐标为（31，0）或（5，8） 。失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点P 可能是AB的内分点，也可能是AB的外分点，因此本题必须分类讨论。【易错题 7】 ABC中，已知0ACAB，0ABBC，0CACB，判断 ABC 的形状。解题思路：Acos|AC|AB|ACAB。Bcos|AB|BC|Bcos|AB|BC|ABBC，Ccos|CA|CB|CACB。0CACB,0ABBC,0ACAB。0Acos，0Bcos，0Ccos，A、B、C均为锐角。ABC为锐角三角形。失分警示：误区：BC0AB，0Bcos|AB|BC|。 B 为钝角， ABC为钝角三角形。上述错误在于将BC与AB的夹角看成是ABC的内角 B，向量BC与AB的夹角应为B。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页【易错题 8】设二次函数)ba(cx2x)ba(y2，其中，a、b、c是 ABC的三边， 且ab，cb，若二次函数与x轴有交点，试确定B的范围。解题思路：由题设0，即0bca222ac2bcaBcos22290B00。又cb,ab，60B。由知，90B60。失分警示：误区：由题意得0ba4c422290B00ac2bcaBcos222。此解法忽视了题设中所给条件ab，cb，事实上，b是三角形的最大边。B 为三角形的最大角，不小于60。解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。【易错题 9】已知在四边形ABCD中，aAB，bBC，cCD，dDA，且addccbba，试确定四边形ABCD的形状。解题思路：由已知易得0dcba，则（ba）=dc，22dcba，即cd2dcab2ba2222。又因为dcba，2222dcba，同理可得2222cbda。由可得22ca，即|c|a|，22db即|d|b|，|DC|AB|，|BC|AD|，四边形ABCD为平行四边形，且ca，db，又bacbba，0ba，ba。综上所述，四边形ABCD为矩形。失分警示：误区：由已知可得0dcba，又addccbba，.cdad,bcab)bd(c)bd(a22，22ca，即|c|a|。同理.cdbc,adab)ac(d)ac(b22，22db，即|d|b|。四边形ABCD为平行四边形，ca，db，又cbba，0) ca(b，0)aa(b，即0ba，ba。综上，四边形为矩形。上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材，抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。【模拟试题】一. 选择题：1. 下列各量中不是向量的是（）A. 浮力B. 风速C. 位移D. 密度2. 下列说法中错误的是（）A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度是0 C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意3. 设 O 是正BC的中心，则向量AOOBOC，是（）A. 有相同起点的向量B. 平行向量C. 模相等的向量D. 相等向量4. 命题“若abbcac/ / / /，则” （）A. 总成立B. 当a0时成立C. 当b0时成立D. 当c0时成立5. 已知正方形ABCD的边长为1，ABaBCbab，则 |等于（）A. 0 B. 2 C. 2D. 2 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6. 在平行四边形ABCD中，BCDCBA 等于（）A. BCB. DAC. ABD. AC7. 下列等式中一定能成立的是（）A. ABACBCB. ABACBCC. ABACCBD. ABACCB8. 在平行四边形ABCD中，若| |BCBABCAB，则四边形ABCD必是（）A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 无法确定二. 填空题：9. 已知向量ab、满足 abb ，且|b1，则| |aab_ 10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不充要必条件）（1）ab 是 ab/ /的_（2）| |/ /abab是的_ （3）| |abab是的_ 11. 如图，四边形ABCD为正方形，CE为等腰直角三角形。D CA B E（1）图中与AB 共线的向量有 _（2）图中与 AB 相等的向量有_ （3）图中与 AB 模相等的向量有_（4）图中 EC 与 BD 相等吗？ _ （5）图中AB 与 BA 相等吗？ _ 12. ABC中，BCaCAb，则 AB 等于 _ 三. 解答题：13. 如图， 已知四 边形ABCD是 矩形，设 点集MABCD，求 集合TPQ PQMPQ|、，且、不重合。 （用列举法表示）A DB C14. 化简OPQPPSMPMS。15. 有一两岸平行的河流，水流速度为1，小船的速度为2 ，为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？【试题答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页1. D 提示：密度只有大小没有方向。2. A 3. C 4. C 提 示 ： 由 于 零 向 量 与 任 何 向 量 都 平 行 ， 所 以 当 两 非 零 向 量ac、不 平 行 而 b0 时 ， 有abbc/ / /，但这时命题不成立。5. C 提示：| | |abABBCAC26. A 提示：DCBABCDCBABCBABABCBC()0或者根据平行四边形ABCD中，BCBABDBDDCBC，而BCDCBABC7. D 8. B 提示：| | |BCBABDBCABAC，BDAC|即平行四边形ABCD的对角线相等，故平行四边形ABCD为矩形。9. 1 提示：abbaaabb，01| | |10. （1）充分不必要条件提示：ababab，则与方向相同，/ /若ababab/ /| |，不一定成立，且与方向也不一定相反。（2）既不充分也不必要条件提示：若| |abab，则与的长度相等，但方向不一定相同。ababab/ / /| |不一定成立，反之，若成立，不一定成立。（3）必要不充分条件提示：若| | |abababab，不一定成立，但若，一定有。11. （1）CDBE、（ 2）BE（3）BCCDDABE、（4）相等（5）不相等12. ()ab提示：根据三角形法则知BCCABAABBA，而ABBCCAab()()13. 解：以矩形ABCD的四个顶点中的任一点为起点，其余三点中的一点为终点的向量共4312个，但 这12个 向 量 中 不 是 各 不 相 等 ， 将 相 等 的 向 量 看 作 一 个 向 量 把 它 们 一 一 列 举 出 来 ：ACCABDDBABDCADBCBACDDACB、。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页ACCABDDBABBAADDA，14. 解：原式OPPQPS SMMPOQOQ0（方法较多，同学们可以多找几种）15. 解：如图，在平行四边形ABCD中，AB 表示水流速度，AD 表示小船行驶速度，AC 表示小船实际航行速度，则|AB1，|AD2，若使小船所走路程最短，需AC 与 AB 垂直。在Rt BAC中，ABBCADAC121，即|ACABCACBCAD145，故BAD9045135所以，当小船行驶方向与水流方向成135的角时，小船从一岸到另一岸所走路程最短。D CA B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
